聚焦教材.思考关联.重视追问---以"分式章末复习课"教学为例

江苏省南通市通州区西亭初中　邵艳

聚焦教材.思考关联.重视追问
---以"分式章末复习课"教学为例

章末复习课是每章结束时老师们都会开设的,然而比较流行的复习课教学流程常常是涉及本章的相关概念的复习梳理,然后是典型例题的讲评,最后是变式练习,很多时候甚至与教材无关,这实在是令人遗憾的.最近有机会执教"分式章末复习课"的公开课,使自己有机会深入思考"复习课到底该怎样上?""可以怎样上?",本文整理该课的教学流程,并跟进阐释教学立意,供研讨.

一、教学流程

活动1:再看章前图的情境问题

章前图情境问题:一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h,它以最大航速沿江顺流航行90km所用时间,与以最大航速逆流航行60km所用时间相等,江水的流速为多少?

引导学生再读教材上的分析:如果设江水流速为vkm/h,则轮船顺流航行90km所用的时间为h,逆流航行60km所用的时间为h,得方程,可以解出v的值.

教学预设:安排学生解这个方程,检验,并完整作答.

引导反思:是否还可以列出其他的方程形式?相信学生应该有不同的列方程的形式,但可能一下子想不到很全面,这时老师可以PPT呈现、介绍还有其他同学想到的方程,比如,,2(30+v)= 3(30-v),在这些不同形式的方程呈现之后,引导学生理解这些方程的合理性与可能性,并安排部分学生讲解他是如何理解的.

活动2:分式的识别与意义问题

预设追问:在学生选出哪些是分式之后,再问学生:要使这些分式有意义,求未知数v的取值范围.

过渡:我们在"分式"第1课时,不但学习了分式的意义问题,还研究了分式的值为0的问题,那么就选其中一个分式来研究分式的值为0吧,你们觉得可以选哪一个分式呢?

预设点评:与分式方程类似、关联,本质上就是解分式方程30+v=0.

30-v

值为0,求v.

预设点评:学生都能舍去一个解,这里由于是复习课,可以引导学生思考、对比这里的取舍策略与分式方程为什么要有检验这一必要步骤.

活动3:分式的性质与运算

预设意图:(1)~(3)是变换字母后继续训练对分式的不同理解,比如(1)主要训练分式性质,将分式进行恰当的改写与整理;(2)主要训练约分;(3)训练分式的加减(兼顾通分);(4)主要是分式加减的变式练习,问题的结构对应着

活动4:反思不同方程形式之间的关联

过渡语:让我们回到章前图的方程问题,我们提到过有同学列出了不同的方程,再仔细看看这些方程的形式吧:

预设评析:这些方程之间本身从等式性质的角度,是否可以互相转化?可以安排学生将问题简化为对比例性质的研究.

预设:由学生独立思考,并集中交流讲评如何推证出这些比例式.

活动5:课堂小结

这节课我们从教材章前图出发,运用分式方程解决了问题,并在这个过程中复习了分式的定义、性质、计算,还思考了不同分式方程之间可以由比例性质互相转化.这些过程可以构建以下的转化图,大家一起参与完善这个转化图(来自人教版教材)吧!

附1:课堂检测:(每题20分,总分100分)

(1)一组式子: ,其中分式的个数是().

A.1B.2C.3D.4

(2)计算:a2b3.(ab2)-2=___________.

(5)体育课上,甲、乙同学参加跳绳比赛.相同时间内甲跳180个,乙跳210个.已知乙每分钟比甲多跳20个,甲、乙同学每分钟各跳多少个?

附2:板书设计

二、教学立意的进一步阐释

1.聚焦教材,引导学生重新阅读并深刻理解教材如本文开篇所说,有些复习课由于受到一些所谓的复习资料、习题单导学案的牵引,将教材置于一旁,没有能引导学生对教材的再钻研和再理解.本课定位在引导学生从重新阅读教材上本章的章前图出发,并在完整解决该问题时,沿着全章所学顺序,依次复习全章重要知识点、技能方法,然而并不是简单地再现教材内容、例题、习题,而是基于"高观点"地重新审视和反思之前的题型或方法.比如,我们在教学活动2中提出问题"分式的值为0,求v",在学生解答之后,引导他们从分式方程"高观点"的视角思考这个分式值为0的问题与分式方程增根之间的一致性.

2.思考关联,引导学生感受不同问题之间的联系

世界是广泛联系的,数学更是充满关联.按照旅美独立数学教育研究者马立平博士在名著《小学数学的掌握与教学》中所指出的,追求数学知识的关联度、贯通度,并注重数学知识之间的深度与广度的理解.本课的教学设计做出一些探索与努力,比如,基于教材分式章前图串通全课教学流程,使得本课中不同教学环节之间的分式从形式、本质上都是相近的,让学生在整节课中都能感受到问题在形式上的关联.此外,问题在解法、变式等角度上的本质相通,比如在教学活动4中,我们引导学生思考开课阶段为什么会有不同形式的方程,这些不同形式的方程之间有怎样的关系,提出问题"殊途何以同归",并在此基础上,促进学生感受不同问题之间的联系.

3.重视追问,引导学生在变式与对话中加深理解

有人说,数学课堂的一个重要追求是"尽可能多地把学生的数学思维卷入到课堂上的问题中来",那么从上面的课例来看,我们设计了大量的变式和追问,目的是促进学生课堂参与、思维"卷入".这就需要我们精心预设,选中一个问题情境、例题、习题之后,不仅满足于这道习题的演练,而且要注意对这道题展开必要的变式与追问,同时还要注意提供的变式与追问的角度多样化,而不是低层次的改数字、改字母的简单变式取向.以教学活动3中提供的"变式问题:若正整数a、b满足,试求a、b的值"为例,在这个活动中,我们是以运算为训练重点,然而却把问题呈现的形式变式为一个形式新颖的习题,让学生通过分析题意,运用上面刚刚复习的分式加减的方法来实现问题思路的贯通.

三、写在最后

复习课是一首老歌,老歌如何新唱,特别是唱出新意,一直是很多教师"心向往之"的.然而,教材没有提供完整的复习课完整的素材结构,只是提供一个本章结构图、一组复习题,我们如何开发、利用,如何引导学生再阅读全章内容,并能基于全章认识的"高观点"来再读呢?我们的努力还是初步的,欢迎老师们批评指正,更欢迎提供课例研讨,将复习课教学的研究推向深入.

1.章建跃.构建逻辑连贯的学习过程使学生学会思考[J].数学通报,2013(6).

2.张恭庆.数学的有机统一是数学科学固有的特点[J].高等数学研究,2011(9).

3.马立平,著.小学数学的掌握和教学[M].李士锜,吴颖康,等译.上海:华东师范大学出版社,2011.

4.刘东升.关联性:一个值得重视的研究领域[J].中学数学(下),2013(12).

5.郑毓信."开放的数学教学"新探[J].中学数学月刊,2007(7).

6.郑毓信.多元表征理论与概念教学[J].中学数学教学参考(上),2011(5).

7.郑毓信.多元表征理论与概念教学(续)[J].中学数学教学参考(上),2011(6).近几年的命题没有太大的起伏;从内容上看,几何题中的面积、弧长、侧面积或圆中线段、角度计算或者与代数、相似三角形、勾股定理、三角函数的联系等,二次函数与几何综合题仍是多数省市压轴题的首选内容,圆的内容也有所侧重,并且考试内容与考查方式的结合新颖.对这些知识点的考查并不是机械地记忆概念,而是考查对概念、性质的理解与灵活运用,通过现实生活来体验数学的妙趣.

(2)从能力上看,着重考查学生对数学思想的理解及运用.数学能力是学好数学的根本,主要表现为数学中的思想方法,其中数形结合、方程与函数、分类讨论、转化与化归、猜想与归纳等思想方法是近几年中考试卷考查的重点之一.

2.运用知识解决实际问题的考查

数学来源于生活,同时也必将应用于生活,学数学就是为了解决生活中所碰到的实际问题.近几年的全国各地的中考数学试题非常重视运用数学知识解决实际问题的考查,侧重于加强与社会实践和学生生活的联系,注重考查学生在具体情境中运用所学知识分析和解决问题的能力,注重考查学生的动手操作与实践能力.强调"知识的形成、应用过程与问题方法的解决"、"情感态度与价值观"等在教学过程中的渗透,体现"以人为本"的原则.体现人人学有价值的数学;人人都能获得必需的数学.

二、命题趋势分析

近几年中考数学总的方向和趋势:试卷的结构和内容都相对保持稳定,近几年的试题,体现出的基础性、灵活性、实践性、综合性、应用性、开放性、探究性,是近几年全国中考数学试题的重要特征,也将是今后几年中考数学命题的趋势.多数试题取材于教科书,试题的构成是在教科书中的例题、练习题、习题的基础上通过类比、加工改造、加强条件或减弱条件、延伸或扩展而成的.试题重点考查初中数学的核心内容:数与式、方程与不等式、函数、三角形、圆、概率统计等.

另外,数学思想方法也是中考数学的命题趋势之一.为了让学生更好地掌握数学思想的精髓,充分运用数学思想去分析、解决具体的问题,需明确数形结合、分类讨论、转化与化归、函数与方程、数学建模等数学思想的内涵.

中考试题的知识覆盖面广,但起点低,大部分题目能直接运用有关知识进行解答.这些植根于教材的题目虽然背景新颖,但考查内容不变,运算量不大.考生如果做好充分的思想准备,前面1~23题是能够拿到满分的.因此,应该抓住数学知识的主干部分,在此基础上通过寻求不同解题途径与思维方式,培养思维的广阔性、灵活型和敏捷性.具体分析如下:

(一)代数

1.数与式

综观近年来全国各省市中考数学试卷"数与式"部分的试题,已不再繁、偏、难,主要考查基础知识与基本技能,取而代之的是点多面广.伴随着近年来试题不断推陈出新,以"数与式"内容为依托,加强数学理解能力的考查也越发凸显,试题大多与数学概念、与实际生活紧密联系,以及在图形变化或实际问题的背景中观察、概括出一般规律,运用数学模型解决实际问题等.例如: 2014年上海市第17题(一组数:2,1,3,x,7,y,23,…,满足"从第三个数起,前两个数依次为a、b,紧随其后的数就是2a-b",若这组数中的第三个数"3"是由"2X2-1"得到的,那么这组数中y表示的数为_____.答案:-9)是以新定义概念为载体的开放题,着重考查数学理解能力.另外,依托于"数与式"的有关知识,考查探索规律的能力,即合情推理、归纳概括能力,已经成为一种趋势,例如:2015年安徽省第13题(按一定规律排列的一列数: 21,22,23,25,28,213,…,若x、y、z表示这列数中的连续三个数,猜想x、y、z满足的关系式是______.答案:xy=z).此外,以几何图形为载体,结合"数与式"的基础知识、考查图形观察能力和逻辑推理能力.这种试题的呈现形式是把"数与式"部分内容与图形结合,增大了思考量,具有一定的难度.例如:2015年湖南省益阳市第13题,2015年四川省内江市第16题,2015年广东省深圳市第15题等.

2.方程(组)与不等式(组)

综观近几年方程(组)与不等式(组)部分的试题,首先都是针对解方程(组)与不等式(组)这一基本技能编制的试题,其解法是课程标准中要求掌握的.因此,在2015年的中考中,解方程(组)与不等式(组)的试题依然出现.例如:2015年广东省梅州市第7题(使不等式x-1≥2与3x-7<8同时成立的x的整数值是______.答案:3,4),又如:2015年山东省淄博市第5题,2015年广东省广州市第10题,2015年山东省日照市第15题,2015年湖北省孝感市第22题等.

其次,关注数学模型思想,考查学生的数学应用意识和能力,因此,以当地热点话题为背景,体现"问题情境-建立模型-求解-(1)最佳购物方案;(2)最佳运输调配方案等方案设计"型试题在2016年的中考试题中依然会出现,应引起读者的关注.例如:2015年山东省莱芜市第22题,2015年山东省淄博市第20题,2015年四川省绵阳市第23题,2015年四川省泸州市第21题,2015年广西省南宁市第24题等这类题考查列一元二次方程、二元一次方程组,一元一次不等式和一次函数解析式,利用一次函数的性质解决实际问题,找出题目蕴含的数量关系与不等关系,以及建立函数关系式是解决问题的关键.

给出一定条件(可以是有规律的算式、图形或图表),让学生认真分析,仔细观察,归纳总结,大胆猜想,得出结论,进而加以验证的数学探索题在2015年的中考试题中依然出现.由于这类题能培养学生的发现思维能力与解决问题的能力,因而备受命题专家的青睐,逐步成为中考命题的又一热点.例如:2015年黑龙江省绥化市第26题(自学下面材料后,解答问题.分母中含有未知数的不等式叫分式不等式.如:等.那么如何求出它们的解集呢?根据我们学过的有理数除法法则可知:两数相除,同号得正,异号得负.其字母表达式为:(1)若a>0,b>0,则>0;若a<0,b<0,则>0;(摇2)若a>0,b<0,则<0;若a<0,b>0,则<0.反之:(1)若>0,则则______或______.根据上述规律,求不等式的解集.答案:x>2或x<-1).

这类题目主要考查一元一次不等式组的应用,要求考生读懂题目信息,理解不等式转化为不等式组的方法是解题的关键.

3.函数

近几年函数部分的试题,首先,函数概念及表达方式,此类问题仍在考试中有所体现.

其次,函数与方程(组)、不等式(组)之间的关系.利用函数思想建立函数模型解决相关实际问题仍是考查重点.

一次函数、反比例函数与几何的综合问题在多年的考题中频繁出现,一般涉及以下几个考点:(1)反比例函数与一次函数的交点;(2)y的比较;(3)夹杂其他几何(如三角形面积等)问题;(4)一次函数图像、反比例函数图像与几何变换;(5)方程(组)与不等式的有关知识; (6)考查考生对数形结合、分类讨论等思想方法的掌握程度.例如:2015年山东省潍坊市第18题(正比例函数y1= mx(m>0)的图像与反比例函数y=(k≠0)的图像交于2点A(n,4)和点B,AM⊥y轴,垂足为M.若△AMB的面积为8,则满足y1>y2的实数x的取值范围是_____.答案:-2< x<0或x>2),又如:2015年内蒙古呼和浩特市第23题, 2015年安徽省第21题,2015年山东省威海市第24题等.

二次函数在中考数学中占有重要地位,一直是中考命题的"重头戏",根据对近几年中考试卷的分析,对二次函数的考查题型有低档的填空题、选择题,中高档的解答题.除考查定义、识图、性质、求解析式等常规题外,还会出现与二次函数有关的贴近生活实际的应用题,阅读理解题和探究题,二次函数与其他函数、方程、不等式、几何知识的综合在压轴题中出现的可能性很大.涉及主要考点有:

(1)借助平面直角坐标系,以数形结合的方式研究二次函数的图像和性质.

(2)用待定系数法求二次函数解析式,并能根据二次函数解析式画出相应的函数图像,结合图像研究二次函数相关性质.

(3)构建二次函数模型,解实际问题.例如:2015年山东省青岛市第22题,2015年湖北省鄂州市第23题, 2015年福建省泉州市第24题,用二次函数知识解决实际问题,特别是与实际生活相关的经济型问题是中考命题的热点,通常体现在与极值问题、几何问题相结合,找到最优化解决方案,最佳位置等.

(4)以二次函数为背景的综合题常作为中考命题的压轴题.例如:2015年湖北省荆州市第25题,2015年福建省泉州市第26题,2015年山东省临沂市第26题,题型丰富,难度大,考查知识点多,条件错综复杂,解这类题型的关键是善于利用有关性质、定理,以及函数的图像、性质并挖掘题中的隐含条件,寻求简捷的解题方案.

(二)空间与图形

综观近几年空间与图形部分的试题,难度有所降低,不会出现特别繁难的几何论证题目,在填空题和选择题中将重点考查视图、几何体及其平面展开图之间的关系,以及初步的空间观念,几何论证题将以常见的几何图形为主,贴近教材,变形题源于课本,注重格式的规范性及论证的严密性.

"空间与图形"的中考试题,有以下特色:

(1)试题更加关注了对基础知识和基本技能的考查,特别强调在复杂的几何图形中分解出简单、基本的图形,以及由基本的图形中寻找出基本元素及其关系的能力.

(2)试题更加注重考查考生经历观察实验、操作探究、推理论证等过程,并借助于图形的运动和变化,考查学生对已有的基本数学活动经验的合理选择及运用的能力.

(3)试题更加突出"图形变化时研究几何问题的工具和方法"的重要意义,而且将几何图形放置于平面直角坐标系中,考查了学生对"数学是研究数量关系和空间形式的科学"思想内涵的领悟及综合应用水平.

(三)统计、概率与现实生活相联系的问题

新课标指出,发展统计观念是新课程的重要目标.与统计有关的试题要求学生有较强的阅读能力和图表信息处理能力,另外,统计题中有些问题没有统一的结论,由于答案具有开放性,所以不可用唯一的标准作为规范解答.

与现实生活相联系的问题是命题的一个热点,而解决实际问题要建立数学模型,将实际问题转化为数学模型是命题的方向,从数学的角度提出问题,理解问题,并综合运用数学知识解决问题,题型有函数型、统计型、概率型.

1.统计

(1)考查统计基本知识,注重考查统计知识之间的联系性和统计活动的完整性.

(2)关注应用,对统计思想的考查蕴含在统计活动中,注重考查利用统计数据作出决策的能力.

2.概率

(1)对列举法和树状图法的考查是概率的主旋律,并注重利用所得的数据作出决策.

(2)在实际应用中,考查学生对概率知识的掌握程度.不但可以和现实生活中的问题紧密相连,还可以和其他领域的知识紧密结合.

(四)中考数学中常见的特色热点题型

1.探索规律型

这类题目在近几年中考数学的考试中频繁出现,所占分值不高,但难度偏大.主要类型有:数的运算规律、图形规律、代数式的规律、点的坐标规律等问题.这类题目一般是给出一定条件(可以是有规律的算式、图形或图表),让学生认真分析,仔细观察,归纳总结,大胆猜想,得出结论,进而加以验证的数学探索题.由于这类题能培养学生的发现思维能力与解决问题的能力,因而备受命题专家的青睐,逐步成为中考命题的又一热点.例如:2015年湖北省荆州市第10题,2015年浙江省宁波市第10题,2015年山东省青岛市第23题等.

2.开放型

(1)存在型开放题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的,它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题.即根据命题中的条件探究结论是否存在,或根据结论探究条件存在的题型.这类试题是近年中考的热点,重在考查学生分析、探究能力及发散思维能力.大致可分为:条件存在开放型、结论存在开放型、解题策略方法存在开放型,例如:2015年广东省梅州市第12题,2015年浙江省杭州市第20题等.

(2)探究型开放题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论,需要经过推断,补充并加以证明的一类问题.根据其特征大致可分为:操作探究型、条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等五类.

3.操作探究型

这类题目包括裁剪、折叠、拼图,它既考查学生的动手能力,又考查学生的想象能力,它要求从数学角度对某些日常生活出现的问题进行设计性研究,有利于学生对数学知识的实践应用能力和动手操作能力的提高,是学为己用的课改精神的具体体现,是数学课改中的一大热点.例如:2015年浙江省绍兴市第10题,2015年浙江省杭州市第16题,2015年辽宁省大连市第26题等.

4.方案设计型

方案设计型试题是指通过阅读、观察、探究等方法,从题目提供的相关材料中发现有用的解题信息并综合运用所学知识加以分析、计算、比较和判断,有时需要学生通过阅读、观察、归纳、探索和比较等手段寻找解决实际问题的方法,得出最佳方案;有时还通过建立数学模型,把实际问题转化为数学问题,选择最优方案.常见的方案设计型试题主要有:(1)最佳购物方案;(2)最佳运输调配方案;(3)工作人员的招聘方案;(4)最佳生产配料方案;(5)设计测量方案;(6)图形拼接方案等.例如: 2015年黑龙江省绥化市第27题,2015年广东省梅州市第14题等.

5.动态问题

纵观历年中考数学试卷,动态问题经常作为压轴题目出现,得分率也是最低的.动态问题一般分两类:一类是代数综合题,在坐标系中有动点、动直线,一般是利用多种函数交叉求解:另一类就是几何综合题,在矩形,三角形中设立动点、线及整体平移翻转,对考生的综合分析能力进行考查.所以说,对于动态问题只有掌握解题要领,才有机会拼高分.例如:2015年山东省聊城市第25题,2015年山东省日照市第22题,2015年四川省自贡市第23题等.

(五)创新思维能力与实践能力的综合应用

近几年中考命题对观察、实验、类比、归纳、猜想、判断、探究等能力的综合考查特别突出,试题通过给定材料让学生运用所学知识"再发现",通过一种新颖独立的创新思维活动,解答所提出的若干问题.特别是探究型和应用类试题,探索数式规律和图形变化规律题,以及阅读理解、实验操作题,这种考查思维能力和动手能力的题目非常活跃,多年以来已形成传统压轴题,这类题也将是今后几年中考数学命题的趋势.

(六)复习建议

根据近几年中考数学命题规律,遵循考试大纲和教学目标,并体现"基础知识全面考,主干内容重点考,热点知识反复考,冷点知识有时考"的命题原则,应复习好基础知识,抓好重点知识,适当练习热点题型,精选一些教材中的重点题型,补充一些教材之外的中考新题型,训练一下"开放题"、"探索题"、"阅读理解题"、"方案设计"、"动手操作"、"数学的实际应用",以便学生熟悉、适应这类题型,达到提高学生解题的灵活性、可变性、发散性的目的.