一维双极量子能量输运稳态模型弱解的存在性

2016-09-16董建伟程春蕊王艳萍

浙江大学学报（理学版） 2016年5期

关键词：电子密度双极电流密度

董建伟，程春蕊，王艳萍

(郑州航空工业管理学院理学院，河南郑州 450015)

一维双极量子能量输运稳态模型弱解的存在性

董建伟，程春蕊，王艳萍

(郑州航空工业管理学院理学院，河南郑州 450015)

在一维有界区域上研究一个半导体双极量子能量输运稳态模型.将此模型变形为由2个四阶椭圆方程和1个二阶退化椭圆方程组成的耦合方程组.利用截断方法和Leray-Schauder不动点定理证明了其变形后方程组弱解的存在性.

量子能量输运模型；稳态解；存在性

Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2016,43(5):521-524

量子漂移扩散模型、量子能量输运模型和量子流体动力学模型为半导体器件中常见的三大宏观量子模型.通过宏观量，例如电子密度、空穴密度、电流密度、粒子温度和电位势描述半导体器件中的载流子运动规律.最近，JUNGEL等[1]从完整的量子流体动力学模型中推导出简化的量子能量输运模型：

(1)

-div(n▽T)=n(TL(x)-T)，

(2)

ΔV=n-C(x)，

(3)

其中，电子密度n、电子温度T和电位势V为未知函数，晶格温度TL(x)和杂质密度C(x)为已知函数，普朗克常数ε>0为物理参数.在周期边界条件下，文献[1]首先证明了式(1)～(3)弱解的整体存在性，后来文献[2]研究了其解的半古典极限状态(ε→0).最近，文献[3]证明了式(1)～(3)的一维稳态模型古典解的存在性.关于式(1)～(3)不带量子项(即ε=0)的经典能量输运模型方面的研究结果见文献[4-5].当T=TL(x)=常数时，式(1)～(3)即变为量子漂移-扩散模型，近几年对此类模型已有大量研究成果[6-15].

1　主要结果

在一维有界区域(0,1)上研究式(1)～(3)的双极稳态模型：

(4)

(5)

-((n+p)Tx)x=(n+p)(TL(x)-T),

(6)

Vxx=n-p-C(x)，x∈(0,1)，

(7)

n(0)=n(1)=1,p(0)=p(1)=1，

(8)

nx(0)=nx(1)=px(0)=px(1)=

Tx(0)=Tx(1)=0,

(9)

其中电子密度n、空穴密度p、粒子温度T和电位势V为未知函数，晶格温度TL(x)和杂质密度C(x)为已知函数，常数J1,J2分别表示电子电流密度和空穴电流密度.

式(4)、(5)分别除以n,p，再关于x求导，并利用式(7)得

(10)

(11)

令n=eu，p=ev，则式(10),(11),(6),(8),(9)相应变为

(eu-ev-C(x))=J1(e-u)x，

(12)

(eu-ev-C(x))=J2(e-v)x，

(13)

-((eu+ev)Tx)x=(eu+ev)(TL(x)-T),

(14)

u(0)=u(1)=0,v(0)=v(1)=0,

(15)

ux(0)=ux(1)=vx(0)=vx(1)=

Tx(0)=Tx(1)=0.

(16)

(17)

(18)

(19)

本文的主要结果为：

2　定理1的证明

先考虑式(17)、(18)和如下截断问题：

(20)

其中,uM=min{M,max{-M,u}}，常数M的定义见后文的式(25)，vM的定义与uM类似.

(21)

另外，有

(22)

(23)

(24)

其中，

(25)

证明用φ=(T-ML)+=max{0,T-ML}∈H1(0,1)作为式(20)的试验函数，得

用φ=T∈H1(0,1)作为式(20)的试验函数，得

2eM(ML-mL)ML，

所以式(23)成立.

(26)

由Young不等式及式(23)，可以估计式(26)的右端第1项：

又因为

所以由式(26)可得

(27)

(28)

式(27)与(28)两边分别相加，得

(29)

由Young及Poincare不等式知，

又因为

所以由式(29)可推得式(21).

(30)

(31)

其中，σ∈[0,1]，定义双线性形式

(32)

线性泛函

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DONG Jianwei, ZHANG Wei. On the stationary quantum drift-diffusion model in one space dimension [J]. Advances in Mathematics,2015,44(2):263-270.

Existence of weak solutions to a stationary 1-dimensional bipolar quantum energy-transport model.

DONG Jianwei, CHENG Chunrui, WANG Yanping

(SchoolofMathematicsandPhysics,ZhengzhouInstituteofAeronauticalIndustryManagement,Zhengzhou450015,China)

A stationary bipolar quantum energy-transport model for semiconductors is studied in a 1-dimensional bounded domain. The model is reformulated as a coupled system consisting of two fourth-order elliptic equations and a second-order degenerate elliptic equation. The existence of weak solutions to the reformulated system is proved using the truncation method and the Leray-Schauder fixed-point theorem.

quantum energy-transport model; stationary solutions; existence