自然数的基数意义与大小比较

张新春

自然数的基数意义与大小比较

张新春

自然数的基数意义

有了集合等价的概念，我们就可以定义基数意义下的自然数了。

让我们想象一下，把所有有限集合进行分类，分类的标准是：凡是互相等价的集合都分为一类。这样一来，你家那只叫小黄的狗所成的集合｛小黄｝和你家那条没有名字的金鱼所成的集合｛无名金鱼｝以及你的一个中指（不妨用字母P表示）所成的集合｛P｝就属于一类。而｛A，B，C，D，E｝，｛五只羊｝，｛张三左手的五个手指｝，这些集合又属于另一类。在这里，我们并不关心这些集合中对象的具体属性是什么。它们之所以属于一类，是因为它们有不依赖于对象特殊性质的共同属性。这种共同属性（或特征）的标志就叫做集合的基数。事实上，“1”就是上述第一类集合的共同属性，而“5”就是上述第二类集合的共同属性。对有限集合来说，它的基数就是自然数。或者说，互相等价的一类集合的共同属性即是自然数。

在｛a｝中添加一个元素b，得到的集合｛a，b｝也是有限集合，与它等价的所有集合的基数记作2；

……

基数意义自然数的大小比较

把自然数定义为集合的基数，解决了“自然数是什么”的问题。只有在此基础上明确自然数的一些主要属性，才能应用自然数这个概念。基数意义下的自然数首要的应用就是计数，即数物体的个数。物体的个数有多有少，因此，我们必须规定自然数的大小。

我们不妨先看看小学数学教材上的处理。

下图是人教版教材中比较自然数大小的处理方式。我们严格定义自然数大小的方法与这种处理方法完全类似，只是用的是集合的语言。

上述左图中兔子集合与笼子集合能建立起一一对应的关系（即两个集合等价），我们说两个集合中的元素个数相等，即4=4。而右图中小猪集合不能与木棒集合建立起一一对应的关系（即它们不等价），但我们可以看出，小猪集合与木棒集合的“一部分”能建立起一一对应的关系。这种一个集合全体与另一个集合的“一部分”建立起一一对应的关系，就规定出了“多”和“少”，也就规定出了这两个集合所对应的自然数的“大”和“小”。即3＜4或4＞3。为了用集合的语言表述所谓“一部分”，我们建立了子集的概念。如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，我们就说集合A是集合B的子集。比如，集合A=｛1，2，3｝是集合B=｛1，2，3，4｝的子集。特别地，一个集合也是它自己的子集。这一点只要对照子集的定义就可以知道。有时候不需要考虑这种特别的情况。于是我们把一个集合不同于自己的子集叫做真子集。即，集合A是集合B的真子集，就是说集合A中的元素都是集合B中的元素，但集合B中至少有一个元素不在集合A中。一个集合的真子集就是这个集合的“一部分”。

下面我们来定义自然数的大小。

定义：两个有限集合A和B的基数分别用自然数a和b表示，那么：

当集合A的一个真子集与集合B等价（即能建立起一一对应的关系）时，称a大于b，记作a＞b。

当集合A与集合B的一个真子集等价时，称a＜b，记作a＜b。

当集合A与集合B等价时，称a等于b，记作a=b。

这种比较大小的方式被推广到了无限。我们说自然数个数与偶数个数一样多，就是在这种意义上说的。因为自然数集合和偶数集合是等价的——能建立起一一对应的关系。事实上自然数的个数与有理数的个数也一样多，但实数的个数就多于有理数的个数。