有限长周期参数梁的动力学特性

张　巍，应祖光

（1.浙江理工大学 经济管理学院实验中心，杭州 310018；2.浙江大学 航空航天学院力学系，杭州 310027）



有限长周期参数梁的动力学特性

张巍1，应祖光2

（1.浙江理工大学 经济管理学院实验中心，杭州 310018；2.浙江大学 航空航天学院力学系，杭州 310027）

研究有限长周期参数梁的动力学特性。建立周期参数梁的运动微分方程，得到梁高度周期性的参变方程，运用伽辽金法转化为多自由度状态方程，然后得到周期参数梁的固有频率方程。最后通过数值结果说明梁位移展开项数对于固有频率与动力学特性的影响，特别是周期参数为低周期或高频率情况时，固有频率随周期参数频率与幅度的变化及频带间隙（固有频率随周期参数频率变化的空隙）的退化与梁弯曲波的弥散等。

振动与波；动力学特性；有限长梁；周期参数

周期结构具有特殊的动力学性质，例如波动空间或振动模态的局部化，它对于结构动力学特性的优化具有重要作用。90年代前后，关于周期结构的动力学特性进行了广泛研究，主要工作集中于无限尺寸周期结构的周期波动特性（包括特征波数与频率），它基于一个周期单元结构受两端周期性约束的特性分析，周期性导致特征频率的带隙，即“band gap”［1-6］。然而，实际工程结构的尺寸是有限的，边界约束使结构固有频率离散化，而且低阶固有模态的空间分布是跨越整个结构的（该模态不具有周期性），因此有限尺寸周期参数结构的动力学特性将不同于上述周期结构［7］。此外，由弹性动力学理论［8］知梁与板等结构的弯曲波具有弥散性（不能保持周期性），其动力学特性不同于传统的达朗贝尔波（例如弦与杆的波）。而高频波的波长短，空间离散分析时需要划分足够细单元或考虑足够多高阶模态，否则将导致伪特性。关于这些有限尺寸周期参数结构的动力学特性尚需进一步研究。

文中将研究有限长周期参数梁的动力学特性。先建立周期参数梁的运动微分方程，考虑梁高度的周期性得到参变方程；再用空间谐波函数离散梁位移，按伽辽金法推导梁的多自由度状态方程，进一步得到固有频率方程；最后通过数值结果说明梁位移展开项数对于固有频率的影响，特别是周期参数为低周期或高频率情况下的影响，固有频率随周期参数频率与幅度的变化，频带间隙（固有频率随周期参数频率变化的空隙）的退化，及弯曲波的弥散（特征频率与波数的非线性关系，导致波随传播而变形）等。

1　有限长周期参数梁的动力学方程

考虑具有周期参数的有限长水平简支梁（图1），按照欧拉-伯努利模型，其运动微分方程为

式中w是垂直位移，x是水平坐标，f是激励，ρ是质量密度，E是弹性模量，A是横截面面积，I是惯性矩，cd是阻尼系数。其中，ρA与EI是x的周期（T0）函数。展开式（1）的偏导数项得

对位移与坐标无量纲化，式（2）成为

式中ν是无量纲位移，坐标y=x/L，L是梁长度，对于高h宽b的矩形截面梁，系数D1、D2、D3分别为

图1　有限长周期参数简支梁

若考虑周期变化的高度h=h0（1+λssinωhy），其中h0是平均高度，λs是周期高度比或周期参数幅度，ωh（2πL/T0）是周期参数变化频率。则系数D1、D2、D3是式（3）的周期参数，导致空间参变，成为非线性问题。简支梁的边界条件为

式（3）与式（5）组成有限长周期参数简支梁的基本方程，边界约束使固有频率离散化，而参数周期性又将改变其动力学特性。

2　空间展开与特征值解

空间离散化是解上述问题的有效分析方法，但参数周期性将使各个分量相互耦合，从而导致高阶分量对低阶分量产生影响，特别是周期参数变化频率较高时，需要考虑足够的高阶分量。梁无量纲位移可展开为

式中Ri是时间函数，N是项数。将式（6）代入式（3），按伽辽金法得多自由度系统方程

式中广义位移向量R=［R1，R2，…，RN］T，Cu是阻尼阵，Ku是刚度阵，Fu是激励向量，其中元素

式（7）可表示为状态方程

式中

周期参数与展开模态的耦合作用在刚度Ku中，因此参数周期性通过调制系统刚度改变动力学特性及响应。由式（9）解得状态向量，代入式（6）即得梁位移。而系数阵A的特征值确定了梁固有频率，固有频率即为特征值的正的虚部。由此可分析参数周期性对于固有频率的调制与影响。

3　数值结果

设周期性梁的基本参数ωh=10p，λs=0.2，N= 50，模态阻尼比ζ=0.005，无量纲化频率常数ω0=p2（h0/L2）（E/12ρ）1/2（除了图2的指定值）。由系数阵A计算固有频率（用MATLAB函数），式（9）与式（6）用龙格-库塔法计算响应，结果如图2—图5所示。图2表明周期性梁位移展开项数N对前8阶固有频率的影响，当N³50时结果才收敛，否则将导致伪特性。

图3展示前4阶固有频率随周期参数频率（ωh/ p）的变化，参数变化频率对高阶固有频率的影响较大，低参数频率时影响较显著，各阶固有频率随参数频率增加而降低，可跨越低参数频率时的低阶固有频率，即频带间隙（固有频率随周期参数频率变化的空隙）退化。

图2　固有频率随项数（N）的变化（ωh=20π，λs=0.3）

图3　固有频率随参数频率（ωh）的变化

图4　固有频率随参数幅度（λS）的变化

图5　弯曲波的弥散

图4展示前4阶固有频率随周期参数幅度λs的变化，各阶固有频率随参数幅度增加而降低，可跨越低参数幅度时的低阶固有频率。

图5展示梁在左端附近初始单位脉冲波（宽Dy= 0.01）作用下两个时刻的响应，波往右端传播时幅度降低、宽度增大，即为波的弥散。因此，不存在理想的单频波或达朗贝尔波［8］。

4　结语

研究了有限长周期参数梁的动力学特性，建立周期参数梁的运动微分方程，得到梁高度周期性的参变方程，并按伽辽金法进一步得到多自由度状态方程，及固有频率方程。数值结果表明，位移展开项数对于梁固有频率与动力学特性有重要影响，特别是周期参数为低周期或高频率情况时，固有频率随周期参数频率与幅度增加而降低，超过一定界限时频带间隙（固有频率随周期参数频率变化的空隙）将退化，梁弯曲波具有弥散性。

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Dynamic Characteristics of Finite-length Periodic Parameter Beams

ZHANG Wei1，YING Zu-guang2

（1.Laboratory Center，School of Economics and Management，Zhejiang Sci-Tech University，Hangzhou 310018，China；
2.Department of Mechanics，School ofAeronautics andAstronautics，Zhejiang University，Hangzhou 310027，China）

The dynamic characteristics of finite-length periodic parameter beams are studied.The differential equation of motion of the periodic parameter beams is presented，and the partial differential equation with spatial varying parameters for the periodic-height beam is obtained.Then，the equation is converted into a multi-DOF state equation using Galerkin method，and a set of algebraic equations for natural frequencies of the periodic beam is obtained.Numerical results are given.The influence of the number of series expansion terms of the displacement on the natural frequencies and dynamic characteristics of the beam is analyzed.Variation of the natural frequencies with the change of the frequency and amplitude of the periodic parameter，degeneration of the band gaps among the natural frequencies，and the bending waves scattering are analyzed in the case of large periodic parameter frequencies.

vibration and wave；dynamic characteristics；finite-length beam；periodic parameter

O32；TB53

ADOI编码：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.04.005

1006-1355（2016）04-0024-03

2016-01-13

国家自然科学基金资助项目（11572279）；浙江省自然科学基金资助项目（LY15A020001）

张巍（1965-），女，江苏南通人，高级工程师，学士，主要从事信息系统与控制研究。E-mail:zhweihz@zstu.edu.cn