从弧度制的引入和对数的发明谈起——还原数学发展的历程，体验数学文化的魅力

常永兴1，刘旭东2，杨　杰3

（1.淄博四中；2.淄博市教研室；3.淄川区教研室）

从弧度制的引入和对数的发明谈起
——还原数学发展的历程，体验数学文化的魅力

常永兴1，刘旭东2，杨杰3

（1.淄博四中；2.淄博市教研室；3.淄川区教研室）

半个多世纪以前，著名数学家柯朗（R.Courant）在名著《数学是什么》的序言中写道：“今天，数学教育的传统地位陷入严重的危机。数学教学有时竟变成一种空洞的解题训练。数学研究已出现一种过分专门化和过于强调抽象的趋势，而忽视了数学的应用以及与其他领域的联系。教师、学生和一般受过教育的人都要求有一个建设性的改造，其目的是要真正理解数学是一个有机整体，是科学思考与行动的基础。”

和所有文化现象一样，数学文化直接支配着人们的行动。孤立主义的数学文化，一方面拒人于千里之外，使人望数学而生畏；另一方面又孤芳自赏、自言自语，令人把数学家当成“怪人”。学校里的数学，原本是青少年喜爱的学科，却成为过滤的“筛子”、打人的“棒子”。优秀的数学文化，会是美丽动人的数学王后、得心应手的仆人、聪明伶俐的宠物。伴随着先进的数学文化，数学教学会变得生气勃勃、有血有肉、光彩照人。

下面从弧度制的引入和对数的发明方面谈谈数学发展的相关历程，期待学生能从中体验到数学文化和数学思维的魅力。

一、弧度制的引入

阿耶波多（Aryabhata玉，476—550年）是现在知道的印度最早的数学家和天文学家，1976年，为纪念阿耶波多诞生1500周年，印度发射了以阿耶波多命名的第一颗人造卫星。他只有一本天文数学著作《阿耶波多历数书》（499）传世。该书突出的地方在于对希腊三角学的改进。

改进主要有：

①把半弦与全弦所对弧的一半相对应（如图1），成为今天的习惯。

图1

②引入了弧度制

阿耶波多将圆周分为360度，又采用60进制将1度分为60分，这样将整个圆周分为21600分。再由2r=21600，可得半径r= 3437.747（取圆周率≈3.1416），定义取整定半径为r=3438分，这样就统一了半径和圆弧之间的单位。原来托勒玫（古希腊）三角学中有两套单位。30度弧对应的弦值是30个半径单位（半径长的1/60为一个单位），30度是圆弧的单位。1度是圆周之后，3°45′=225分，因而引入了弧度制。

现代弧度制是欧拉在《无穷小分析引论》（1748）中倡导的，他是以半径为单位1来当统一单位，这样圆周为2单位。

弧度制的精髓就在于统一了度量弧（后来的角）与半径的单位，从而大大简化了有关公式及运算。

二、对数的发明

9710.3265÷2.1829=？

没有什么比大数的乘、除、开平方或开立方运算更让数学工作者头痛，更阻碍计算者了。这不仅浪费时间，而且容易出错。因此，我开始考虑怎样消除这种障碍，经过长时间的思索，我终于找到了一种漂亮的简短法则……——《奇妙的对数定理说明书》

书中借助运动学，用几何术语阐述了对数方法。如图2，假定两点P，Q以相同的初速度运动。点Q沿直线CD作匀速运动，CQ=x；点P沿直线AB（长度为107单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（PB=y）。令P与Q同时分别从A，C出发，那么，定义x为y的对数。后人称为纳皮尔对数：Naplog。利用对数，纳皮尔制作了0°～90°每隔1′的正弦的对数。

图2

用微积分推导过程如下：

由AP=107-y，得

将t=0代入，计算积分常数，得C=ln107。

所以lny=-t+ln107。

纳皮尔对数方法公布之后，引起了很多人的兴趣，认为此方法可以很好地解决大数乘法问题，因而传播开来。

没过多久，英国数学家布里格斯（H.Briggs 1561—1631年）与纳皮尔合作，又将纳皮尔方法中的自然常数e改成了10，这样就更方便了，因而产生了我们今天的常用对数。

常用对数是如此好用，以至于不久就被广泛用到了当时的天文学中，后来拉普拉斯曾说：“对数的发明以其节省劳动力而延长了天文学家的寿命。”阿拉伯数字、十进制和对数被称作数学计算方面的三大发明。

注：本文系淄博市市级课题高中数学“基于数学文化的高中新授课教学研究与实验”课题研讨会专题发言稿。

·编辑温雪莲

常永兴，男，中学一级教师，学士学位，淄川区优质课一等奖，淄川区教学能手，中学数学教学参考编辑部第十届“解题教学高级研讨班”学员，现参与市级课题高中数学“基于数学文化的高中新授课教学研究与实验”。