判别非线性滑动轴承转子系统临界转速新方法

王江辉　徐武彬　李　冰　李小磊

广西科技大学，柳州，545006



判别非线性滑动轴承转子系统临界转速新方法

王江辉徐武彬李冰李小磊

广西科技大学，柳州，545006

摘要：介绍了对数衰减法在非线性滑动轴承转子系统中判别临界转速的计算原理和所存在不足之处。指出了对数衰减法的适用范围：稳定性临界曲线的量纲一偏心率在0.2～0.6之间。提出了一种可通过MATLAB编程实现并依据轴心轨迹图形来判断临界转速的新方法，并将其与对数衰减法进行了对比。结果表明：图形法判断的临界转速是正确的，并且弥补了对数衰减法的不足。

关键词：对数衰减；临界转速；非线性；轴承转子系统

0引言

非线性滑动轴承转子系统的稳定性判断一直是学者们的关注热点，而非线性滑动轴承转子系统临界转速决定了转子系统是否稳定，因此对非线性转子系统临界转速的准确判断至关重要[1-3]。目前，对非线性滑动轴承转子系统临界转速的判别并没有一个实用的方法和标准，一般多采用对数衰减率法。但对数衰减率法在非线性转子系统中的应用存在诸多不足，如判断失真或无法判断。广义阻尼、稳定欲度、相邻波谷插值对数比等都是对数衰减率概念的变形，在实际应用中并不能完全解决自身不足[4-6]。本文为了解决临界转速判断失真现象，首先指出对数衰减率法在非线性轴承转子系统临界转速判别的适用范围，然后提出一种较准确且适用于非线性轴承转子系统的临界转速判别新方法。

1轴心轨迹的计算

为了求出转子系统的轴心轨迹，首先利用Reynolds方程解出系统的油膜压力。通过有限差分法并用MATLAB编程求解简化的Reynolds方程：

(1)

式中，x、z为转子圆周和径向方向的坐标，m；p为油膜压力，Pa；U为轴颈表面速度，m/s；μ为流体动力学黏度，Pa·s；t为时间，s。

求出系统油膜压力后，通过一维辛普森积分法就能得出轴颈上瞬时油膜力Fx、Fy：

(2)

式中，Fx、Fy分别为水平和竖向的油膜力，N；θ表示位置角，(°)。

轴心轨迹是旋转机械监测的重要内容，能够反映旋转元件的运行状态等基本信息，对轴承转子系统稳定性的分析至关重要。如图1所示，Oj为转子圆心，为了求出系统轴心轨迹，首先利用式(2)求出的水平和竖向的油膜力Fx、Fy，然后运用牛顿定律计算出轴心水平与竖向的加速度，最终可以求出每个时间点的水平位移与竖向位移，每个时间点的位移轨迹即为轴心轨迹。

图1　轴心瞬态轨迹模型

转子轴心的水平与竖向加速度采用下式计算：

(3)

式中，Fxj、Fyj分别为节点j水平和竖向的油膜力；G为转子重力，N；m为转子质量，kg。

转子轴心水平与竖向的瞬态速度及位移的计算式为

(4)

(5)

Δt=12/(5v)

式中，Δt为时间间隔，s；v为转子的线速度，m/s。

滑动轴承转子系统的轴心轨迹在不同的转速下存在稳定、临界和不稳定3种状态，如图2所示，由轴心轨迹可以得出3种状态的时域图。

(a)稳定状态

(b)临界状态

(c)发散状态图2　轴心轨迹时域图

2对数衰减法

为了说明对数衰减法判断临界转速时的不足，引入

(6)

式中，x1、x2为波峰纵坐标；y1、y2、y3为波谷纵坐标。

对数衰减法是根据转子系统时域图3种不同状态的2个相邻的波峰或波谷的对数比来进行判断的，根据转子系统时域图的3种不同状态，它们之间的对数比会出现3种状态，即Ld>0，Ld=0，Ld<0。Ld=0的点即为临界转速，根据Ld>0， Ld<0两种不同的状态，通过插值法就能求出临界转速。这种插值法并不能很准确地找出Ld=0的点，文献[7]中给出了临界转速判断范围，即认为|Ld|<10-4时已达到临界状态，这种方法计算出的临界转速和理想的临界转速相差并不大，并且相差值对整个转子系统稳定性的影响几乎可以忽略。

图3　稳定状态时间与偏心率关系

实际计算中，轴承转子系统时域图中的偏心率不会随时间平滑变化，当润滑油的黏度发生变化时，转子系统的时域图也会发生变化。因此，当润滑油黏度变化为较大值或较小值，甚至在转子存在一定制造误差时就会出现多个小波峰，如图4所示。对数衰减法是依据波峰来判别临界转速的，波峰发生变化后，对数衰减法就不再适用。文献[6]利用波谷两相邻插值的对数来判断临界转速，这种方法实质上还是对数衰减法，且波谷的变化也并不总是那么有规则，对存在一定制造误差的转子系统也不能完全适用，计算精度也不高，因此，这种方法不能适用于所有的转子系统。

图4　一定黏度下时间与偏心率关系

3求临界转速新方法

由于对数衰减率法在求临界转速时存在诸多限制，所以对数衰减法在非线性轴承转子系统临界转速的判别中存在较多的局限性，为了克服对数衰减法的诸多缺点，提出了一种通过轴心轨迹图形的变化来判断临界转速的方法，并用MATLAB编程实现。如图2所示，转子系统轴心轨迹在不同的转速下存在3种不同的状态，当轴心轨迹的形状和大小重复性很好时，会形成一个长短轴相差不大的椭圆。这时转子系统就达到了临界转速，无论润滑油黏度如何变化、是否存在制造误差。转子系统达到临界转速时，其轴心轨迹都会出现这种重复性很好的椭圆。根据轴心轨迹这一特性，通过判断轴心轨迹的重叠度来判断其临界转速，并用MATLAB编程实现自动搜索。

图5　轴心轨迹

方法原理：如图5所示，当转速接近临界转速时，轴心轨迹的内圈椭圆和外圈椭圆就会具有一定的宽度(临界宽度b)。转速越接近临界转速，临界宽度b越小。为了测出临界宽度b的大小，通过从圆点O发出一条射线OA。射线OA与轴心轨迹的内圈和外圈相交，取所有大于平均振幅即弧线BC的轨迹，内外两个相交点之差即临界宽度b。虽然轴心轨迹在接近临界状态时的重复性很好，但实际上，轴心每转一周的轨迹是彼此交错的，毫无规律，且轴心轨迹随着参数的变化而变化。因此根据某一点的临界宽度b来判断是否达到临界转速的可信度并不高。为了提高可信度，本文在图5的角度范围(-90°～90°)之间每隔1.1Δt～1.5Δt(计算轴心轨迹时，步长的间距为Δt)扫描一次。临界区域b太小，搜寻的难度增大、搜寻时间长；临界区域b太大，计算的临界转速误差增大，影响转子系统稳定性判断。一般根据实际计算b可以取10μm、11μm、12μm，满足临界宽度b的次数n一般取4、5、6、7。b与n的数值是在已确保本文新的判别方法正确的基础上，经过反复大量的实验、计算、修正，最终确定的，本文给出的值基本能够满足要求，确保不失真。

4稳定性临界曲线

为了得出对数衰减法的适用范围，并更直观地对比两种方法，引入了反映转子系统稳定性临界转速的量纲一运行参数Op：

(7)

式中，g为重力加速度，m/s2；ω为转子角速度，rad/s。

连续改变润滑油的动力学黏度或转子质量后，转子系统临界转速发生相应改变，将不同临界转速对应的点连接起来即为稳定性临界曲线。稳定性临界曲线以量纲一参数Op为纵坐标，以量纲一偏心率e为横坐标。量纲一偏心率求解方法：根据转子系统随润滑油黏度变化而求出的不同的临界转速，再根据系统其他参数不变的条件求出SommerfeldNumber，进而求出量纲一偏心率[8]。

如图6所示，本文采用与文献[9]完全相同的参数，计算得出的稳定性临界曲线几乎和文献[9]的曲线重合，表明了本文方法的正确性；与文献[10](参数缺失)的结果对比可知，曲线的变化趋势基本相同，存在小的偏差是因为每个转子系统的参数并不是完全一致的，并受起点位置的影响。与文献[9]、文献[10]方法的对比表明，本文方法得出的稳定性临界曲线理论方法是正确的。

图6　稳定性临界曲线

为了对比2种求临界转速的方法，采用相同的结构参数：转子长度L=76.2mm，轴瓦内径D=76.454mm，转子直径Dj=75.692mm，转子质量m=18.5kg。偏心率e在0.2～0.6之间(这个区域相对稳定)时，域图的波形都是较光滑的，说明对数衰减法在这一范围计算较准确。从图6可以看出，偏心率在0.1～0.6之间时，对数衰减法和本文方法得出的稳定性参数Op几乎一致，说明了本文方法的可行性和准确性。Op应随着偏心率的变化而平滑的变化，但从图6、表1可以看出，偏心率e<0.2和e>0.6时，对数衰减法得出的Op有不规则变化。从表1可以看出：e<0.2时，2种方法的偏心率基本一致，Op发生了锯齿形的变化；e>0.6时，对数衰减法的偏心率和Op都发生了不规则变化，润滑油黏度很小时，对数衰减法就无法判断出结果，因此其稳定性临界曲线与本文方法对比时会缺少数据。偏心率e<0.2和e>0.6的区域是不稳定区域，但主要还是因为临界转速的判别失真造成的。同时也表明对数衰减法在这两个区域的不适用性。

表1　数据分析

5结语

系统地介绍了对数衰减法的计算原理，指出了对数衰减法在非线性滑动轴承转子系统的不足之处，并用稳定性临界曲线说明了对数衰减法(包含变形的对数衰减法)在量纲一偏心率为0.2～0.6的范围内能够适用于非线性滑动轴承转子系统，计算精度能够满足要求。

提出一种根据判断轴心轨迹临界区域宽度b来判断临界转速的新方法，将对数衰减法和本文提出的图形判别法进行了对比，并用稳定性临界曲线验证了方法的准确性，通过MATLAB编程准确搜寻出临界转速，且本图形判别法不受润滑油黏度、制造误差等因素的影响，方法直观、便捷。

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(编辑张洋)

收稿日期：2015-09-28

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51265004,50865001)

中图分类号：TH16；TK263.61； TK263.64

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.14.021

作者简介：王江辉，男，1987年生。广西科技大学机械工程学院硕士研究生。主要研究方向为滑动轴承转子动力学。徐武彬，男，1966年生。广西科技大学机械工程学院教授。李冰，女，1978年生。广西科技大学机械工程学院副教授。李小磊，男，1987年生。广西科技大学机械工程学院硕士研究生。

A New Method for Judging Criticat Speed of Nonlinear Bearing Rotor System

Wang JianghuiXu WubinLi BingLi Xiaolei

Guangxi University of Technology，Liuzhou，Guangxi，545006

Abstract：The theory of computation on discriminating the whirling speed and some shortcomings existing inside the nonlinear sliding bearing rotor system were introduced herein. The scope of the logarithmic decrement was pointed out,which was suitable for the stability critical curve dimensionless eccentricity between 0.2 and 0.6. A new method for judging the critical speed by MATLAB graphical programming was proposed, which was compared with the logarithmic decrement method.The results show that the graphic method to determine the critical speed is correct and the deficiency of the logarithmic decrement method is corrected.

Key words：logarithmic decrement； critical speed；nonlinear； bearing rotor system