高考命题中的惊人之举

◇　北京　王雪芹(特级教师)　王慧兴



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高考命题中的惊人之举

◇北京王雪芹1(特级教师)王慧兴2

对高考试题进行跟踪、研究,我们不仅能把握常规考题、高频考点与数学思想方法,也能领略试卷压轴题的命题规律.研究高考题发现:压轴题设计有全新试题,也有前后几年试题形式雷同或接近的变式试题或是解题思想和解题方法有雷同之处的考题,本文把高考试题表现出的这些情形称作“高考命题中的惊人之举”.研究挖掘过往试题及其潜在价值,有助于我们及时捕捉高考信息,捕捉新的高考动态.

1命题再现

(1) 证明:xn>xn+1>2(n∈N*);

若xn>3,由(1)知{xn}递减,得x1>x2>…>xn>3;再由(1)中的递推公式,对∀k∈{1,2,3,…,n},都有

综上所述,命题得证.

(1) 求证:an

(1) 加强证:0a2=f(a1)=a1(1-lna1)>a1,即0

设当n=k(k∈Z*)时,有0

0

即0

(2) 若ak≥b,则由(1)有ak+1>b. 若ak

ak+1=f(ak)=ak(1-lnak)=ak-1(1-lnak-1)·

(1-lnak)=…=a1(1-lna1)(1-lna2)·…·

(1-lnak)>a1(1-lna1-lna2-…-lnak)>

综上所述,ak+1>b得证.

2策略重演

Sn=a1b1+a2b2+…+anbn,

Tn=a1b1-a2b2+…+(-1)n-1anbn.

(1) 若a1=b1=1,d=2,q=3,求S3的值.

(2) 若b1=1,证明:

(3) 若正整数n满足2≤n≤q,设k1,k2,…,kn和l1,l2,…,ln是1,2,…,n的2个不同的排列

c1=ak1b1+ak2b2+…+aknbn,

c2=al1b1+al2b2+…+alnbn.

证明c1≠c2.

(3)c1-c2=(ak1-al1)b1+(ak2-al2)b2+…+(akn-aln)bn=(k1-l1)db1+(k2-l2)db1q+…+(kn-ln)db1qn-1.

若kn≠ln,取i=n;否则kn=ln.取最大的i使得ki≠li(kj=lj,i+1≤j≤n).由题设知1

(ki-1-li-1)qi-2+(ki-li)qi-1.

(1) 当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;

(2) 设s、t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,其中ai、bi∈M(i=1,2,…,n),证明:若an

(2) 由s、t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,ai、bi∈M(i=1,2,…,n)及an

s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+

(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1≤

(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)qn-2-qn-1=

故s

3由统招到自招

我们以例10为例给出证法.

如图1,上述和式表示曲边梯形区域A={(x,y)|0≤y≤f(x),x∈[0,1]}的面积.

图1

而区域A的面积是定积分

所以

近年来和式型不等式在各省市高考试题、重点高校自主招生试题以及全国高中数学联赛试题中普遍出现,成为热点内容之一,而且这些和式型不等式都可视为积分和,从而用定积分的几何意义构建,直击目标．

4高等视角

(1) 求证:f(x)≤0;

(1) 求l的方程;

(2) 证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线l的下方.

从而很快得到2个最佳常数amax=π/2,bmin=1.

上述极限也可由现行教材中导数定义计算：

(作者单位