一道高考试题的解法赏析与溯源拓展

黄旭东

1试题再现与分析

2016年四川卷（文数）第20题：已知椭圆E：x2a2+у2b2=1（a﹥b﹥0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（3，12）在椭圆E上.（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设不过原点O且斜率为12的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：AM·BM=MC·MD

不难得（Ⅰ）方程为：x24+y2=1；而（Ⅱ）所证结论较有意思，让我们联想到圆的相交弦定理.其证法有多种，下面先赏析其解法，供参考.

2解法赏析

从设直线方程的常规视角考虑，即基本方法，即得如下解法.

证法一如图1，设直线AB方程为y=12x+m，由AB与椭圆相交，则y=12x+m，

x24+y2=1，则得x2+2mx+2m2-2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则Δ=4m2-8m2+8>0m2<2，x1+x2=-2m，x1x2=2m2-2，故中点坐标M（-m，12m），则CD方程为y=-12x，由CD与椭圆相交则x24+y2=1，

y=-12x，x=2，

y=-22，或x=-2，

y=22，则C（-2，22），D（2，-22），由C、M、D三点共线，则MC·MD=CM·MD=（-m+2）（2+m）+（12m-22）（-22-12m）=54（2-m2），又M为AB中点，则AMBM=14AB2=14[1+k2AB（x1+x2）2-4x1x2]2=14（1+122）（4m2-8m2+8）

=54（2-m2），即AM·BM=MC·MD.

由于M为弦AB中点，可利用点差法；又联想到参数方程求解弦长乘积有着独到的优势，从此视角考虑可利用参数方程加以解决，则有解法二.

证法二设直线AB与椭圆两交点A（x1，y1），B（x2，y2），则有x214+y21=1………①，x224+y22=1………②，①-②得：（x1-x2）（x1+x2）4=-（y1+y2）（y1-y2）.设AB中点M（x0，y0），AB斜率为k，则k=y1-y2x1-x2=-x1+x24（y1+y2）=-x04y0=12y0x0=-12，则直线CD斜率为kCD=y0x0=-12，AB的参数方程为x=x0+tcosθ，

y=y0+tsinθ，（其中cosθ=55，sinθ=255，t为参数），将之代入椭圆方程化简得

（4sin2θ+cos2θ）t2+（2x0cosθ+8y0sinθ）t+x20+4y20-4=0，不妨设A，B对应参数分别为t1，t2，则AM·BM=t1t2=x20+4y20-44sin2θ+cos2θ，考虑到CD与AB直线斜率为相反数，则CD参数方程只需将θ换成π-θ，设C，D对应参数分别为t3，t4则同理可得MCMD=t3t4=x20+4y20-44sin2（π-θ）+cos2（π-θ）=x20+4y20-44sin2θ+cos2θ，显然AMBM=MCMD.

要说明的是参数方程在此处应用可说是大大简化了运算量，让人印象深刻！

考虑到AB，CD两直线与椭圆相交于四点，从曲线束的视角考虑也可妙解此题.

证法三同证法二，可得kCD=-12，设AB方程为：y=12x+m，且CD方程为y=-1[]2[SX）]x，将直线AB，CD组合看成二次曲线C，方程为（x+2y）（x-2y+2m）=0由于曲线C与椭圆E相交于A、B、C、D四点，则过A、B、C、D四点的二次曲线束可设为x2+4y2-4+λ（x+2y）（x-2y+2m）=0…（1），又设AD，BC直线方程分别为a1x+b1y+c1=0与a2x+b2y+c2=0，则AD，BC组合看成二次曲线G：（a1x+b1y+c1）（a2x+b2y+c2）=0…（2），由曲线G也过A、B、C、D四点，则二次曲线束也可表示AD，BC两直线组成的二次曲线G，比较方程（1）（2），由于方程（1）整理后无xy项，则方程（2）xy项系数也为0，即a1b2+a2b1=0，由题意知b1b2≠0，则有a1b1+a2b2=0，则直线BC与直线AD斜率kBC+kAD=0，如图2，则知∠3=∠4，又∠1=∠2，则∠3-∠1=∠4-∠2，图2即∠BCM=∠DAM，又∠CMB=∠AMD，则∠CBM=∠ADM，即△BMC∽△DMA，AMMC=MDBM，即AM·BM=MC·MD.

利用二次曲线束，结合相似三角形线段成比例，绕过弦长的计算，独辟蹊径，让人拍案称绝！3试题溯源拓展

由上面各种证明我们发现，最终保证“椭圆相交弦定理”结论成立的必要条件是直线AB与直线CD斜率互为相反数.溯其源流，在新课标选修44第38页例4中找到源头，即为椭圆中相交弦定理.

定理1[1]过椭圆内部一点M作两条相交弦AB与CD，且直线AB与CD斜率互为相反数，则有AM·BM=MC·MD.

此相交弦定理可推广到双曲线与抛物线，见图3、图4，即得

定理2双曲线两条相交弦AB与CD交于一点M，且直线AB与CD斜率互为相反数，则有AM·BM=MC·MD.

定理3抛物线两条相交弦AB与CD交于一点M，且直线AB与CD斜率互为相反数，则有AM·BM=MC·MD.

上述定理的证明可参照上面证明中证法二与证法三，此处略.

由此试题提醒我们中学老师在平时教学时应重视课本教学，应固本思源，同时注意引导学生挖掘典型题，多角度进行变式教学，才能使我们的学生在未来的高考舞台中，游刃有余，笑傲考场！

参考文献

[1]普通高中课程标准实验教科书数学（选修44）[M].北京：人民教育出版社，200712：38