“导数概念”在中英不同教材中的编写比较

沈金兴

【摘要】

在中、英两国不同版本的高中数学教材中就“导数概念”内容进行了编写特征的比较。从导数概念得出的结构路径、表述形式与例习题的编排方式、数量、难易水平、综合水平及信息技术的融入等方面建立框架，并以宏观与微观两个层面作比较分析，得到了两国教材在编写上具有宏观的相似性和微观的差异性，从而得到了教材编写的启示.

【关键词】导数概念；结构路径；例习题

1引言

2015年8月，一部由英国BBC公司制作的关于中英两国教育比较的纪录片，引起了两国的热议.该片以英国汉普郡某中学为背景，在一个自愿组成的50名英国中学生班级里，邀请了5位中国教师来进行为期1个月的“中式教学”，然后通过测验与其他班级进行PK，最后是采用“中式教学”的实验班取得完胜的一部3集纪录片.而在实施“中式教学”的科目中就有数学，且在最后的测验中平均分超过了对照班10分.这部纪录片播出后，关于中英两国的教育孰优孰劣开始争论不休.但笔者认为这完全没必要，因为由BBC公司策划的这场“教学实验”，既不科学也不严谨，它完全是以娱乐为主，以提高收视率为最终目的，所以在选择、剪辑素材来制造“悬念、冲突”等方面是不客观的，因而不能算作严格意义上的教学实验，也不是比较教育研究.为了真实、客观地反映中英两国的教育，笔者特意选了两国各一本高中数学教材，并就某一个相同内容的教材编写特点作比较研究，以期能较真实地了解两国不同的数学教育现状.1研究方法

2.1研究对象

比较研究的内容是“导数概念”，选取的中国大陆教材是人民教育出版社出版（2007版）的数学（A版）选修22（简称“人教版”），英国教材选用的是由培生公司（A pearson company） 2009年出版的，英国爱德思（Edexcel）国家职业学历与学术考试机构所用的教材：Edexcel AS and A Level Modular Mathematics （core1）（简称“ASA版”）.

显然在现阶段，这两个版本的教材是各自国家中使用最广泛的.虽然中国大陆有几个版本的高中数学教材，但大多数省份还是使用人教版，因而很有代表性.而英国高中的Edexcel考试委员会所用的教材就是核心数学模块系列（分别是core1、core2、core3和core4）.其中core1、core2教材的程度相当于中国大陆的高一，属于A Level考试（相当于高考）的AS Level，也是英国学生在进大学前的必修课程.由于“导数概念”在ASA版core1的第七章，而人教版在选修22的第一章，所以就以这两本教材为研究对象.

2.2研究问题

中英这两个版本的教材就“导数概念”这块内容是如何编写的呢？导数概念的引入与表述又是怎样？相对应例习题的编写特征是什么？题量、难易度与综合水平又是如何配置的？

2.3研究方法

基于两个不同版本的高中数学教材的文本，从宏观和微观两个方面建立分析框架，以具体内容的细节分析比较为主要研究方法，以便更清楚地了解两种教材的异同点.3研究结果与讨论分析

3.1导数起源概述

为了更好地理解两国教材在对导数概念处理方式上的异同点，有必要对导数的起源有所了解.微积分诞生于17世纪，但导数的产生其实起源于对三个古老问题的研究，分别为解决光学问题、处理曲线运动的速度问题与确定曲线的夹角问题.而要解决这三个问题都涉及到同一件事，那就是要解决曲线的切线问题[1].所以，曲线的切线问题导致了导数的诞生，故要讲授导数，必定离不开切线问题.

3.2导数概念的编写比较

3.21导数概念的结构路径比较

通过宏观层面来观察两国不同教材对导数概念的得出.下面以它们的呈现结构路径为例来比较.人教版安排了3小节，具体的编写路径为：生活中的平均变化率瞬时速度在x=x0处的导数概念导数的几何意义：在点P处的切线导数的概念

而英国ASA版安排了2节，具体的编写路径为：在曲线某一点变化率与切线求f（x）=x2图象上某一点的切线斜率导数f′（x）的概念

从宏观的角度来看导数概念呈现的结构路径，其编写的思路基本相同：都是从特殊到一般.也就是都从具体的例子着手来引出导数概念，并且在对导数概念的引入形式上也是相同的：都不是从严格的连续性和极限的概念上来得出的，而是通过实际例子和切线的斜率，从形到数让学生直观地体会“以直代曲“的思想后直接给出.所以导数概念在得出之前的整体结构上编写思路是一致的.

但从微观的角度来看，两国教材在导数概念引出之前的处理上还是有明显差异的.中国的人教版教材是以平常生活中的现象来引出的：气球的膨胀率和运动员高台跳水来引出平均变化率，然后以瞬时变化率来得出y=f（x）在x=x0处的导数概念，再理解它的几何意义得到函数f（x）在x=x0处切线的斜率，最后才得出f（x）的导数概念，即导数f′（x）.而英国的ASA版教材直截了当地从曲线的切线入手，在讨论y=x2的图象在不同点处的切线斜率后就归纳出y=x2的切线斜率，接着就得出了导数概念f′（x）.这表明人教版在概念引入方面更注重实际生活例子，强调数学在生活中的应用，因而生活味很浓.而ASA版则更注重于数学本质，它以当年数学家迫切需要解决的切线问题为抓手来处理，遵循了历史发生原理[2]，故编写得更具数学味.

3.22导数概念的表述形式比较

中国的人教版教材对导数概念的表述分了两步走.第一步是函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作f′（x0）或y′x=x0，即f′（x0）=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx；第二步：当x=x0时，f′（x0）是一个确定的数，当x变化时，f′（x）便是x的一个函数，称它为f（x）的导函数（简称导数），记作y′，即f′（x）=y′=limΔx→0f（x+Δx）-f（x）Δx.

英国的ASA版教材则是从两点的割线斜率入手，也是分两步走.图1第一步是直接给出如图1中的割线BC的斜率：f（x+h）-f（x）（x+h）-x；第二步说明当h越来越小时，割线BC就成了在点B处的切线，此时就给出了f′（x）的定义是limh→0[f（x+h）-f（x）h].

从微观角度，即两国教材对导数概念f′（x）的具体表述形式来看，也体现出了不同的编写特点.人教版是从代数角度来说明的，先以y=f（x）在x=x0处的一个确定的导数值f′（x0）开始，然后通过函数的概念来确定当x0变化时，f′（x0）就变成了一个函数，于是就成了导函数f′（x），因而导数是导函数的简称.而ASA版则是从几何角度来说明的，先以两点割线斜率作为出发点，然后通过转动逼近变成切线，于是切线斜率就成了导数f′（x）.所以在导数概念的表述上，中国教材侧重于代数角度，而英国教材则更侧重于几何角度，不过中国教材还补充了f′（x0）的几何意义，比英国教材更完整一些.当然也有相类似的地方，即两国教材都没有解释极限“lim”和曲线连续性这个前提，都刻意进行了规避，所以从宏观的角度看，体现出了相同的编写思路.

3.3导数概念的例习题编写比较

3.31例习题编排形式与数量比较

在导数概念得出之前，两国教材都安排了例题、探究题、观察题和练习题.其中作为概念引入的例子也算作例题，而中间安排的思考题或探究题则一律当作探究题来统计，观察题则单独统计.人教版的练习题与习题A、B就按教材的标记来统计，而ASA版的综合题是放在一章节的最后，类似于习题B.具体统计结果见表1.

从宏观角度观察两国版本的例习题编排形式，有许多共同之处.都是先安排例子作为引入，接着分析，在中间穿插安排一些思考题、探究题与观察题，然后先给一些子概念，再举例题和相匹配的练习题，最后才得出导数概念，并再安排一些习题.而表1也反映了这点，且在数量上也相差无几.人教版安排了3节，平均每节题量约为77题；ASA版安排了2节，平均每节85题.所以两国教材在例习题的编排思路上基本一致，在概念得出前都安排了思考与探究，而这也符合学生学习的认知特点.在得到概念后均安排了较多的配套习题，说明两国教材的编写者都认同数学概念的巩固离不开大量习题的练习，这也反映了数学这门科目的共同特征，且从数量上看英国教材略多于中国教材.

3.32例习题的难易水平比较

为了进一步比较两国版本在编写例习题时的难易度，笔者借鉴美国教育心理学家布卢姆关于学习水平划分的理论，将例习题的难易程度从低到高分成四个水平.水平1：直接代公式或知识再认就可以了，属于识记，只需一步运算即可；水平2：需要两步运算，包括概念的运用或分析转化后一步运算等，属于领会；水平3：比领会有更高的理解水平，能应用于新的情境，往往需要三步运算，属于运用；水平4：需要挖掘深藏的条件，通过三步以上运算才能解决，属于复杂运用和灵活创新运用.这四种运算水平分别记为L1，L2，L3，L4，并赋权重为1、2、3、4.表2统计了两版本不同水平的例习题（含探究题、观察题）数量，并计算其加权平均水平以作比较.

对例习题的水平进行量化后发现，两个版本的例习题难易度适中，都大量集中在水平2与水平3中.相比较而言，人教版均等，各占435%，而ASA版水平2居多一点，占了585%，水平3为353%.水平4人教版有2题，而英国的则没有.所以总体而言，中国的人教版要略难于英国的ASA版，这从加权平均水平也反映了出来.

3.33例习题的综合水平比较

如果再从微观层面看，即涉及具体知识点的综合程度来作比较，则还可将综合性分为四类水平：水平Ⅰ—只和导数领域内的知识点综合；水平Ⅱ—和数学中其他的领域综合；水平Ⅲ—和其他学科（如物理、生物等）相关知识的综合；水平Ⅳ—和具有现实生活背景的问题综合.图2反映了两国版本在例习题方面的不同综合水平.图2例习题综合水平比较

从图2中可明显看出，人教版教材更多地注重导数和生活、导数与其他学科的联系等，而直接纯粹在导数或数学中的应用较少.这也符合课程标准的要求：“力求使学生体验数学在解决实际问题中的应用、数学与日常生活及其他学科的联系”，[3]尤其是在与其他学科的联系中，涉及与化学、物理、生物、经济等各学科的知识，综合水平很高.相反英国的ASA版本大多数集中在与导数相关的数学知识上，与其他学科的综合水平很低，它更强调数学本身的背景，因而数学味很浓，这就体现了两国编写者的不同理念.

3.34信息技术的融入比较

随着信息技术的快速发展和网络化的普及，一些新的教育技术要在教材和教学中有所体现.在这方面两国的教材编写者的理念基本相同，因为在人教版中有3处融入了信息技术，平均一节一处，而ASA版教材中安排了两处，也是平均一节一处，所以基本持平.这反映了大家都在关注这股新兴力量，并能发挥出其优势为教学所用.所以课标中提出的“注重信息技术与数学课程的整合”的理念还是与时俱进的.4结论

4.1两国教材的编写具有宏观上的相似性

从宏观层面观察，两国教材对“导数概念”的编写方面具有较多的相似性.比如在导数概念的引入和得出方面，其结构路径大致相似，都是按照从特殊到一般的编排思路；在导数概念的描述上都不涉及严格的连续性与极限的概念，而是从图形上直观感知；在例习题的编写上也是高度相似，在概念引出前都安排探究思考题，在例题后紧跟习题，题量较多难度适中；都注重信息技术的融入等.这说明两国编写者在框架结构和形式等宏观方面的理念上具有极大的相似性.

4.2两国教材的编写具有微观上的差异性

从具体的微观层面观察，又可发现两国编写者在处理细节上有较大的差异.

4.21导数概念的引入与得出方式不同

人教版在导数概念的引入上花了较多篇幅，并以日常生活中的例子为研究讨论对象.先从代数角度分析，然后再回归到几何角度去审视导数的意义，侧重于代数，再辅以几何解释；而ASA版则开门见山就开始讨论曲线的切线，来得更直接，也更接近于数学知识的起源和本质要求，比较侧重于几何，也更注重于纯数学味.这表明两国的教学理念存在着差异.

4.22例习题编写的综合程度不同

人教版无论是在引入和探究，还是例题或习题，都更注重于数学在生活中的应用、数学与其他学科的联系，综合性程度强，综合水平高，很好地展现了课程标准中的要求.相反ASA版教材更多注重于数学问题本身，与实际生活的综合或跨学科综合程度不高.这也反映了两国对数学知识的应用在观念上存在着差异.

4.3编写教材的启示

两国教材在宏观上的相似性与微观上的差异性为我国人教版教材在以后的编写中带来了启示.一方面要继续传承两国教材中的共同点，编写出更符合学生学习规律和认知特点的教材，如导数概念在宏观上的编排结构、表述形式和例习题的设计思路及信息技术的融入方面仍要继承，因为这是两国都认同的观点；另一方面也要取长补短，吸收英国教材中好的方面为我所用.比如人教版教材在注重数学知识的生活化方面太多了些，从而使数学味淡了，有“去数学化”之嫌疑，故可借鉴ASA版，适当中和一下，两者兼顾；另外在导数概念的引入方面是否也可以像英国教材一样，直接回归到当年数学家在得出导数时研究的原始问题——切线问题，这样也符合数学史的发展规律，事实上我国的苏教版在导数概念的引入上就是这样处理的.

总之，比较两国教材在某知识点上的异同是一种方法，目的是能认清我国教材的优缺点，能扬长避短，吸取他国之精华，从而编写出更符合学生学习的好教材.

参考文献

[1][2]汪晓勤.数学文化透视[M].上海：科学技术出版社，20131

[3]普通高中数学课程标准[S].北京：人民教育出版社，2006