《离散型随机变量及其分布列》教学实录及点评

苏洪普　王文清

【摘要】

本教学设计是按照““自主学习与创新意识培养”数学课堂教学模式”的环节和思想设计的，从学生熟悉的、简单的“随机试验”展开，从学生的“最近发展区”开始，以隐含的“函数关系”为主线，设置了一系列具有简洁性、针对性、探究性、开放性、思维价值高的“问题串”.引领学生自主构建“离散型随机变量”、“离散型随机变量的分布列”等概念，建立“两点分布”模型.激发学生学习兴趣的同时，锻炼提升了学生的数学思维品质，取得了很好的课堂教学效果.

【关键词】离散型随机变量；随机变量；分布列；两点分布

这是我市在今年3月份全市高中基础年级数学教学研讨会上，针对人民教育出版社A版《数学》（选修23）第二章21《离散型随机变量及其分布列》所做的同课异构中的其中一节.现将其课堂教学实录及点评呈现给大家，敬请批评指正！1教学目标与重点、难点

1.1教学目标：

（1）通过对具体实例的分析、归纳，会将随机试验的结果“数量化”，体会引入随机变量的必要性.

（2）经历随机变量的概念和离散型随机变量的分布列的构建过程，通过归纳、抽象、类比，感受映射与函数在生活中的应用，并从函数角度理解离散型随机变量及其分布列的概念，培养学生的归纳概括能力、抽象思维能力和创新意识.

（3）通过“两点分布”的建模过程，体会类比、函数和转化等思想，提高学生的数学素养，培养其辩证唯物主义世界观.

1.2教学重点、难点

重点：随机变量及离散型随机变量的分布列的概念.

难点：从映射的角度理解随机变量的概念，从函数角度理解离散型随机变量的分布列.2教学过程实录

2.1设计问题，创设情境

师：在《数学》（必修三）中我们已经学习了概率的一些基础知识，请大家看下面的问题：

问题1请说出下列每个随机试验可能出现的结果.

（1）掷一枚质地均匀的硬币；

（2）某篮球运动员罚球1次；

（3）从含有4件次品的10件产品中，随机抽取1件产品.

生1：（1）正面向上，反面向上；（2）罚进，没有罚进；（2）取出正品，取出次品.

教师把学生回答结果用多媒体展示（图1）

师：这些随机试验有什么共同特征？

生：每个随机试验都有两个试验结果.

师：你还能列举一些生活中类似的随机试验吗？

生2：买彩票，是否中奖；从四选一的选择题中随机选一个选项，是否正确；……

师：很好！是的，我们生活中大量存在“是与非”、“对与错”、“成功与失败”的随机试验.是不是可以建立一个统一的概率模型来刻画这些随机事件呢？这就需要我们学习一些新的概率知识，也就是“第二章随机变量及其分布列”（板书）.在本章中，我们将在已学过的概率知识的基础上，继续探究、分析、描述某些随机现象，并构建概率模型，解决一些简单的实际问题，进一步体会概率模型的作用及运用概率思想思考和解决问题的能力.

点评立足学生思维的起点，注重在学生的“最近发展区”内设置问题.便于学生发现规律，提出问题.而且，问题1（2）的设计便于学生将试验结果“数量化”.这里的“低起点”为本节课学生的高参与度奠定了基础.同时，也为后面深刻探究、理解随机变量的概念节省出时间和空间.将试验结果用图示法直观表示，为后面深刻探究试验结果与随机变量的对应关系埋下了伏笔.

问题2怎样将这些随机试验的共同特征从数学角度来描述呢？

生3：对于“罚球一次”这个随机试验，可以用“0”和“1”这两个数字刻画这些随机试验的结果.

师：很好！把随机试验的结果数量化，为用数学工具研究随机现象奠定基础.那么其它两个随机试验呢？

生4：规定“正面向上”用1表示，“反面向上”用0表示；“取出正品”用1表示，“取出次品”用0表示.

教师用多媒体展示试验结果与两个数字之间的对应关系（图2）.

问题3写出下列每个随机试验可能出现的结果，将结果用相应的数字表示，并用图示法表达出来.

（1）掷一枚质地均匀的骰子；

（2）从含有4件次品的10件产品中，随机抽取3件产品.

2.2信息交流，揭示规律

展示生5的解答（图3）.

师：这位同学的解答是否正确？你的解答也是这样吗？

生6：对于（2）我的解答是这样的.

师：两位同学的解答都是正确的，可是随机试验的结果和数字都是一样的，但是其表示（对应关系）却并不相同，为什么？

生7：上面的两种表示中，虽然都用了相同的数字，但是这些数字的实际含义是不同的.前者表示“抽取的3件产品中的次品数”，后者表示“抽取的3件产品中的正品数”.所以就出现了不同的表示（对应关系）.

师：很好！我们一旦确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化.

像这种随着试验结果的变化而变化的变量称为随机变量.随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示.（板书）

师：请同学们在你的图示上标注上相应的对应关系.

展示学生完善的情况，并予以纠正（图5）.

点评在课堂教学中，合理地运用学生出现的不完善的解法，甚至错误解法，通过展示，让学生辨析、交流、讨论，实质上是抓住了概念构建中的一个非常重要的“生长点”.使得学生对随机变量的概念有了一个主动辨别、探究、构建的过程，把本节课的重点、难点“抛”给了学生，通过有效的信息交流，使学生对随机变量有了更深刻的认识，真正把课堂“还”给了学生.这就要求我们教师在平时的课堂教学中，有意识的去发现、去创造这种机会——让学生出现“美丽的错误”.

问题4设集合A={随机试验的结果}，集合B={随机变量的取值}.那么，集合A与集合B之间有什么关系呢？

生（众）：映射（一一对应）.

师：既然它们之间的关系是映射关系，那么随机变量的取值由哪些因素确定呢？

生（众）：随机试验结果和对应关系.

师：在这些问题中，对应关系是谁呢？

生（众）：随机变量在具体问题中的含义.

师：随机变量的取值集合类似于函数中的什么？

生：值域.

问题5如果在问题3的第（2）题中，我们关心正品数与次品数的差，你能给出这个随机变量的所有可能的取值吗？

生8：用ξ表示取出的3件产品中正品数与次品数的差，则ξ的所有可能取值为3，1，-1，-3.

师：很好！那么在本题中ξ=1表示什么事件（含义）呢？

生：ξ=1表示事件“2件正品，1件次品”.

师：引入随机变量后，我们可以将事件“2件正品，1件次品”用{ξ=1}简洁的表示.那么“{ξ<0}”在本题中表示什么事件（含义）呢？

生9：表示{ξ=-1}∪{ξ=-3}；或者说，表示“正品数小于次品数”.

点评发现了映射（一一对应）关系，并将随机变量取值问题有效的迁移，体现了类比在教学中的重要作用.以问题驱动学生的思维，进一步加深学生对随机变量概念的理解.另外，也为学生在实际操作中，如何快速、准确地确定随机变量的取值，指明了方法，那就是通过试验结果（集合A）与随机变量的含义（对应关系）确定随机变量的取值.

2.3运用规律，解决问题

问题6请写出下列随机试验中，各随机变量的所有可能的取值.

（1）篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分.某篮球运动员罚球2次的得分X；

（2）一袋中有大小相同的4个小球，分别标有1，2，3，4，先从中随机摸出一球，记下标号后放回，再摸出一球，则两球的标号之和Y；

（3）某射手向目标连续射击，直到击中目标时的射击次数ξ

（4）随机抽取一只电灯泡，这只电灯泡的寿命η.

生10：（1）X的可能取值为0，1，2；

（2）Y的可能取值为2，3，4，5，6，7，8.

（3）ξ的可能取值为1，2，3，…，n，…；

（4）η的取值为任意非负实数.

师：像（1）、（2）、（3）中，这种所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量；（4）中的随机变量η的可能取值是任何一个非负实数，而所有的非负实数不能一一列出，所以η不是离散型随机变量，实为连续型随机变量.

师：对于（4）中电灯泡的寿命问题，我们关注η取某个确定值的情形吗？

生：不！应该关注η在某个范围内的取值情况.

问题7如果规定：寿命不小于1500小时的灯泡为一等品；寿命不小于1000小时，且小于1500小时的灯泡为二等品；寿命在1000小时以下的为不合格品.如果我们关心灯泡的等次，如何定义随机变量呢？如果我们关心灯泡是否为合格品如何定义随机变量呢？

生10：用Y表示灯泡的等次，则可定义

Y=0，η<1000，

2，1000≤η<1500，

1，η≥1500.

用Z表示灯泡是否为合格品.则可定义

Z=0，η<1000，

1，η≥1000.

点评通过练习，在巩固随机变量的概念的同时，又创设出新的问题情境（如问题6（3）），培养学生发现问题、提出问题的意识.这样设计又使得整个教学环节紧紧相扣，提高了课堂效率.通过变式训练（问题7）沟通了“连续”与“离散”，体现了数学的转化思想，同时培养了学生辩证唯物主义世界观.

2.4变练演编，深化提高

师：现在随机试验的结果能用离散型随机变量来表示了，对于随机事件我们最关心的是它发生的可能性有多大——即概率.请看下面的问题：

问题8抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示正面向上的点数.那么，X的所有可能取值有哪些？当X值确定时，对应事件的概率值确定吗？为什么？

生11：X的所有可能的取值为1，2，3，4，5，6.当X值确定时，对应事件的概率是确定的，因为随机变量取每一个值对应的随机事件（或者试验结果）是确定的.

问题9一般地，如果将随机变量X的取值集合看作集合A，相应的概率的取值看作集合B，那么两个集合之间有什么关系呢？

生12：函数关系.

师：如何表示函数关系呢？

生：列表法；图像法；解析式法.

师：请分别用这三种方法表示问题8中的函数关系.

生13：（1）列表法：

（3）解析式法：即P（x=i）=1[]6（i=1，2，3，4，5，6）.

问题10根据上面的函数关系，求下列随机事件发生的概率：

（1）向上的点数为奇数的概率；

（2）向上的点数大于4的概率.

生14：（1）“向上的点数为奇数”可以用{X为奇数}={X=1}∪{X=3}∪{X=5}表示.又因为{X=1}，{X=3}，{X=5}这三个事件彼此互斥.由概率的可加性得

P（“奇数点”）=P（X为奇数）=P（X=1）+P（X=3）+P（X=5）=16+16+16=12.

故“向上的点数为奇数”发生的概率为12；

（2）类似可得，“向上的点数大于4”的概率为13.

问题11事件{X=1}，{X=3}，{X=5}为什么互斥呢？

生15：这还是由于随机试验的结果构成的集合与随机变量取值构成的集合之间的映射关系决定的.

点评通过对事件之间关系的分析，不仅使随机变量概念在学生头脑中进一步升华，更体现了用随机变量描述随机试验结果的科学性和合理性.

师：很好！上面这种函数关系对于我们掌握随机变量的概率分布规律以及解答相应事件的概率带来了很大的方便.你能将它推广到一般情形吗？

给学生充分的思考时间后，由师生共同得出离散型随机变量分布列的概念.

一般地，若离散型随机变量X的所有可能取的不同值为

x1，x2，…，xi，…，xn，

X取每一个值xi（i=1，2，…，n）的概率P（X=xi）=pi，以表格的形式表示如下：

该表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.有时为了简单起见，也用等式

P（X=xi）=pi，i=1，2，…，n

表示X的分布列.（板书）

问题12根据概率的性质，离散型随机变量的分布列有哪些性质？

生16：每个概率值都是非负的，且它们的和等于1.

师：请用符号语言表示.

生16：pi≥0；p1+p2+p3+…+pn=1.

师：pi≥0好理解，但是p1+p2+p3+…+pn=1是为什么？

生16：因为所有随机变量对应的事件都是互斥事件，且其和事件是必然事件，所以p1+p2+p3+…+pn=1.

师：好！这样我们根据概率的性质，得到了离散性随机变量的分布列具有如下性质：

（1）pi≥0，i=1，2，3，…，n；（2）∑ni=1pi=1.

问题13你能给出课始时，问题1中涉及的这类问题的分布列吗？

生17：由于这类随机试验都只有两个试验结果，所以可以规定它们对应的随机变量X的取值为0，1.假设X=1时的概率用p表示，那么X=0时的概率为1-p，可得分布列如下：

师：为什么X=0时的概率为1-p？

生：因为分布列中所有的概率之和为1.即∑ni=1pi=1.

师：很好！利用分布列和概率的性质，可以计算能由离散型随机变量表示的事件的概率.这也是我们学习分布列的目的.

师：像表3这样的分布列称为两点分布列.若随机变量X的分布列为两点分布列，则称X服从两点分布，并称p=P（X=1）为成功概率.两点分布又称0—1分布.由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利试验，所以还称这种分布为伯努利分布.

点评回扣课始的问题，有始有终，便于学生感受建立概率模型的整个过程，完善学生的认知结构.提升学生的数学素养，培养学生从数学的视角思考问题、分析问题和解决问题的能力.

2.5反思小结，观点提炼

师：本节课我们学习了什么知识？

生：离散型随机变量、概率分布列.

师：你能给本节课命名吗？

生：离散型随机变量及其分布列.（板书）

2.51由点成线，把握知识的来龙去脉——形成知识网络

问题14回顾本节课我们所学的知识点，你能把它们联系起来吗？

通过师生交流，运用多媒体演示，得出本节课的思维导图.

2.52抽象概括，感受数学建模过程——揭示数学的规律

问题15回顾本节课中两点分布这一概率模型的建模过程，你能说说建立数学模型的一般过程或步骤吗？

师生交流后共同得到建立数学模型的一般过程（多媒体动画展示）.

点评以知识为载体，通过反思小结，凸显知识之间的联系，突出学习过程中运用的数学思想方法，使学生收获的不仅仅是“鱼”，更重要的是主动获取“鱼”的方法——“渔”.对于数学建模过程的小结，更体现了“教”是为了“不教”.

总评（1）本教学设计，是按照““自主学习与创新意识培养”数学课堂教学模式”的环节和思想设计的，用15个环环相扣，层层递进，相互联系的问题作为线索，构筑出了本节课的骨架，是课堂教学的航标，有效的避免了课堂提问细碎、随意等问题，能简洁有效地驱动教学，并能让学生在解决问题的过程中获得知识、技能、方法.在课堂开始时，首先提出的问题1中的3个随机试验都是学生非常熟悉的，然后引导学生发现这3个随机试验有一个共同特征——每个随机试验都有两个试验结果；接着提出问题2让学生发现可以分别用0和1来表示每个随机试验中两个试验结果；再由问题3发现多于2个试验结果时也可用不同的数字表示不同的试验结果，这样随机变量的概念应运而生.

（2）本教学设计，站在数学知识整体的高度处理问题，使学生沟通了与已学知识之间的联系，对本节知识的理解更深刻，记忆更牢固.比如，通过问题4让学生把本节的随机变量与映射、对应联系起来了；通过问题7使学生知道如何把一个连续性随机变量转化为离散性随机变量的办法，这在实际中是很有用的；通过问题9揭示了随机变量与其对应的概率值之间是一种函数关系，沟通了与函数知识的联系，并自然而然地得到了离散型随机变量X的分布列的三种表示方法：列表法、解析式法、图像法.

（3）本教学设计，还有一个亮点，即课堂小结，不是仅仅让学生谈谈收获，也不是简单复述一遍学过了哪些知识，用到了什么方法、思想，而是通过问题14师生共同得出了本节课的思维导图；通过问题15提炼出了建立数学模型的一般过程或步骤.

（4）在课堂教学过程中，执教教师语言精确严谨，教态自然大方，师生互动深入，课堂气氛活跃，教学效果好！

尽管随机变量及其分布列的概念比较简单，但这些内容的构建过程中所蕴含的归纳、分析、类比、抽象、建立数学模型等思想方法，具有很强的普适性，对于后继学习具有重要而深刻的影响.因此，本节课的教学不能只停留在传授语言文字的结论性知识上，而应把知识作为探究的对象，让学生经历、感受概念的构建过程，体会、掌握其背后所蕴含的数学思想方法和思维方法.不仅仅让学生知道“知识是什么？”，更在于以知识为载体，让学生体会、理解研究数学问题的思路与方法，体会数学知识是这样而不是那样的科学性、合理性在哪里，体会创造和构建数学知识的策略与方法，努力提升学生的数学能力和素养.

参考文献

[1]王文清.“自主学习与创新意识培养”数学课堂教学模式初探[J].中学数学杂志，

2000，（6）

[2]王文清，阮红霞.“自主学习与创新意识培养数学课堂教学模式”研究课一例—“等差

数列前n项和”教学实录[J].中学数学杂志（高中），2005，（1）

[3]王文清.教材中一类不等式的教学设计—在“玩”中学习数学[J].数学通报，

2005，（7）

[4]王文清.拉长过程彰显思维[J].中学数学教学参考（中旬），2012，（8）