换位思考

错项求和在数列中是一块重要的内容，是近几年各省高考试卷中的常客，错项求和方法简单，其一般数列的通项形式为an=（an+b）·qn，通常要先列出等比数列与等差数列相乘的式子，设为式1；然后将这个式子乘以公比，形成式2.两式相减，形成一个等比数列.

但这样在运算过程中经常会发生错误；可将错项求和转化为裂项求和，将数列中的每项分解，

重新组合，使之能消去一些项，减少运算错误最终达到求和的目的.

题型1已知数列{an}的通项满足an=（an+b）·qn（q≠0且q≠1），Sn为其前n项和，求Sn.

分析 通项满足an=（an+b）·qn，且求其前n项和Sn，是错项求和的主要题型；利用裂项求和，将数列中的每项分解，如何分解是关键？

解令an=（an+b）·qn=bn+1-bn=[A（n+1）+B]·qn+1-An+B·qn

=qn·[（qA-A）n+qA+qB-B]

所以qA-A=a，

qA+qB-B=b，

所以A=aq-1，

B=bq-aq-bq-12，

所以bn=aq-1n+bq-aq-b（q-1）2·qn，

所以Sn=a1+a2+a3+…+an

=b2-b1+b3-b2+b4-b3+…+bn+1-bn

=bn+1-b1

=aq-1（n+1）+bq-aq-b（q-1）2·qn+1-b·q2-a+bqq-12.

点睛将an=（an+b）·qn=bn+1-bn=[A（n+1）+B]·qn+1-An+B·qn是这类裂项求和题型的关键，再利用待定系数法求出A，B.

例1（2015年高考山东，理18）设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn=3n+3.（Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}满足anbn=log3an，求{bn}的前n项和Tn.

分析（Ⅱ）求{bn}的前n项和Tn，标准答案采用错项求和，笔者利用裂项求和的方法加以解答.

解（Ⅰ）略得：an=3，n=1，

3n-1，n>1，

（Ⅱ）由条件得，bn=13（n=1），

n-1·31-n（n>1），

当n>1时，bn=（n-1）·31-n=cn+1-cn=[A（n+1）+B]·3-n-An+B·31-n

=31-n·An+A3+B3-An-B

=31-n·-2A3n+A3-2B3

所以-2A3=1，

A3-2B3=-1，所以A=-32，

B=34，

所以cn=-32n+34·31-n

所以Tn=b1+b2+…+bn

=b1+c3-c2+c4-c3+…+cn+1-cn

=13+-32（n+1）+34·3-n--32·2+34·3-1

=1312-6n+34·3n.

点睛bn=13（n=1），

n-1·31-n（n>1）是一分段数列，利用错项法求，在运算、并项、化简过程中，会出现错误；但利用裂项法，简洁，明了.

题型2 已知数列{an}的通项满足an=（an2+bn+c）·qn（q≠0且q≠1），Sn为其前n项和，求Sn.

分析通项满足an=（an2+bn+c）·qn，且求其前n项和Sn，要用两次错项求和，首先将an=（an2+bn+c）·qn转化an=（An+B）·qn，再用错项法才能解答，且不容易想到；但用裂项求和很容易解答.

解an=（an2+bn+c）·qn=bn+1-bn

=A（n+1）2+B（n+1）+C·qn+1-An2+Bn+C·qn

=qn·（qAn2+2qAn+qA+qBn+qB+qC-An2-Bn-C）

=qn·[（qA-A）n2+（2qA+qB-B）n+（qB+qC-C）]

所以qA-A=a，

2qA+qB-B=b，

qB+qC-C=c，

所以A=aq-1，

B=bq-b-2aq（q-1）2，

C=c+2a-bq2+b-2cq+cq-13，

所以bn=[aq-1n2+（b-2a）q-bq-12n+c+2a-bq2+b-2cq+cq-13]qn

所以Sn=a1+a2+a3+…+an

=b2-b1+b3-b2+b4-b3+…+bn+1-bn

=bn+1-b1

=[aq-1（n+1）2+（b-2a）q-bq-12（n+1）+c+2a-bq2+b-2cq+cq-13]qn+1-[aq-1+b-2aq-bq-12+c+2a-bq2+b-2cq+cq-13]q.

点睛裂项求和的思路是利用已知数列的通项的特点，将通项转化为另外一个数列两项的差.

例2 （山东滨州市2016年高三3月模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn=log2an，cn=b2nan，求数列{cn}的前n项和Tn.

分析由条件得cn=n22n，求{cn}的前n项和Tn，很难想到用两次错项求和，但用裂项求和很容易.

解（Ⅰ）略.an=2n.

（Ⅱ）cn=n22n=dn+1-dn=A（n+1）2+B（n+1）+C2n+1-An2+Bn+C2n

=（A2n2+An+A2+B2n+B2+C2-An2-Bn-C）2n

=-A2n2+（A-B2）n+A+B-C22n，

所以-A2=1，

A-B2=0，

A+B-C2=0，所以A=-2，

B=-4，

C=-6，

所以dn=-2n2-4n-62n=-n2-2n-32n-1，

所以Tn=c1+c2+…+cn

=d2-d1+d3-d2+…+dn+1-dn

=dn+1-d1=-（n+1）2-2（n+1）-32n--620

=6-n2+4n+62n.

裂项求和是中学数列求和中应用最广泛的一种方法，一些常见的思路，如等差数列、等比数列，都可以用裂项求和.从裂项求和方法出发，可以构造很多能用裂项求和的数列，这给数列求和的命题提供了丰富的素材.作者简介祝劲永，男，浙江省岱山人，1970年1月生，中学高级教师，舟山市正高级教师.多年来竞赛辅导成绩喜人，1999年至今获全国二等奖4名，获全国三等奖2名，省一等奖13名，在浙江省第二届高中青年数学教师优质课评比中获三等奖.2005学年度被评为县学科带头人.2007年被聘为舟山市中小学学科教学质量评审专家组成员.2013年被评为市首批正高级教师，岱山县优秀人才.