高招、自招、竞赛中的裂项相消法

时英雄

在高中阶段的学习中，我们经常会遇到一些求和问题，这些求和问题，根据式子的特征都有很多解决的办法，裂项相消法就是其中一种，其实质是将求和式子中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.它是分解与组合思想在求和中的具体应用.是最常见，最好用，也是最难掌握的方法.笔者就在高招、自主招生、及竞赛中遇到的问题来谈谈裂项相消法的形成思路、解题技法、出题规律，以飨读者.1等差数列、等比数列求和公式的裂项法推导

例1已知数列{an}是公差为d（d≠0），首项为a1的等差数列，求其前n项和Sn.

解析an=12d（anan+1-an-1an），令a0=a1-d，则

Sn=12d[（anan+1-an-1an）+（an-1an-an-2an-1）+…+（a1a2-a0a1）]

=12d（anan+1-a0a1）=12d[（a1+（n-1）d）（a1+nd）-（a1-d）a1]=na1+n（n-1）2d.

例2已知数列{an}是公比为q（q≠1），首项为a1的等比数列，求其前n项和Sn.

解析qn=1q-1（qn+1-qn），则

Sn=a1+a2+…+an=a1（1+q+q2+…+qn-1）=a1+a1（q+q2+…+qn-1）

=a1+a1q-1（q2-q+q3-q2+…+qn-qn-1）=a1+a1q-1（qn-q）=a1（qn-1）q-1.

评注等差数列、等比数列的求和公式在教学的过程中一般来说分别是用倒序相加法、错位相减法进行处理，这里给出两个公式的裂项求和方法，旨在让学生体会就是对通项的分解组合的思维的把握，只要是能将通项或求和的式子写成连续的项或有间隔的项的差就可以了，我们还可以将其推广到“差比型”数列的求和，如：

例3（2013年高考山东卷理科第20题）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1（1）求数列{an}的通项公式.

（2）设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn+an+12n=λ（λ为常数）.令cn=b2n（n∈N*），

求数列{cn}的前n项和Rn.

解析（1）略，an=2n-1，n∈N*.

（2）由题意知：Tn=λ-n2n-1，所以，当n≥2时，bn=Tn-Tn-1=n-22n-1，

故cn=b2n=2n-222n-1=（n-1）（14）n-1，n∈N*，所以，令f（n）=（rn+s）（14）n，cn=f（n）-f（n-1）因为c1=0，c2=14故r=-43，s=-49，

Rn=c1+c2+…+cn=f（n）-f（0）=（-43n-49）（14）n-（-49）=19（4-3n+14n-1）.

本题的解法基于对于“差比型”数列通项与前n项和形式上的认识：即都是一次函数和指数函数的乘积，且指数部分与原来一样，可令f（n）-f（n-1）=（an+b）qn（n∈N*），

f（n）=（rn+s）qn（r，s为待定系数）可以通过特殊值求出r，s，进而采用裂项的方法求解.2 三角函数中的裂项求和

例4已知an=tan（3n-1）tan（3n+2），求数列{an}的前n项和Sn.

解析tan[（3n+2）-（3n-1）]=tan（3n+2）-tan（3n-1）1+tan（3n+2）tan（3n-1）=tan3，

所以an=1tan3[tan（3n+2）-tan（3n-1）]-1，

所以Sn=a1+a2+…+an=1tan3[tan（3n+2）-tan2]-n.

例5证明：对任一自然数n及任意实数x≠mπ2k（k=0，1，2，…，n，m∈Z），有

1sin2x+1sin4x+…+1sin2nx=1tanx-1tan2nx.

解析1sin2x=2cos2x-cos2xsin2x=2cos2x2sinxcosx-cos2xsin2x=1tanx-1tan2x，

同理：1sin4x=1tan2x-1tan4x，…，1sin2nx=1tan2n-1x-1tan2nx，

累加得：1sin2x+1sin4x+…+1sin2nx=1tanx-1tan2nx.

评注对于三角变换中的裂项求和问题，主要是找到正弦、余弦、正切之间的联系，及和角，差角，倍角，半角，切割化弦等公式中的差值关系，适当变形达到裂项的效果，一些常见的结论也需记忆如：

已知数列{an}是公差为d（d≠0）的等差数列，则

（1）bn=kcosancosan+1=ksind（tanan+1-tanan）；

（2）bn=ksinansinan+1=ksind（1tanan-1tanan+1）.3 无理式、阶乘中的裂项求和

例6（2006年上海交大）已知ak=k+2k！+（k+1）！+（k+2）！，则数列{an}的前100项和为.解析ak=1（k+1）！-1（k+2）！，S100=a1+a2+…+a100=102！-2！2×102！.

例7（2007年上海交大）1·1！+2·2！+3·3！+…+n·n！=.

解析n·n！=（n+1）！-n！，

原式=2！-1！+3！-2！+…+（n+1）！-n！=（n+1）！-1.

例8（2008年上海交大）数列{an}的通项公式为an=1nn+1+（n+1）n，则这个数列的前99项和为.解析an=1n-1n+1，

S99=a1+a2+…+a99=11-12+12-13+…+199-1100=1-110=910.

评注对于此类的问题主要是要对无理式进行分母或分子有理化，构造差值形式，对阶乘及组合数，排列数中的差值关系也需要了解并能给予证明，又如：

例9（2003年复旦）数列{an}的前n项和为Sn，其中an=1（n-1+n）（n-1+n+1）（n+n+1），求S2003.

解析2an=2（n-1+n）（n-1+n+1）（n+n+1）=n+1-n-1（n-1+n）（n+n+1），

所以an=12（1n-1+n-1n+n+1），Sn=12（1-1n+1+n）=12（1-n+1+n），

所以S2003=12（1-2004+2003）.

技巧掌握关于裂项的问题，技巧性很强，学生要有很好的知识储备，掌握一些变换技巧，比如常见的裂项形式如：

（1）an=An2+Bn+Cqn+1型裂项，如：an=n2+n-22n+1=（n+1）（n+2）2n-（n+2）（n+3）2n+1

（2）an=1an2+bn+c型裂项，其中a≠0，Δ=b2-4ac=k2a2（k∈N*）如：

an=14n2+8n+3=14·1（n+1）2-14=14·（1n+1-12-1n+1+12）=14·（1n+12-1n+32）

.（3）an+1=1ka2n+an型裂项，如：an+1=a2n+an=an（an+1），则1an+1=1an-1an+1，

所以有1an+1=1an-1an+1.

追根溯源裂项求和问题对学生来说最重要的是要能从面目全非的式子中提炼命题人使用的母题，例如：已知an=（n+1）3-n3，求数列{an}的前n项和Sn.此问题比较简单，但是如果命题人将an化简后得到an=3n2+3n+1后让大家求和，难度明显加大了，很多类似的难题都是这样改编过来，比如我们想构造出两组裂项求和的题目，我们可以构建出这样的数列通项：

an=4（1n+2-1n+4）+8（1n+3-1n+4）这个数列求和分组后裂项就可以了，但是我们在生成题目的时候可以将其化简后的形式给出，即变为an=8（2n+5）（n+2）（n+3）（n+4），难度明显提升，又如我们设想an=（2n+1）3-（2n-1）32然后将其化简整理变形得：an=（2n+1-2n-1）[（2n+1）2+2n+12n-1+（2n-1）2]2=4n+4n2-12n+1+2n-1，此时，如果不能揣摩出命题人的意图，或是找到原先未变形的形式，很难解决问题，当然，如果想要降低难度，可以在题目的设置中用特殊形式给出，给学生一定的提示，考查其类比，总结归纳能力.

结束语裂项求和问题的解决主要取决于学生的知识储备及灵活应用能力，善于总结归纳，才能跳出题海.总结归纳的题型越全面，解题时的思路就会越清晰，当然，如果能达到“不畏浮云遮望眼，只缘身在最高层”的境界能揣摩出命题人的命题原型，遇到此类问题解起来就会更得心应手.