《九章算术》中的刍童、刍甍、羡除

2015年湖北省高考数学试卷文科第20题、理科第19题引入了《九章算术》中的“阳马”和“鳖臑”，这两个被多数同行认为的“新”名称的最近发展区是呼之欲出的刍童、刍甍、羡除.

大约在25年前，我当时所在的湖北省咸宁高中数学组的几位老师就探讨着一类想象的六面体：两个平行底面是相似矩形、两组相对侧面分别是全等梯形的六面体一定是四棱台吗？

经过争论和尝试后，我们画出下列两图：先画

出两底面为长方形且两底面中心连线（对称轴）垂直于两底面的四棱台ABCD—A1B1C1D1（如图1），再将其上底面矩形A1B1C1D1绕对称轴按逆时针方向旋转90°，便可伴随得到“两个平行底面是相似矩形、两组相对侧面分别是全等梯形的六面体”（如图2），但这个六面体却不是四棱台.于是，我们当时统一了观点，所探讨的六面体不一定是四棱台.

但是，这样旋转得到的六面体是否有一个名称呢？我们当时并不知道！若干年之后，我阅读相关数学史书籍，才知晓我国于公元前一世纪编成、公元一世纪修订的世界性名著《九章算术》上有着相关上述六面体的内容.用《九章算术》的名称，上述旋转得到的六面体是一种刍童.图1图2

形似“草垛”的所谓刍童（包括曲池、盘池、冥谷），就是恰有两个矩形底面（不能全为正方形）、四条侧棱的延长线不交于一点的六面体[1][2].刍童的两个底面所在的平面互相平行，其实对于几何图形中所说的“两底”都默认其所在平面互相平行；刍童的四个侧面是梯形或平行四边形，但不能全为平行四边形（否则就退化成平行六面体）；刍童的四条侧棱所在直线交于两点（一个底面矩形的长、宽与另一个底面矩形的平行棱的大小关系不相反）或四点（一个底面矩形的长、宽与另一个底面矩形的平行棱的大小关系相反）.

例1（2002年北京市高考题）如图3，在多面体ABCD—A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E、F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c、d与a、b，且a>c，b>d，两底面间距离为h.

（1）证明：EF∥平面ABCD；

（2）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V估=S中截面·h来计算，已知它的体积公式是

V=16（S上底面+4S中截面+S下底面）·h，（Ⅰ）

试判断V估与V的大小关系.

审题①六面体ABCD—A1B1C1D1是一个刍童，四条侧棱所在直线交于两点，而不是交于四点；②公式（Ⅰ）是任意拟柱体的一般体积公式.

解（1）由于下底面ABCD是矩形，则AB∥CD，则AB∥平面CDEF（线面平行的判定定理）.又因为平面ABFE∩平面CDEF=EF，则AB∥EF（线面平行的性质定理），即EF∥AB，则EF∥平面ABCD（线面平行的判定定理）.

（2）根据梯形的中位线定理得到

S中截面=a+c2·b+d2=ab+ad+bc+cd4，则

V估-V=S中截面h-16（S上底面+4S中截面+S下底面）h

=h6（2S中截面-S上底面-S下底面）

=h6（ab+ad+bc+cd2-ab-cd）

=h12（-ab+ad+bc-cd）.

=-h12（a-c）（b-d）<0（其中a>c，b>d）.

所以，V估

补注①此题可以启发我们领悟到刍童的一个性质——刍童的四条侧棱所在直线交于两点或四点，底面同侧的两点连线必定平行于底面；②根据拟柱体的一般体积公式（Ⅰ）可以推导出刍童特有求体积之“术”，请见下面的定理.

定理1如图4和图5，如果刍童的高为h，下底面矩形的长为a1、宽为b1，上底面矩形的长为a2、宽为b2，那么此刍童的体积是[1][2]

V=16[（2a1+a2）b1+（a1+2a2）b2]h.（Ⅱ）

《九章算术》对于问题只给出“术”与终答，而对“术”却不证自明.下面补遗证明定理1.

证明由于刍童是一类拟柱体，则运用公式（Ⅰ）得到V=16（S上底面+4S中截面+S下底面）·h

=16（a1b1+4·a1+a22·b1+b22+a2b2）·h

=16[a1b1+（a1b1+a1b2+a2b1+a2b2）+a2b2）]·h

=16[（2a1+a2）b1+（a1+2a2）b2]h，

所以，公式（Ⅱ）正确，故定理1证毕.

如下列两图，将图6刍童ABCD-A1B1C1D1的两个顶点A1与D1合拢成一点E，同时将两个顶点B1与C1合拢成一点F，便形成图7而得到一个五面体EF—ABCD.按照《九章算术》的说法，这个由刍童退化演变出来的五面体是一个广义的刍甍.

形似“草脊”的所谓刍甍，就是唯一顶棱平行于唯一矩形底面、三条平行棱不全等长的五面体.这是广义的刍甍，《九章算术》中狭义的刍甍还要限制顶棱的长度小于与它平行的两条等棱的长度[2]，此限制条件对于后面的体积公式（Ⅳ）没有影响.

例2（2007年江苏省竞赛题改编题，1999年全国高考题）如图8，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，

EF=32，EF与面ABCD

的距离为2，则该多面体的体积为.

解作两个平行四

边形AB1FE与DC1FE（图略），连B1C1，则题设的多面体（刍甍）EF—ABCD可以由四棱锥F—

BB1C1C和三棱柱ADE—B1C1F所拼成，其中该三棱柱的直截面的底边长为3、高为2，于是所求多面体的体积为VEF—ABCD=VF-BB1C1C+VADE-B1C1F

=13S矩形BB1C1C·2+S直截面·32

=13·3·（3-32）·2+3·22·32=152（平方单位）.

补注①在此例中，把矩形ABCD和线段EF放在距离等于2的两个平行平面中任意平行移动，刍甍EF-ABCD的体积都不会改变；②狭义的刍甍体积可以这样分割求得，那么另一类不狭义的刍甍体积是否也可以通过拼补求得呢？

定理2在刍甍CC1-AA1B1B中，底面矩形的两边AA1=a、AB=l，顶棱CC1=c，顶棱CC1到底面AA1B1B的距离为h，则该刍甍的体积为[2]

V=16（2a+c）lh.（Ⅲ）

证明当c>a时，如图9，延长AA1至A0、延长BB1至B0，使AA0=BB0=CC1=c，连A0B0，则ABC—A0B0C1是三棱柱且其直截面三角形的底边长为l、高也为h，则此时刍甍CC1—AA1B1B的体积为V=VABC-A0B0C1-VC1-A1A0B0B1

=S直截面·c-13·SA1A0B0B1·h

=lh2·c-13·（c-a）l·h=16（2a+c）lh.

当c

对刍甍进行泛化想象（图略），假如将刍甍的底面矩形替换为底面梯形且刍甍有三条棱两两平行，那么《九章算术》把这种五面体称为羡除.

形似“楔体”的所谓羡除，就是三个侧面都是梯形或平行四边形（其中最多只有一个平行四边形）、两个不平行对面是三角形的五面体[1][2].还能够想象，羡除可以由三棱柱的三个侧面与其两个三角形截面所围成的凸五面体，羡除是三棱柱的泛化图形，三棱柱是羡除的退化图形.

《九章算术》给出求羡除体积的“术”是：“并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一”.其中的“广”是指羡除的三条平行侧棱之长、“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离、“袤”是指这两条侧棱所在平行线之距.用现代语言描述，就是——

定理3在羡除ABC—A1B1C1中，AA1∥BB1

∥CC1，AA1=a，BB1=b，CC1=c，两条平行线AA1与BB1间的距离为l，直线CC1到平面AA1B1B的距离为h，则该羡除的体积为[1][2]

V=16（a+b+c）lh.（Ⅳ）

受定理2的证明过程的启发，下面因势利导地来推导羡除的体积公式.

证明如图11，在羡除ABC-A1B1C1中，当c是a、b、c的最小者时，在棱AA1、BB1上分别取点A0、B0使得

AA0=BB0=CC1=c，连A0B0，则此时羡除

ABC-A1B1C1的体积为

VABC—A1B1C1=VABC—A0B0C1+VC1—A1A0B0B1

=S直截面·c+13·SA1A0B0B1·h=lh2·c+13·（a-c）+（b-c）2l·h

=（c2+a+b-2c6）lh=16（a+b+c）lh.

当c不是a、b、c的最小者时，不妨设b是a、b、c的最小者，令两条平行线AA1与CC1间的距离为l1，直线BB1到平面AA1C1C的距离为h1，则同理

可证VABC—A1B1C1=16（a+b+c）l1h1.

又因为l1h1=2S正截面=lh（为定值），

则此时也有VABC—A1B1C1=16（a+b+c）lh.

总之，定理3证毕.

例3（2009年南京大学自主招生题）在四面体ABCD中，平行于AB与CD的平面π截该四面体得到截面EFGH，AB到π的距离为d1，CD到π的距离为d2，且d1=kd2.求立方体图形AB—EFGH与四面体ABCD的体积之比（用k表示）.图12

解如图12，设两条异面直线AB、CD的距离与夹角分别为d与θ，则借用四面体的外接平行六面体可求得四面体ABCD的体积[3]为

VABCD=d·AB·CD6·sinθ.这里，d=d1+d2.由于平行四边形EFGH的较小内角是θ，则两条平行线EF与GH间的距离l=EH·sinθ，根据已知条件、定理3、相似比求得VAB-EFGH=VAEH-BFG

=16（AB+EF+GH）·l·d1

=16（AB+2·EF）·（EH·sinθ）·d1

=AB6·（1+2·d2d1+d2）（d1·CDd1+d2·sinθ）d1

=VABCD·d1+3d2d1+d2·（d1d1+d2）2

=VABCD·k2（k+3）（k+1）2.

所以，立方体图形AB—EFGH与四面体ABCD的体积之比为k2（k+3）（k+1）2.

补注命题组采用添加辅助线AF、AG、EG的方法解答此题，读者可对比阅读.

回味上述定理，顿悟到可以由定理3证明定理2和定理1；经检验，公式（Ⅳ）也适合刍甍和三棱柱，于是我们可以概括出一个统一的结论——

定理4在五面体ABC—A1B1C1中，AA1∥BB1

∥CC1，AA1=a，BB1=b，CC1=c，且三条平行线AA1、BB1、CC1的直截面三角形的面积为S直截面，则该五面体（三棱柱、刍甍、羡除）的体积为

V=13（a+b+c）S直截面.（Ⅴ）

考虑篇幅，最后把例题改作习题留给读者探究.

1.（2005年全国高考题改编题，1983年美国邀请赛题）图13的多面体的底面是边长为s的正方形，上面的棱平行于

底面，其长为2s，其余棱长也都为s，若s=62，求这个多面体的体积.图13图14

2.（2015年安徽省竞赛题）在如图14所示的多面体ABCDEF中，已知AD，BE，CF都与平面ABC垂直.设AD=a，

BE=b，CF=c，AB=AC=BC=1.求四面体

ABCE与BDEF公共部分的体积（用a，b，c表示）.

3.（2013年湖北省文科高考题）如图15，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2=d1.同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B1B2=d2，C1C2=d3，d1

点M，N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1—A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S中.

（Ⅰ）证明：中截面DEFG是梯形；

（Ⅱ）在△ABC中，记BC=a，BC边上的高为h，面积为S.在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量（即多面体A1B1C1—A2B2C2的体积V）时，可用近似公式V估=S中·h来估算.已知V=13（d1+d2+d3）S，试判断V估与V的大小关系，并加以证明.

参考文献

[1]李文林.数学史概论[M].北京：高等教育出版社，2002：

76～78

[2]郭书春.中国传统数学史话[M].北京：中国国际广播

出版社，2012：40～42

[3]甘大旺.高考数学150专题[M].武汉：湖北教育出版

社，2015：145