例谈中学生数学“说题”教研活动

中学生数学说题是指学生在解完一道数学题后，向被说题者（教师或专家评委等），阐述自己解决试题的思维过程，主要包含如下几个环节：一是说题目，即运用数学语言说清题目所给的信息，已知条件有哪些，所求结论是什么，题目涉及哪些知识点；二是说解法，解决这道题目运用什么方法，有哪些步骤，你是如何想到的，如何表述；三是说反思，解决这道题都运用到哪些数学思想方法，有无其它解法，哪种解法最优，所得结论或性质在解题中有什么应用，能否推广？

【关键词】学生说题；解后反思；说题教研

1问题的缘起

有这样一个故事：有个孩子刚上高三时，他的数学成绩很不理想，他的妈妈非常着急，就找了一位数学专家，问有什么好方法能让她的孩子提高数学成绩，这位专家给她支了一个点子：“叫孩子每次都给你讲作业.”家长说：“我听不懂怎么办？”专家说：“听不懂也听.”坚持了一两个月后孩子有明显进步，并且数学的进步会迁移，带动其他学科，一年后考上了重点大学，这位专家就是采用了一个重要的方法“说题”.这个“说题”活动必须独立完成作业，进一步必须理清思路才能表达出来.

2015年4月25日～4月26日我市在市教师进修学校举行2015年中学生数学“说题”交流评比活动，比赛分初中组和高中组.全市由14个初中教研片和5个高中教研片分别推荐2～3名学生和6～8名学生参赛，比赛当天，共有初中学生39人、高中学生34人参加本次交流评比活动，本次学生现场说题时间限制在8分钟以内，比赛现场精彩纷呈.下面笔者结合现场案例谈谈对学生说题活动的思考与认识，以期达到抛砖引玉的效果.2学生说题内容

结合本次市级教研活动学生现场说题及评委交流，笔者认为一般的学生说题应包含以下几个环节：

2.1说审题分析

主要包含两个方面，一是试题背景来源，如自编的原创题，中（高）考试题或其改编题，教材的例习题原题或改编题，期中、期末考题等；二是题目结构分析，即运用数学语言分析题目所给的信息，已知条件有哪些，所求结论是什么，题目涉及哪些知识点.

案例1如图1，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是菱形，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y=kx（x>0）的图象上，

点C的坐标为（4，3）.

（1）填空：菱形ABOC的周长为；

（2）若将菱形ABOC向右平移，使菱形的某个顶点落在反比例函数y=kx（x>0）的图象上，求菱形ABOC平移的距离.

学生说题本题是2014年石狮市质检的第24题，主要考查菱形的性质、反比例函数的图象及性质、勾股定理、平移变换等知识，考查学生运算求解能力、推理论证能力及数据处理能力，考查数形结合、分类整合、函数与方程等数学思想方法.题目已知的条件有点A、B的位置，点C的坐标及四边形ABOC的形状，要求的结论有两个，一个是求该菱形的周长，一个是求菱形向右平移的距离.

2.2说解题思维

即解决这道题目运用的什么方法，有哪些步骤，你是如何想到的，如何表述，如何实践操作.这里主要包含两个方面，一个是解决本试题学生思路分析，一个是解法展示，实际说题时侧重点有所不同，如所说的题目解法比较常规或试题难度值较大，应把重点放在思路分析上，若所说之题可一题多解，可适当给一些时间在解法研究中，并指出比较有特色的解法.

如上述试题，学生说题是这样作解题思路分析的：解决第一小题思路为：先由点C的坐标利用勾股定理可求得OC的长为5，再由菱形的四条边相等求得其边长为5，进而可求出菱形的周长为20.解决第二小题的思路为：有关函数类型的题目，比较常用的方法是先求出函数解析式.在仔细分析各种条件之间的联系后，我们发现可以利用待定系数法来求函数解析式.而求反比例函数的解析式只需要知道一个已知点的坐标，这样就顺理成章地要先求出点A的坐标，从而求出反比例函数的解析式，因此就找到解决这个题目的突破口.由这个题目的已知条件要能分析出：本小题的隐含条件有AC∥BO和图形平移过程中的不变性.也就是AC垂直x轴，即点A和点C的横坐标相同，等于4，这是解决本小题的关键点.结合点A横坐标大于零，AC=OC=5，可求得点A的纵坐标等于点C的纵坐标加上AC的长为8，所以A的坐标为（4，8），这样我们就可以用待定系数法先求出反比例函数的解析式，然后分两种情况即①平移后点B落在反比例函数图象上②平移后点C落在反比例函数图象上进行讨论，再利用方程思想分别求出点B、C平移后的对应点的坐标（图形左右平移过程中纵坐标保持不变），从而求得菱形ABOC平移的距离.

在做完解题思路分析后，解题过程展示则简略地把规范的解答展示给现场教师及评委即可.

案例2（2009年江西文科高考改编题）如图2，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别为F1和F2，过F1作x轴的垂线交椭圆于A，B两点，过F2作x轴的垂线交椭圆于P、Q两点，若四边形ABQP为正方形，求椭圆C的离心率e.

学生说题本题可采用一题多解，先说常规解法思路分析：把已知的几何条件转化成含有a、b、c的关系式，再由公式b2=a2-c2消去b，然后再将等式两边同除以a或a2得到离心率e的方程，最后求解得之.

解法一由xF2=c代入椭圆方程可得yP=b2a，进而得到坐标P（c，b2a），再由Rt△PF1F2中PF2F1F2=12得到c=b2a，整理得ac=b2=a2-c2，两边同时除以a2得e2+e-1=0，解得e=-1±52，由于e∈（0，1）得e=-1+52.

点评上述的解法思路容易想到，但运算量大，即使省略了一些运算步骤，书写的过程仍十分冗长.

再溯本追源，另辟蹊径：本题有一个很重要的信息即点F1和F2是椭圆的两个焦点，由椭圆的定义知PF1+PF2=2a，而焦距为F1F2=2c，利用数形结合的思想，结合离心率e=ca=2c2a，研究图3可得如下解法二.

解法二设F1F2=2m，则在Rt△PF1F2中，知PF2=m，PF1=5m，所以离心率e=2c2a=F1F2PF1+PF2=2m5m+m=5-12.

2.3说解后反思

说反思，即解决这道题都运用到哪些数学思想方法，有无其它解法，哪种思路最优、所得结论或性质是否具有规律性，能否进行推广？题目能否进行其它变化？这里也大略可分为三个方面，一个是说自己在解决本试题时如何处理遇到的困惑，二是解题后对该试题解法的价值研究，如解法推广、引申等，三是对试题本身价值研究，如对所说试题进行简单拓展变式等（这点对学生要求较高）.

如案例1中学生是这样做解后反思的：

（1）本题的难度情况：作为质检卷的第24题，本题综合性强，需要我们学生具备扎实的基础知识和很强的分析能力.第一小题作为填空题无需解题过程，相对比较简单，容易做出；第二小题相对比较难，需要很强的推理能力.我觉得本题容易忽视的条件是反比例函数的自变量x>0，本题的难点之一容易忽视平移过程中纵坐标保持不变的隐含条件，从而造成无从入手的局面，难点二是菱形向右平移过程中，顶点落在反比例函数的图象上有两种情形可能考虑不全面.

（2）试题拓展分析：

拓展1设直线BC与x轴交于点D，求△ACD的面积（图4）.

分析我们可以先用待定系数法由点B和点C的坐标求直线BC的关系式，再求出该直线与x轴的交点D的坐标，最后求出△ACD的面积为15.

拓展2设直线AB的函数关系式为y=mx+n，请求出直线AB的函数关系式，并问当x取何值时（x>0）反比例函数的函数值小于它的函数值.

分析渗透数形结合的思想方法.

拓展3设直线AB方程为y=mx+n，请利用函数图象直接写出不等式32x

分析利用数形结合、函数与方程等数学思想方法.

（3）解题策略反思：通过平时做过的函数类题目，发现它们经常与几何图形、图形的变换、实际应用等问题相结合，因此综合性强，需要扎实的基础、比较强的分析能力、准确计算的能力，同时又需要灵活运用多种数学思想方法，所以我们要想很好地掌握这类型的题目，平时就要多训练，多总结，多比较，进一步地提高我们的解题思维水平.

案例3（国光中学高二上学期期中考试题）

已知f（x）=lnx-x，g（x）=-lnxx.求证：当x∈（0，e]时，f（x）

学生说题本题采用的方法可适用于如下两道高考试题：

（2012年高考山东卷）已知f（x）=lnx+1ex，设g（x）=xf′（x）.求证：对任意的x>0，都有g（x）<1+e-2.（该题可采用加强命题或分解命题的方法处理）.

（2012年高考新课标Ⅰ卷）已知函数f（x）=ex-x-2.当x>0时，（x-k）f′（x）+x+1>0，求整数k的最大值.（该题需采用深化命题的方法处理）.

备注

解题策略解题方法解题反思

加强命题转化为证明f（x）max

分解命题转化为证明g（x）<-x+elnx+lnxx-12在x∈（1，e]恒小于0.定义域适当缩小：由（0，e]缩小为（1，e]；函数式适当放大，由lnx放大为elnx

深化命题局部-x2+x+1-lnx二次求导，设而不求分析其极值点.导数的局部可以进行二次求导进一步分析，根可以采用设而不求方法进行处理.

3若干思考

第一次举行市级中学生数学现场说题比赛，难免粗陋，但我们事先有提供“中学生数学说题活动”的学习资料，大部分参赛学生对说题的流程及框架有所了解，因此整个活动开展得有条不紊，学生现场表现比我们事先预期的更好.通过上述案例分析，我们可大致了解中学生数学现场说题的含义及流程：中学生数学说题是指学生在解完一道数学题后，向被说题者（教师或专家评委等），阐述自己解决试题的思维过程，主要包含如下几个环节：一是说题目，即运用数学语言说清题目所给的信息，已知条件有哪些，所求结论是什么，题目涉及哪些知识点；二是说解法，解决这道题目运用什么方法，有哪些步骤，你是如何想到的，如何表述；三是说反思，解决这道题都运用到哪些数学思想方法，有无其它解法，哪种解法最优，所得结论或性质在解题中有什么应用，能否推广？

总之，学生说题有利于敦促教师转变课堂教学方式，从而更充分调动学生学习数学的积极性，这也是我们开展本次比赛的一个主要出发点.学生说题不仅能训练学生的口头表达、数学语言交流能力，还能提高学生解决数学问题的能力，摆脱题海战术，减轻学业负担.通过现场比赛前后评委间的交流我们意识到，学生说题的对象还应从说题对象是学生还是教师专家的角度来进行评价更有效.鉴于我们开展这项活动的初衷是想转变教师课堂满堂灌的模式，鼓励学生课堂上讲题、说题，因此，下次说题教研活动开展可侧重于从被说题对象是学生的角度以及让学生说题进课堂两方面进行尝试.

作者简介陈俊斌，男，1984年10月生，福建南安人，中学一级教师，南安市数学学会理事，主要从事中学数学教育教学研究.发表多篇论文，辅导的学生参加全国高中数学联赛多人次获得省市二、三等奖，获全国数学竞赛优秀辅导员、校级优秀教师、南安市“教学研究积极分子”等荣誉称号，参与省、市级课题研究多项.