高三学生空间几何思维水平发展的调查研究

黄兴丰，裔晶晶，孙庆庆，杨丹丹，杨焕祥，王 翎（．上海师范大学 教育学院，上海 00；．昆山市张浦镇第二小学，江苏 昆山 500；．常熟理工学院 数学与统计学院，江苏 常熟 5500；．昆山高新区西塘实验小学，江苏 昆山 500）



高三学生空间几何思维水平发展的调查研究

黄兴丰1，裔晶晶2，孙庆庆3，杨丹丹4，杨焕祥3，王 翎3
（1．上海师范大学 教育学院，上海 200234；2．昆山市张浦镇第二小学，江苏 昆山 215300；3．常熟理工学院 数学与统计学院，江苏 常熟 215500；4．昆山高新区西塘实验小学，江苏 昆山 215300）

摘要：培养和发展高中学生的空间几何思维能力，是数学课程改革的主要目标之一.用范希尔几何思维水平的理论框架，调查高三学生空间几何思维水平的发展特点，发现：（1）学生在前两个较低的思维水平上已经获得了充分的发展，在后两个较高水平上的发展比较缓慢；（2）学生在后 3个思维水平上的发展存在显著的相关性；（3）重点中学的学生，他们在后 3个水平上的发展要明显高于普通中学的学生，而普通中学的学生，除了在水平3外，在其它各水平上的发展均不存在显著的差异；（4）在空间几何思维水平的发展上，男女生之间的差异不显著.

关键词：高三学生；空间几何；范希尔几何思维水平

1 前 言

自2003年颁布《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课程标准》）以来，特别是在空间几何部分，课程结构和教学要求的调整引起了许多争论.《课程标准》一改原有的课程体系，建议遵循“直观感知—操作确认—思辨论证—度量计算”的认识过程，逐步展开空间几何内容.在必修课程中，要求学生能通过整体观察、直观感知、操作确认，获得几何图形的性质，并通过简单的推理发现和论证一些几何性质.至于严密的论证和计算则放在选修系列中，采用向量法来处理[1～3].然而，不少学者指出，这样的处理方式，过于强调了几何直观和合情推理，容易忽视演绎推理的作用，不利于学生逻辑思维能力的发展[4～8].但是在争论之余，很少看到有相关的实证研究来评价高中学生空间几何思维的发展水平.如今，《课程标准》的修订工作也已经紧锣密鼓地展开了，可以说在这个历史时期，掌握高中学生空间几何思维水平发展的真实状况，具有重要的现实意义.因为，这不仅可以为《课程标准》过去的实施留下珍贵的历史影像，而且还可以为目前《课程标准》的修订和实施，以及教材的编写提供有益的参考数据.

2 理论基础

20世纪50年代，范希尔（Van Hiele）把学生的平面几何思维发展划分为5个水平[9].水平1——视觉（visual）：学生根据几何图形的外观来确认和操作几何对象.水平 2——描述/分析（descriptive/analytic）：学生可以通过图形的性质识别和描述几何对象.水平3——抽象/关系（abstract/ relation）：学生可以形成抽象的定义，区分概念的充分条件和必要条件.他们可以根据图形的性质进行分类，同时还可以对分类作出非形式化的论证，但是他们还不理解几何结论的正确性是靠逻辑演绎来保证的.水平 4——形式演绎（formal deduction）：学生可以在公理体系中建立定理，可以从已知条件出发，采用逻辑推理的方式证明命题.水平5——严谨/元数学（rigor/ meta mathematical）：学生完全能在数学系统中做出数学推理，能在缺少参照模型的条件下研究几何.但是不少研究表明学生的思维发展无法达到这个水平.范希尔认为学生几何思维的发展是有先后顺序的[10～11]，只有在达到前一个水平之后，才有可能跳跃到后一个水平.然而，在现实中，有不少学生的思维发展违背了这个规律，他们在尚未达到前一水平的时候，却跳跃到了后面更高的水平.于是，Gutiérrez等断言，学生的几何思维发展可能是连续的，而不是跳跃的；各个水平的发展可能是同时发生的，而不是单一的.为此，他们引入四维的向量来表示范希尔的4个水平，然后再把每个水平分成5个连续的发展阶段，并用定量的数值区间来刻画学生在每个水平上的发展状况[12].

当学生在某个思维水平尚处于“未获得”的阶段时，这表明他们还没有形成这个水平所需要的思维方式.一旦学生意识到了这种思维方式的重要性，他们会不断地去尝试运用.不过，由于经验的缺乏，学生也只是浅尝辄止，根本无法解决问题.这时，可以称他们还处于“低水平获得”的发展阶段.随着学习经验的积累，学生开始进入“中等水平获得”的阶段，他们开始学习如何使用这种思维方式.但是一旦遭遇困难，学生又会回到前面的思维水平.在这个阶段，他们的思维方式会在两个水平之间不断地往返.随着经验的进一步丰富，学生的思维水平开始趋于稳定.尽管他们偶尔也会出现错误，也会回到前面的思维水平，但是，学生已经进入“高水平获得”的发展阶段了.只有当学生能毫无困难地使用这种思维方式的时候，他们才真正达到了“完全获得”的发展阶段，画出思维水平的5个发展阶段，如图1所示.

图1 思维水平的5个发展阶段

3 研究工具

结合《课程标准》的内容要求，对 Gutiérrez等人设计的问卷进行了修改.同时，又根据 Gutiérrez等人的评分原则（表 1），给每个题的解答确定了详细的评分标准.评分不仅关注了学生解答的结果，而且还关注了学生思考的过程.也就是说，即使某个学生的解答是错误的，他也有可能得到一定的分数，因为他的思维方式可能是合理的.相反，即使某个学生得出的结果是正确的，他也未必就能得到高分，因为他的推理有可能是低水平的.

表1 评分原则

问卷一共包含如下4个问题：

第一个问题（1-1、1-2），首先，要学生根据题意选择相应的空间图形，然后，再要学生列表说明各种空间图形与正方体之间的异同（见附录）.原来的问卷中，一共有6个多面体，其中两个是比较复杂的多面体.研究保留了其中4个简单多面体，并添加虚线表示几何体中被挡住的部分.原先问卷1-1有4个问题，在此剔除了一个有关“面对称”的问题，因为《课程标准》对此不作要求.通过问题1-1、1-2，可以了解学生在水平1和水平2上的表现.如果学生只凭几何体的整体外观作出选择和说明，则表明该生的思维水平仅处于水平1.如果学生能根据几何体的定义特征作出选择和说明，则表明该生的思维水平已经达到了水平2.

第二个问题，首先要学生根据所列的几何性质，画出相应的几何体，然后再要学生根据图形，从所给的条件中选择定义这个图形的最少条件（见附录）.通过子问题2-1，可以了解学生在水平2上的表现，即学生能否把这些性质联系起来，画出相应的几何体.

事实上，根据题中所列的条件，至少可以画出3种不同的几何体（图2）.图2-a是上下两底面为正方形，侧面为4个全等的平行四边形（非矩形）的斜柱体；图2-b是上下两底面为菱形（非正方形），侧面为4个全等矩形的柱体；图2-c是上下两底面为正方形，前后侧面是矩形，左右侧面为平行四边形（非矩形）.

图2 符合题目条件的3种几何体

通过子问题2-2，可以了解学生在水平3或水平4上的表现.水平3反映的是学生非形式化的思维发展水平.所谓非形式化的推理，也就是指学生在推理的过程中，借助图形特征、个人经验作出猜想，或得出结论，学生的推理过程并没有建立在课程学过的定义、性质之上[13].很多学生的解答，他们的推理既有非形式化的过程，又有形式化的过程，由此可以推测他们的思维在水平3或水平4的程度.如果学生给出的推理过程，完全是形式化的，那么就属于水平 4的类型7，也就是说该生在水平3上已经达到了“完全获得”的发展阶段.综上所述，确定了如表2的评分标准.类似地，通过问题4和问题5（详见附录），也可以了解学生在水平3或水平4上的具体表现（学生相应的解答和对应的类型，将在后文介绍）.

表2 问题2-2水平3和水平4的评分标准

4 数据收集

《课程标准》指出：“必修课程是选修课程中系列1、系列2课程的基础.选修课程中系列3、系列4基本上不依赖其他系列的课程，可以与其他系列课程同时开设，这些专题的开设可以不考虑先后顺序.在必修课程中，数学1是数学2、数学3、数学4和数学5的基础.”因此，各地在对必修课程的教学顺序、选修课程的内容选择上，都出现了很大的差异[14].苏南Y市，在必修课程上，选择了数学1–4–5–2–3的教学顺序.也就是说，学生一般在高二上学期学习空间几何的模块.在选修课程中，只要求理科的学生选修2-1中的“空间向量和空间几何”（也在高二上学期完成），对文科学生不作要求.为了尽量减少学校教学差异对调查结果的影响，研究者并没有在学生学完空间几何内容后，马上进行调查，而是选择在一个学期缓冲之后，学生刚进入高三的时候进行测试.众所周知，高三是学校教学的重中之重，为了尽量减少测试对当地学校正常教学秩序的影响，研究者在样本的选择上作了慎重的考虑.首先，根据Y市高中入学录取分数线的高低，把当地7所普通高中分成A、B、C三类：A类指的是录取分数排名前两名的省重点高中，一共两所；B类指的录取分数排名在3～5名3所普通中学；C类指的是的录取分数线排名最后的两所高中.然后，请各所学校的教师分别推荐一个能代表本校平均水平的班级作为测试的对象.在研究中，参与测试的高三学生一共331人，其中代表A类学校的为94人，B类学校147人，C类学校90人.

根据反复修订的评分标准，对学生每道题的回答进行了评分，然后取学生在每个水平上得到的平均值，作为判断该生在这个水平上处于哪个发展阶段的判定依据（表3）.

表3 学生在4个水平上的得分

5 研究结果

5.1 高三学生空间几何思维在4个水平上的总体发展状况

对三类学校高三学生在 4个水平上的发展状况进行统计，见表4.从表4可以看到高三学生在4个水平上发展是不均衡的.几乎所有的学生在水平1上都达到了“完全获得”的发展阶段.同样的，在水平2上，几乎所有的学生都达到了“高水平获得”以上的发展阶段，其中51%的学生，他们已经达到了“完全获得”的发展阶段.也就是说，高三学生在水平1和水平2上都得到了充分的发展.

尽管在水平3上，学生的思维水平有了一定的发展.但是约90%学生仅达到中、低水平的发展阶段，能达到“高水平获得”发展阶段的学生只有8%.

在水平 4上，高三学生的表现不尽如人意，约有 75%的学生还处于“未获得”的阶段，其余的多数学生均处于“低水平获得”的阶段.

这个结果，和学生在高考中的表现大体是一致的.比如，在2012年江苏数学高考试卷中的一道立体几何解答题，考查的是学生对基本知识和基本技能的掌握，题目不难，但学生得分不高.学生错误的主要原因在于他们形式化的推理水平（水平4）尚未充分发展起来.在推理的过程中，夹杂了很多非形式化的推理过程（水平3）.第一，受图形直观的负面影响，“所见即所得”.比如，有些学生直接把棱柱的上下底面当作了直角三角形.有些学生直接把D当作了BC的中点（图 3）；第二，受过去经验的负面影响.比如，有些学生把平面几何中的结论直接推广到了空间几何中——垂直于同一直线的两条直线平行[15].

图3 试题图

下面就学生在问卷上最后 3个问题上的解答，看看学生的具体表现.

问题2-2要求学生给出图形的最小定义，并进行必要的说明.事实上，最小定义可以是条件①②④或①②⑤.一方面，通过这3个条件可以推出其余的2个条件；另一方面，如果少于这 3个条件，都无法保证这5个条件所确定的图形.然而，很多学生的回答，却反映了他们无论是在水平3上，还是在水平4上，都处于较低的发展阶段.具体而言，大概有40%的学生未给出任何答案.有 25%学生在水平 3上得到了一定的分数，但在水平4却未得到任何分数.他们仅凭借直觉列出了全部条件，认为这 5个条件是缺一不可的，没有任何形式推理的成份.仅有30%的学生，他们在水平3和水平4上都得到了相应的分数.他们在解释的过程中，一方面依赖图形特征作出推理，另一方面推理开始和定义、性质联系起来.

在问题3中，只有约5%的学生给出了完全形式化的推理.许多学生在理解“任意”上出现了问题，他们把“任意”当作了存在.不过即使这样，在这两个水平上，他们也可以获得相应的分数.只要他们对所构造图形中的条件OA=OB进行说明，如果这种说明是借助直观或者是经验的，那么按照推理过程的完整程度，他们在水平3上就可以得到相应的分数.如果学生对OA=OB的解释开始和定义和性质联系起来，那么他们在水平4上同样可以获得相应的分数.但是，像这样能对OA=OB进行解释说明的学生却不到20%.

在问题4中，近50%的学生判断错误，而且也未给出任何判断的理由.尽管约有15%的学生判断正确，但还是没有给出任何的理由.大概35%的学生，几乎都给出了如下类似的理由：“只有正棱锥底面正多边形的中心角小于60度，这些等边三角形才能构成这个棱锥的侧面.”遗憾的是，他们没有进一步根据正棱锥的定义和性质来解释或证明这个结论，因此他们的推理还是属于非形式化的.

表4 3类学校高三学生在4个水平上的发展状况

5.2 高三学生空间几何思维水平的个人发展类型

根据前面提到 Gutiérrez等人的理论假设，即学生的几何思维在各个水平上的发展可能是同时发生的，而不是单一的.在研究中主要出现了5种不同的发展类型（见表5）.大部分学生的思维发展属于类型2、类型3和类型4.他们在前两个水平上都得到了充分的发展，在后两个水平上的发展还是有待提升的，或者说，他们尚处于数学推理的发展阶段.从数据还可以看到：一方面，正如Gutiérrez等人假设的那样，学生的几何思维的确在各个水平上的发展是同时进行的.而并非像范希尔所假定的那样，一定要在前一个水平完全获得的前提下，后一水平才能发展起来.

另一方面，对学生个体而言，前面思维水平的发展也的确是他们在后面思维水平发展的重要基础.如，在类型 5中，学生在水平 3上尚处于低水平的阶段，他们在水平 4上也就根本无法发展起来；而在类型1和类型2中，当学生在水平3上达到中等水平之后，他们在水平4上也开始获得了一定的发展.进而，通过对4个水平的相关性检验，发现学生在后3个水平上的发展存在极其显著的相关（表6）.

表5 高三学生6种个人发展类型分布

5.3 高三学生空间几何思维发展的差异性

类似地，可以对3类学校学生在4个水平上的差异性进行卡方检验，结果发现：3类学校的学生，除了水平1上不存在显著性的差异外，在其它 3个水平上均有显著的差异性.进一步的检验表明：一方面，省重点中学（A类学校）学生的空间几何思维水平在后3个水平上，明显高于普通中学（B、C两类）的学生；另一方面，在B、C两类中学的学生之间，B类学校的学生只是在水平3的发展上明显高于C类学校的学生，在其它水平上的发展无差异（见表7）.

表6 高三学生4个水平上的相关系数

表7 3类学校在4个水平上的卡方检验

对3类学校中，男女生在4个水平上的发展差异性进行了卡方检验（见表8）.结果发现，除了C类学校男女生在水平3上存在显著的差异性外，其余均无显著性的差异.因此可以说，男女生在空间几何思维水平的发展上，基本不存在性别上的差异性.

表8 三校男女生在4个水平上的卡方检验

6 研究结论

借助范希尔几何思维水平的发展框架，在假设学生的几何思维水平是多元连续发展的前提下，通过对数据的分析，发现高三学生空间几何思维水平的发展具有如下特征：

（1）学生在水平1和水平2上都得到了充分的发展，相比之下，在水平3和水平4上的发展比较落后；

（2）学生在水平2、水平3、水平4上的思维发展密切相关；

（3）重点中学的学生，他们在后3个水平上的发展要明显高于普通中学的学生.普通中学的学生，除了水平3，在其它3个水平上的发展均不存在显著的差异性；

（4）在几何思维水平的发展上，男女学生之间基本不存在显著差异性.

［参 考 文 献］

[1] 高中数学课程标准研制组.高中数学课程标准的框架设想[J].课程·教材·教法，2002，（4）：1–7.

[2] 高中数学课程标准研制组.普通高中数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2003.

[3] 王建明，张思明，王鹏远，等.高中几何课程标准之我见[J].数学教育学报，2001，10（4）：55–58.

[4] 袁智斌.对《普通高中数学课程标准》文本的反思性解读[J].数学教育学报，2009，18（6）：74–80.

[5] 韩龙淑.高中“课标”与“大纲”中空间几何内容比较研究及启示[J].数学教育学报，2006，15（2）：71–73.

[6] 俞求是.高中数学课程标准实验问题研究[J].教育学报，2009，（6）：36–44.

[7] 孙名符，谢海燕.新高中数学课程标准与原教学大纲的比较研究[J]. 数学教育学报，2004，13（1）：63–66.

[8] 张永超.关于《普通高中数学课程标准（实验）》适用性和科学性的几点思考[J].数学教育学报，2008，17（2）：61–64.

[9] Clements D H, Battista M T. Geometry and Spatial Reasoning [A]. In: Grouws D. Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning [C]. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, 1992.

[10] Usiskin Z. Van Hiele Levels and Achievement in Secondary School Geometry [M]. Chicago: Unversity of Chiago, 1982.

[11] 黄兴丰，顾园园，顾婷，等.7～9年级学生几何思维水平的发展——来自苏南C市的调查[J].数学通报，2013，（6）：13–17.

[12] Gutiérrez A, Jaime A, Fortuny J. An Alternative Paradigm to Evaluate the Acquisition of the Van Hiele Levels [J]. Journal for Research in Mathemtics Education, 22, (3): 237–251.

[13] Fuys D, Geddes D, Tischler R. The Van Hiele Model of Thinking in Geometry among Adolescents [J]. Journal for Research in Mathematics Education, 1998, (3): 1–196.

[14] 李善良.普通高中数学课程标准的实验和思考[J].课程·教材·教法，2010，（10）：45–51.

[15] 李斌，宁连华.对2012年江苏高考空间几何试题的剖析和思考[J].数学通报，2013，（4）：39–43.

附录：

1-1、在图中找出下列图形：

①棱锥；②至少有一组对面平行的多面体；③在每个顶点处有三个面的多面体.

1-2、列一张表，分别写出正方体和A、B、C、D的异同之处.

2-1、画一个空间图形同时满足如下条件，并解释你所画的图.

①正好有 8条短的相等的棱和4条长的相等的棱；②正好有3种不同大小的角；③至少有两条短的棱是平行的；④每个对面平行；⑤所有长的棱是平行的.

2-2、根据你所画出的图，给出定义这个图形的最少条件（从上面 5个条件中选择），并说明理由.

3、判断如下命题的真假，并给予必要的反例或证明：若某多面体有一个中心点O，任意过点O的直线与该多面体的两个面α、β交于点A、B，且OA=OB，则βα//.

4、以 3个全等的等边三角形为侧面可以构成一个三棱锥，如果分别以4个、5个、6个、7个全等的等边三角形为侧面，它们哪些能构成棱锥？哪些不能构成棱锥？请给出你必要的理由或证明.

[责任编校：陈隽]

中图分类号：G633

文献标识码：A

文章编号：1004–9894（2016）02–0075–05

收稿日期：2015–12–05

基金项目：江苏省教育科学“十二五”规划课题——苏南、苏中、苏北课程实施的比较研究（C-c/2011/01/58）

作者简介：黄兴丰（1974—），男，江苏南通人，副教授，博士，主要从事中小学数学教育研究．

Investigation on the Space Geometry Thinking Levels of Senior High School Students

HUANG Xing-feng1, YI Jing-jing2, SUN Qing-qing3, YANG Dan-dan4, YANG Huan-xiang3, WANG-Lin3
(1. Education School, Shanghai Normal University, Shanghai 200234, China; 2. Zhangpu Second Primary School, Jiangsu Kunshan 215300, China; 3. Mathematics and Statistics School, Changshu Institute of Technology, Jiangsu Changshu 215500, China; 4. Xitang Shiyan Primary School, Jiangsu Kunshan 215300, China)

Abstract:The development of students’ space geometry thinking in high school is one of the objectives of the mathematics curriculum. According to the theoretical framework of Van Hiele levels, statistical analysis showed that (1) the students have obtained the first two levels full development, but their development on the other two levels are relatively slow; (2) Their development on the last three levels shows significant correlation; (3) The geometric thinking of key school students is significantly higher than that of ordinary school students on the last three levels, and there are no significant differences among ordinary high school students (except of level 3); (4) There is also no significant gender difference on the development of space geometric thinking.

Key words:senior high school students; space geometry; van Hiele levels of geometric thought