中国和澳大利亚教科书习题的数学认知水平比较——基于“高中函数”的分析

张维忠，程孝丽（浙江师范大学 教师教育学院，浙江 金华 321004）



中国和澳大利亚教科书习题的数学认知水平比较
——基于“高中函数”的分析

张维忠，程孝丽
（浙江师范大学 教师教育学院，浙江 金华 321004）

摘要：选取澳大利亚与中国影响较大的两套高中数学教材，借鉴已有数学认知水平框架，对中澳两国具有代表性的函数内容习题进行数学认知水平的质性分析与量化比较后发现：中澳两国在“函数”知识内容的选取和设置上有较大区别，其每个水平的习题量澳大利亚至少是中国的两倍多；具体通过对计算——操作性记忆水平习题的比较发现：两国都安排了较多的计算和作图题，重视学生基本数学能力的培养；通过对领会——说明性理解水平习题的比较发现：澳大利亚的习题量大且题型多样.借鉴澳大利亚高中数学教材，中国需合理安排4个认知水平习题的比例；在增加习题总量的基础上，适当降低计算——操作性记忆水平习题的比例，提高探究性理解水平的习题比例；加强信息技术的使用，较早地让学生接触数学软件等.

关键词：习题；数学认知水平；函数；比较

近20年来，教科书在数学教和学中的作用已在国际数学教育领域中受到越来越多的关注，然而，与数学教育研究的其它领域相比，聚焦教科书的研究仍然是不够的[1].对数学教科书的主要部分——习题的比较研究，近年来呈现一定的上升趋势，美国“QUASAR”（Quantitative Understanding：Amplifying Student Achievement and Reasoning）计划的研究者在观察中发现：“高认知水平数学教学任务为学生提供了运用高水平的思维和推理的机会，日复一日，学生从高水平任务中体验到的累积效果，就在于学生对数学本质的认识得到潜在的发展，创新精神和创造能力得到提高.”[2]而学生数学认知水平的提升，主要是通过完成数学习题获得的.数学教育国际比较研究成果表明：澳大利亚教科书在数学习题编制上具有较高的水平.因而，选取澳大利亚影响较大的维多利亚IBID出版社2007年出版的Mathematics High Level (core) (The Third Edition)（以下简称“MHL”）[3]，中国选取人民教育出版社2007年出版的《高中数学·必修1（A版）》（以下简称“PEP-A”）[4]，借鉴顾泠沅提出的数学认知水平框架，对中澳两国都具有代表性的函数内容习题进行数学认知水平的比较，并对中国数学教材改革给出若干建议.

1 比较的理论框架

布卢姆等的《教育目标分类学》在认知领域有6大类别：知识、领会、运用、分析、综合、评价，其分类理论由于缺乏可靠的实证，在连续性和层次性方面存在诸多疏漏.鉴于此，顾泠沅等先后两次（1990，2007）进行大样本测试，从大量外显行为所表征的教学目标中析取内隐主要因素，由此确定目标框架的层次并研究分类的连续性，最后经过改造，数学认知水平分析框架分为4层次架构：水平1：计算——操作性记忆水平；水平2：概念——概念性记忆水平；水平3：领会——说明性理解水平；水平 4：分析——探究性理解水平.其中，水平1、2为记忆水平，为较低认知水平.水平3、4为理解水平，属于较高认知水平.第4水平（探究性理解水平）通常称作高认知水平[5].

就内容而言，“函数”所在章节，澳大利亚MHL中是在第5章“函数与映射”和第7章“指数函数和对数函数”.其中，第5章“函数与映射”包括：映射、函数、一些基本函数的性质和函数的运算4节，第7章“指数函数和对数函数”，包括：指数函数、对数函数和对数函数的代数运算3节.中国PEP-A中是在第1章“集合与函数概念”和第2章“基本初等函数（I）”.其中，第1章“集合与函数概念”包括：函数及其表示和函数的基本性质2节，第2章“基本初等函数（I）”，包括：指数函数、对数函数和幂函数3节.另外，由于“集合的定义及运算”为澳大利亚初中的学习内容，为保证比较的对等性，本文未将PEP-A中第1章1.1节“集合”纳入比较范围之内[6].

结合澳大利亚MHL教科书“高中函数”内容，数学认知水平分析框架可具体化如下[7].

水平1：“计算——操作性记忆水平”.主要体现在按照教科书中的概念、规则或例题的解题步骤与方法进行基础的常规操作的习题上，这些习题涉及简单的计算、作图与求值等.本文将简单的例题形式匹配度高的习题以及简易的常规操作题也归为水平1.如，例题5.8：给出函数f (x)=x3+1，x∈R，求(a)f(-1),f(2)；(b)f(x)=28时x的值.习题5.2：如果f(x)=x/(x+1)，x∈[0,10]，求(a)f(0),f(10)；(b){x:f(x)=5}.此类习题更注重程序化描述，利于学生规范解题格式，巩固基础知识，形成基本技能.

水平2：“概念——概念性记忆水平”.主要体现在对数学定义、定理、公式、规律、表达形式记忆的习题上.如，例题5.1：定义下面关系的定义域和值域 (a) {(0,0),(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),(5,25)}.例题5.1：定义下面关

水平3：“领会——说明性理解水平”.主要体现在个体首先习得并贮存计算和概念水平的知识，根据题目要求能够转换、迁移、比较和表征，灵活使用已学的数学方法；能够通过已呈现的关系理解并掌握推理思路.这里把和例题形式稍有不同的习题归为这一类.如，例题 5.39：求函数g:x →4x-2,x ∈R的反函数.习题5.42：判断下列函数是否存在反函数，若存在写出反函数：f(x).比较例习题，虽然形式有所不同，但解题方式基本一致，只是习题难度稍高，是以指数函数为外函数的复合函数.在MHL的“指数和对数的代数运算”中，多数习题是例题的隐性呈现，需经过变式，移项等.此外，对于过程步骤较为复杂的例题，按学生现有的认知水平，只有在理解的基础上才能掌握解题概要，因此这里把这类例习题也归为该水平.如，例题5.35：已知函数f (x)=x2+1,x≥0和函数g(x )=x-1,x≥1，定义函数(fºg)(x).若复合函数存在，则在图象上找出x=3的点.

水平4：“分析——探究性理解水平”.主要体现在个体能从多方面、多层次、多角度地分析，创造性地解决非常规问题，在综合运用、重组已学知识的同时，时常要考虑问题解决的策略，对于问题的解决过程或方案做出价值判断.这里把与例题差别较大，学生不常接触的问题归为非常规问题，包括开放题与探究题.如，习题7.15：当函数f(x)=ae-kx的图象经过点(1,e)和(-1,2e)时，求a和k的值.不同于常规题，此题没有唯一解，为学生提供了较大作答空间，利于发挥学生学习的主动性和创造性，开发学生的发散性思维.

2 基于认知水平分类的习题比较分析

以上述数学认知水平分析框架为基础，对中澳高中教科书“函数”习题进行整理分类，通过使用SPSS 21软件得到4个水平的列联表，分析得出各个水平的习题数量和比重，进而采用卡方检验方法（要求属性变量相互独立），得到表1，在此基础上分析中澳教科书习题在水平上的差异性.

由表1可知，两套教科书函数部分的习题尽管在认知水平的分布上有着相似的规律，如都满足水平1>水平3>水平2>水平4；水平2（17%左右）和水平4（6%左右）的习题比例相当；水平4的分配比例均显著低于其它3个水平，但是两者又存在较大的差异，尤其是习题总量，MHL远多于PEP-A，且比例达到了2.5∶1.同时，在翻阅大量文献，考察了澳大利亚其他版本的初高中数学教科书后，发现每套教科书均配置了较多习题，比中国教科书要多得多.

2.1 操作性记忆水平习题的比较

由表1可知，水平1在两套教科书中都占了最大比例，但仍存在显著性差异，现将水平1的习题根据考察内容逐一进行分析，见表2.

从表2看到，PEP-A和MHL对简单计算、作图题，化简，求解函数的定义域、值域等基础题均安排了较多练习，特别是计算题，两套教科书都给予了充分重视，体现了“双基”在高中函数学习中的重要性以及两国对“双基”的重视.但是，从该水平的卡方检验可知，两套教科书在题量和题型上差异较为显著.其一，函数单调性习题和证明题是PEP-A特有的知识点，这体现了中国教科书重视推理能力的训练.其二，分段函数的连续点、求函数的渐近线、求截距、复合函数和反比例函数的解析式5部分的习题是MHL的亮点，其中分段函数从数学分析的视角解析了分段函数的连续性问题，为方便学生理解和掌握，给出的例题步骤相当详细，习题水平也较低.同时，MHL还安排一个章节学习反函数和复合函数以及函数的代数运算，并配置了大量的习题，其中部分习题结合了渐近线与截距的知识点.而PEP-A在“对数函数”中只简单介绍了反函数的概念，并未安排相应的习题进行训练，关于复合函数、渐近线或截距的习题几乎没有.

2.2 说明性理解水平练习题的比较

与操作性记忆水平题目结果不同的是，在说明性理解水平的习题上，PEP-A数量少，比例低，与MHL存在显著性差异.以下根据习题考察的内容，对PEP-A和MHL在该水平的习题进行了详细的比较，见表3.

结合表1～表3可知，说明性理解水平是两套教科书在4个水平中差异最显著的一组.现从习题内容的角度分析，主要以下面4种差异明显的题型为例进行剖析.

2.2.1 综合题

PEP-A（22题）：几乎每章的复习题中都有综合题，这是PEP-A习题的编排特色.如，计算综合题——关于对数的化简：(log43+log83)(log32+log92).需要通过换底公式操作计算.数形结合题——若求实数a的取值范围.需要充分理解底数的意义以及掌握数形结合的数学方法.

MHL（129题）：MHL十分重视知识之间的联系，通常以连贯系统的方式呈现数学理论，因而，综合型练习是MHL习题的特点也是重点.如，计算综合题——关于对数函数的代数运算：求下列方程的解.相比PEP-A的对数运算题，MHL在习题运算难度上有所加深，更侧重移项、转换的数学方法.数形结合题——画出函数图象并且求值域：.函数表现形式的多样性考察了学生“多元联系表示”的思想.

2.2.2 与例题形式不同，需要变式、转换的习题

2.2.3 简单情境题

从表3可以看到，情境题是PEP-A独有的习题类型，这里将与生活、生产等实际问题相关的带有一定情境的题目定义成情境题，且把操作过程较为简单、解题思路较为清晰的情境题归为水平3，综合性较强、难度较大的归为水平4.由于情境题大多以实例为素材，贴近生活，使学生在解题的过程中体会生活，从某种程度上讲是理论和实际的结合.PEP-A的情境题正是体现了这样的特点，如，概念性情境题——通过发生事件与图象的吻合程度来判断图象的走势.计算型情境题——已知鲑鱼和耗氧量的变量关系，要求学生计算大鲑鱼静止时耗氧量的单位数.

在函数章节，MHL没有设置情境题，也未安排相应的习题.

2.2.4 求解析式

PEP-A（4题）：PEP-A求解析式基本以情境题的形式出现，如，一步式求解——通过细胞分裂实例，写出关于细胞个数y与x的函数解析式.多步骤求解——牛奶保鲜问题，继假设函数解析式之后，通过不同储藏温度x（单位：℃）时的保鲜时间y（单位：h）求出指数函数的系数和底数.

MHL（15题）：研究MHL教科书发现，“函数的代数运算与复合”是其特有的知识点，课后习题基本以复合函数和反函数为基础.虽然该知识点具有很强的抽象性，但在例题中编者对复合函数和反函数给予了充分介绍，并安排了较多例题进行剖析，习题难度基本与例题保持在同一水平.如，求复合函数解析式——若f,g,h满足f:x→x+1,x∈R，.求反函数的解析式——下面函数是否存在反函数，若存在求出反函数.此类型习题虽然比较抽象，但在例题的引导下学生亦能接受和领会，因而将复合函数和反函数的求解归为水平3.

可见，在说明性理解水平上，MHL的习题理论性和抽象性较强，PEP-A的习题实践性和直观性较强.

表1 中澳高中教科书“函数”习题认知水平比较

表2 PEP-A和MHL“函数”操作性记忆水平各类习题数量比较

表3 PEP-A和MHL“函数”说明性理解水平习题比较

3 研究结论

3.1 相 同 点

3.1.1 习题在认知水平的分布情况大致相同

PEP-A和MHL两套教科书在4个认知水平的习题编排上尽管所占比例不尽相同，但均表现为如下相同的分配规律：水平1>水平3>水平2>水平4.从两套教科书“函数”习题的认知水平具有相似的分配规律中可以看出，两套教科书的习题编制基本符合学生的认知水平和规律，基本体现重基础，促提高的特点.

3.1.2 中国与澳大利亚教科书均重视双基

从较低认知水平的习题数量以及习题类型可以发现，PEP-A和MHL在习题的设置上都十分注重基础知识和基本技能.在习题数量上，两套教科书中较低认知水平的习题题量均比较高认知水平的习题多很多，其中将近一半的习题属于操作性记忆水平，这部分习题旨在学生掌握基础知识，形成基本技能.在习题题型上，两套教科书均注重基础试题，如简单计算题和作图题，旨在通过运算和作图帮助学生巩固基本概念和重要的公式、定理和法则，灵活运用形象思维和抽象思维.

3.2 不 同 点

3.2.1 MHL习题总量远超中国PEP-A

在习题数量上，澳大利亚MHL的习题数量（727题）远超过中国PEP-A（287题），是PEP-A的2.5倍，而且每个水平的习题数量至少是PEP-A的1.8倍.不仅在“函数”习题上澳大利亚数学教科书的习题数量远大于中国教科书，在翻阅大量文献，考察了澳大利亚其他版本的初高中数学教科书后，发现相同的现象，也从一个侧面说明中国学生学业负担沉重的问题，数学教科书不是主要原因.

3.2.2 MHL“函数”部分习题不具情境性

MHL“函数”部分仅在映射的定义一节中使用了“中学生年龄与体重的对照关系”的实例，例习题的知识点均以学过的知识发展得到，一般不具情境性，且设置的习题低起点，多水平，难度循序渐进，更多地注重数学理论知识上的学习.相对而言，PEP-A在函数章节安排了一定数量的情境题，且部分情境题的练习较好地融合了4个水平，由易到难，从生活又回到学术数学，较好地符合了《普通高中数学课程标准》中“帮助学生认识数学的应用价值”，“增强联系实际和应用能力的培养”的要求，把数学作为解决实际问题的工具.可见，MHL注重学生理论知识的学习，通过系列的知识训练题培养学生的数学思维.PEP-A则更注重生活实践，培养学生理论与实践相结合的意识和学以致用的能力.

3.2.3 “函数”习题中抽象性和直观性知识的差异

其一，函数的单调性与奇偶性是PEP-A特有的知识点，具有较强的直观性的特点.由于新课改中将导数的学习移至选修系列2，学生对于函数单调性的学习和理解只能通过图象的变化或是定义判断法，而定义判断法在使用范围和可操作性上都存在一定的局限性，从该部分习题的认知水平（基本控制在水平1和水平2）也可看出学生的学习基本是简单的操作记忆，更多的是直观上的理解.与单调性相似的是，PEP-A在安排函数奇偶性的习题水平也基本为较低认知水平，习题以考察函数图象的对称性为主，因而该部分内容的直观性也较强.

其二，关于复合函数和反函数的问题，由函数的性质决定，复合函数和反函数本身难度较大，抽象性较强.MHL的习题较好地体现了这一特点，其配置的习题的认知水平也较高（基本控制在水平3和水平4），且知识点之间具有较强的联系性.MHL通过已学的函数定义、基本初等函数等知识构建复合函数，利用指数函数、对数函数和复合函数知识学习反函数，这种以已学的知识点为基础，建构循序渐进的多水平的知识链，不仅尊重了数学知识间的逻辑性，更有助于学生建立系统性的认知结构.而在新课改的过程中，PEP-A数学必修减弱了反函数难度的同时移除了复合函数，于选修系列2明确提出复合函数的概念，反函数的教学要求降低到直观理解，从习题的认知水平（基本控制在水平 1和水平2）看出中国PEP-A对反函数的要求降低不少.

3.2.4 MHL更加重视计算器

澳大利亚的学生几乎人手一部“图形计算器”（TI-83 Plus是最经典的图形计算器，提供了中学数学和科学课程所需要的全部功能），并且学会使用TI-83.维多利亚州制定的《维多利亚数学课程标准》中指出：“让学生在理解并能正确应用公式、法则等进行计算的基础上，指导学生用计算器完成较为复杂的计算……利用计算器展示函数图象、几何图形及其变换过程并研究其性质.”[8]而PEP-A仅以阅读材料的形式介绍计算器的使用，加上高考不能使用计算器的要求，中国学生较少使用计算器，且整体技术水平较低.

4 对于PEP-A的借鉴启示

“它山之石，可以攻玉”，上述的比较分析对于 PEP-A有如下借鉴启示：

（1）要适量增加习题数量，尤其是说明性理解水平的题目，但要避免题海战术，“熟”未必能“生巧”，只有在学生理解的基础上训练才能事半功倍.

（2）合理安排4个认知水平习题的比例，在增加习题总量的基础上，适当降低水平1的比例，提高较高认知水平的习题比例，尤其是水平3的习题.适当增加例题的难度与习题的题型，例如变式题和转换题，通过新旧知识的影响，使学生建立一个连续系统的理论知识体系.以期通过较高水平的习题练习，提高学生的抽象数学思维能力、迁移能力等高阶数学能力.

（3）关于高水平（即水平4）的习题，可以安排更多的非常规题，特别是开放题、情景题和探究题.非常规题尤其是情境题，适当融入数学文化或数学史，让学生在体验数学的同时认识数学[9].

（4）关于理论性和实践性知识的平衡.在丰富较高认知水平习题的同时，要避免教材编写中理论性和实践性的偏失.从MHL和PEP-A的函数部分可以看出，中国的教材更注重体现数学的实践性，澳大利亚教材更注重学生未来的发展，即学生现有水平与认知结构和大学数学学习的要求之间的联系，在教材编写上更注重数学的理论性.因而，能否借鉴MHL教科书的编写模式，在介绍数学理论的时候，形成系统连贯的知识体系，使知识呈现得更完整.与此同时，真正落实教科书中的实习作业、阅读和拓展，培养学生的较高认知水平和数学能力，使数学学习在理论性和实践性上保持良好的平衡[10].

（5）关于复合函数与反函数的思考.复合函数的学习是以基本初等函数为基础，具有较强的综合性和抽象性，有助于提高学生的抽象思维等高阶数学能力.而反函数本身“为认知后续各类函数及其关系、性质提供理论支撑，有利于学生从联系的观点认识各类函数”，例如对数函数和指数函数为反函数的学习提供了良好素材.因而，教科书中关于复合函数与反比例函数的知识点设置有待商榷.

（6）加强信息技术与数学课程的有机整合，优化课程内容的呈现方式，提高数学教师的教学自觉性.信息技术不单可以有效地传达与表述数学知识，在一定程度上能显示知识形成的过程.此外，通过信息技术创建可交互的实验环境，让学生真正体验“做数学”的过程，在激发学生学习兴趣的同时，拓展知识的广度和加深知识的难度[11].

［参 考 文 献］

[1] Zhu Y, Fan L. Focus on the Representation of Problem Types In Intended Curriculum [J].International Journal of Science and Mathematics Education, 2006, (4): 609-626.

[2] Stein M K, Smith M S. Mathematical Tasks as a Framework for Reflection: From Research to Practice [J]. Mathematics Teaching in the Middle School, 1998, 3(4): 268-275.

[3] Buckle N, Dunbar I. Mathematics-higher Level (Core) [M]. Victory: IBID Press, 2007.

[4] 人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书数学1必修（A版）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[5] 沈兰，郑润州.变革的见证[M].上海：上海教育出版社，2008.

[6] 贾随军，吕世虎，张定强，等.普通高中数学课程标准实验教科书人教A版与北师大版的比较研究——“以函数及其表示”为例[J].数学教育学报，2014，23（5）：46-50.

[7] 董连春，Stephens M.澳大利亚全国统一高中数学课程标准评述[J].数学教育学报，2013，22（4）：16-20.

[8] 綦春霞.澳大利亚数学课程标准的特点及其启示[J].比较教育研究，2006（7）：81-85.

[9] 张维忠，孙庆括.多元文化视角下的初中数学教科书比较[J].数学教育学报，2012，21（2）：44-48.

[10] 张笑谦，胡典顺.中澳高中数学教材的比较及启示——以澳大利亚VCE课程与人教版高中数学教材函数与映射章节为例[J].数学教育学报，2013，22（2）：71-75.

[11] 岳增成，张维忠，田晨.21世纪美国基础教育数学课程改革与启示[J].数学教育学报，2014，23（1）：84-87.

[责任编校：张楠]

中图分类号：G633

文献标识码：A

文章编号：1004–9894（2016）02–0015–05

收稿日期：2015–12–10

基金项目：2014年教育部人文社会科学规划基金项目——文化视野下中澳数学课程比较研究（14YJC880066）；教育部教师教育国家级精品资源共享课立项建设课程——中学数学课程标准与教材研究（教师厅涵[2013]2号：113）

作者简介：张维忠（1964—），男，甘肃天水人，教授，博士生导师，主要从事数学课程与教学论研究．系的定义域和值域 (b) {(1,2),(2,3),(3,4),(5,6),(7,8),(9,10)}.学生只需记住映射的对应法则即可.在PEP-A中，较多的题目是关于函数的基本性质，如判断函数的单调性、奇偶性.

Comparison of Exercises in Mathematics Cognitive Levels in Selected Chinese and Australian Mathematics Textbooks: In the Case of Functions in High School

ZHANG Wei-zhong, CHENG Xiao-li
(College of Teacher Education, Zhejiang Normal University, Zhejiang Jinhua 321004, China)

Abstract:Based on two sets of high school mathematics textbooks which have a greater impact in Australia and China, and the existing mathematical analytical level framework, the author conducted qualitative analysis and quantitative comparison on the exercises in Function content by mathematical analytical level framework. The results show that the two countries have larger differences in the selection and settings of “Function” content, and each level of exercise capacity in Australian textbooks is at least two times more than the Chinese textbooks. Through computing--level of operation memory, the author find that both countries are arranged more calculating and mapping exercises, focus on cultivating students' basic mathematical ability. Through understanding--level of understanding, the author find that the Australian exercises have larger number and multiple questions. We should learn from the Australian high school mathematical textbooks to arrange for the proportion of four cognitive level reasonably, on the basis of increasing the number of exercises, reduce the proportion of the level of operation memory while improve the proportion of the level of understanding, strengthen the use of information technology to make students learn software earlier.

Key words:exercises; mathematical cognitive level; functions; comparative