中国和俄罗斯高考数学考查内容比较研究

张瑞炳，倪 明（．福建省厦门双十中学 枋湖校区，福建 厦门 36009；．华东师范大学 出版社，上海 0006）



中国和俄罗斯高考数学考查内容比较研究

张瑞炳1，倪 明2
（1．福建省厦门双十中学 枋湖校区，福建 厦门 361009；2．华东师范大学 出版社，上海 200062）

摘要：俄罗斯的高校招生，以往一直实施高校自主命题招生.在试点的基础上已于2009年推行国家统一考试.2014年11月，俄罗斯教育与科学部发布了2015年国家统一考试相关信息.这里就俄罗斯国家统一考试数学试题（样题）与中国2015年新课标全国卷I理科数学，从联系生活实际、平面几何、初等数论初步、立体几何和函数等5个方面的内容进行比较研究，发现考查内容、能力要求和评分标准存在一些差异，这对中国数学课程内容的设置和高考数学试题的命制等方面有一定的借鉴价值，中国可以适当改变平面几何考查方式.

关键词：高考数学；考查内容；比较研究；俄罗斯

俄罗斯于2014年11月在网上公布了2015年国家统一考试的有关信息［1］.这里就 2015年国家统一考试数学专业水平样卷（以下简称俄罗斯样卷），与2015年新课标全国卷I理科数学（以下简称高考课标卷I）的高考试题作一比较，或许能从中学到些什么，给中国数学课程的新高考改革方案带来一些有益的思考与启发.

1 俄罗斯高考概述

俄罗斯于 2001年在部分地区开展国家统一考试的实验，2009年在全境正式实施［2］.国家统一考试评分体系略微复杂，涉及原始分和测试分，测试分的分值高于该科目规定的最小分值，并且决定考生是否能考取理想的大学和专业.俄罗斯国家统一考试要兼顾两项职能：一是要保证大多数中学生获得中等教育的毕业证书，二是要满足国家对各类人才进行有效选拔的需要［3］.

2015年俄罗斯国家统一考试数学学科分两种水平：基础水平和专业水平.基础水平考试用于取得中学毕业证书，也可用于申请大学的相关系科.一般而言，参加基础水平考试的考生只能申请对数学要求较弱的系科，如莫斯科大学语言文学系的实用语言学方向.2015年数学基础水平国家统一考试要求在180分钟内作答20道题目，题目顺序由易到难.

专业水平考试用于申请大学里对数学有较高要求的系科，而且这些系往往需要加试数学.譬如，莫斯科大学的数学力学系、计算数学与控制论系、经济系等.2015年专业水平考试的试题由两部分组成，包括21道题目.

第一部分由9道基础题组成.第二部分由8道较高难度的题目和4道高难度的题目组成，考查毕业生的数学专业素养.

第1～14题是填空题，答案为整数或有限小数.第15～21题是解答题.

第1～14题每题为1分，第15、16和17题满分为2分，第18和19题满分为3分，第20和21题满分4分.总分为34分.

考试时间为3小时55分钟（235分钟）.

根据俄罗斯教育科学部关于按照普通中学教学大纲举行国家考试的有关文件精神，国家统一考试试卷中的每一道解答题，阅卷工作由两位专家按顺序独立进行；如果两位阅卷专家的评分存在实质性差异，需要指定第三位专家复审.评分的实质性差异根据科目的评分细则来确定.第三位阅卷专家进行复查时可以查阅前两位的评分信息.如果两位阅卷专家对任何一道题目的评分差异为2分或更多的，考卷送第三位专家复查.在这种情况下，第三位专家只检查前两位评分有实质性差异的那道题.如果至少有两道题的评分有差异，那么需要送第三位专家复查.复查者需要对所有的题目进行复查.

根据俄罗斯联邦教育科学部的规定，俄罗斯所有高等学校的新生录取都必须根据国家统一考试成绩，同时有21所高校可以举行加试.莫斯科大学也在允许加试的名单之列［1］.

2 考查内容比较

2.1 关于联系生活实际的内容

“数学来源于生活，又回归生活.我们在中学数学教学中，往往过于重视数学知识的教学，而很少关注这些数学知识和学生的实际生活有哪些联系.”［4］在高考课标卷I中，只有一道试题涉及产品的宣传费、销售量和利润的问题，似乎只有与钱有关的问题才能引起国人的兴趣.而在俄罗斯样卷中有不少联系实际生活的试题，例如第2、3、11、13和19题分别涉及气温变化、瓷砖购买方案、深潜箱定位器入水速度、船的运行速度和银行贷款问题.通过高考试题的导向作用，教师利用各种载体培养学生的数学问题解决意识，有效地激发学生将数学知识应用于实践的积极性，提高他们利用数学解决问题的能力，达到学以致用的目的，促进学生数学素质的提高［5］.

2.2 关于平面几何的内容

俄罗斯样卷第19题：两圆外切于点K，直线AB切第一个圆于点A，切第二个圆于点B.直线BK交第一个圆于点D，直线AK交第一个圆于点C.

（1）证明直线AD与BC平行；

（2）已知两圆的半径分别是4和1，求△AKB的面积［1］.高考课标卷I选考题：如图 1，AB是⊙O的直径，AC

（1）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；

图1

这两道试题虽然都以圆为背景，但俄罗斯试题没有给出图形，而能力的标志在于图形的确定和方法的选取，如果给出图形和限定使用某种方法，只能考查考生对这种图形的识别能力和该种方法掌握的准确和熟练的程度.如果不加限定，而由考生自己确定图形和选取方法，那么所考查的能力又高了一层.

然而，由于中国初中新课标淡化平面几何的推理论证及逻辑体系，使得各版本的教材中，平面几何有些支离，不利于教学.数学是一门严格渐进的课程，中学平面几何可以训练学生的空间想象、逻辑推理能力，对抽象思维的发展有非常重要的作用.数学教育的目的首先在于提高素质水平和能力，而不是单单运用所学的知识和工具，完整的数学体系要重于应用［6］.杨乐院士为现在中学平面几何的教学缺失感到忧虑：“平面几何培养人的直观想象力，分析与证明能力，很难用其他课程替代.”［7］

2.3 关于初等数论初步的内容

2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》系列4是初等数论初步.本专题学生将通过具体的问题学习有关整数和整除的知识，探索用辗转相除法求解简单的一次不定方程、简单同余方程、同余方程组等，从中体会思想方法，了解中国古代数学的一些重要成就［8］.

全国各省高考试卷中没有涉及数论的内容.而俄罗斯样卷最后一题（第21题）考查数论中的整除问题.试题如下：

在黑板上写着一些整数，它多于40个，少于48个.这些数的算术平均数为-3，它们中所有正数的算术平均数为4，而所有负数的算术平均数为-8.

（1）黑板上到底写了多少个数？

（2）正数和负数，哪一个写得多？

（3）这些数中正数最多可能有多少个［1］？

解析：设所写的数中有k个正数，l个负数，m个0.这组数的和等于该组数的个数乘上它的算术平均，即4·k-8·l+0·m=-3·（k+l+m）.

（1）注意到等式左边的每一项都能被 4整除，所以k+l+m（所写整数的个数）能被 4整除.根据条件，40

（2）把等式4k-8l=-3（k+l+m）化为5l=7k+3m.因为m≥0，得到5l≥7k，进而l>k.因而负数多于正数.

（3）把k+l+m=44代入等式4k-8l=-3（k+l+m），得到4k-8l=-132，由此k=2l-33.因为k+l≤44，可得3l-33≤44，3l≤77，l≤25，k=2l-33≤17，也即正数不多于17个.

例如，正数是17个.在黑板上写了17个4，25个-8，2个0，此时.这组数满足题目的全部条件.

有一道在网上引起热议的试题：A、B、C、D四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中积分最高的两个队（有且只有两个队）出线，小组赛结束后，如果A队没有全胜，那么A队的积分至少要几分才能保证一定出线？请说明理由．不少数学老师也做错该题，更不用说学生、家长.当然本题是经典的组合试题，但中国的数论素养与俄罗斯的差距是显而易见的.

2.4 关于立体几何的内容

近几十年的国际数学教育改革对几何推理的要求发生了一些变化，适当弱化演绎推理，更多地强调从具体情境或前提出发，进行合情推理；从单纯强调几何的逻辑推理，转向更全面地体现几何的教育价值，特别是几何在发展学生空间观念，以及观察、操作、试验、探索、合情推理等“过程性”方面的教育价值［9］.

角度是“立体几何”中的一种度量，距离是“立体几何”中的另一种度量.点到直线的距离、点到平面的距离、平行直线之间的距离、异面直线之间的距离、直线与平面之间的距离、平面与平面之间的距离的本质是两点之间的距离.而两点之间的距离是以这两点为起点和终点的向量的模或长度.这样，空间中的距离问题就转化为向量的模或长度问题.

可见，用空间向量及其运算，特别是数量积运算，是处理夹角和距离问题的首选方法.

高考课标I卷第18题：如图2，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E、F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.

（1）证明：平面AEC⊥平面AFC；

（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

图2

第一小题考查直线与平面的位置关系，第二小题考查空间几何量的度量，完全符合高中新课标的理念.

然而，俄罗斯样卷第16题：直棱柱ABCD-A1B1C1D1的底是一个边长为2的正方形ABCD，棱柱的高为1.点E在对角线BD1上，且BE=1.

（1）作棱柱被平面A1C1E所截的截面；

（2）求截面与平面ABC之间的夹角［1］.

评分标准：两小题均严格推导，并得到正确的答案，才能得满分.俄罗斯样卷提供的标准答案如下：

（1）如图3，直线AB和C1E均在平面ABC1上，并且相交于点M.同理，直线BC和A1E均在平面BCA1上，并

且相交于点N.梯形A1C1NM即为所求的截面.

图3

同理，BN=1.作直线MN的垂线AH，根据三垂线定理得到 A1H⊥MN，这就意味着∠A1HA为所求的角.由△AHM可求得

该试题第一小题考查截面问题，第二小题涉及三垂线定理.但对于截面问题，即使是中国的大纲卷的考试说明都只要求会解决与几种特殊的截面（棱柱、棱锥、棱台的对角面，棱柱的直截面，圆柱、圆锥、圆台的轴截面和平行于底面的截面，球的截面）以及已给图形或它的全部顶点的其他截面的有关问题.在立体几何教学方面，中国与俄罗斯的要求都是属于较高的，因此俄罗斯在立体几何的一些做法更是值得研究和借鉴的.

2.5 关于“函数”“方程”“不等式”和“导数”的内容

函数思想是高中数学课程的一条主线，从一个角度链接起了高中数学课程的许多内容.“有了这条主线就可以把数学的知识编织在一起，这样可以使我们对知识的掌握更牢固一些.”［10］

在俄罗斯样卷中涉及函数、方程、不等式和导数的试题有第2、3、6、8、11、14、15、17、20题，它们分别考查函数的图象表示法、函数的表格表示法、解指数方程、导数的几何意义、函数求值在实际问题中的应用、求函数的极大值点、解三角方程、解对数不等式和研究函数的最大值.这些试题大多考查单一知识点，要么直奔主题，要么与生活中的实际问题相结合.

如第3题：一建筑公司经理计划采购15吨瓷砖，现在要从3家供应商中选择一家.一块瓷砖重5 kg.各供应商的瓷砖价格和送达的条件如下表所示.

于是

供应商 　瓷砖价格（卢布/块） 　送货费（卢布） 　　附加条件A 　19 　3 000 　没有B 　18 　5 000如果订货总价超过50 000卢布免送货费C 　16 　6 500如果订货总价超过50 000卢布，送货费打对折

试选择最便宜的方案，至少需要多少卢布？

第11题：深潜箱定位器在匀速垂直入水的过程中，以749 MHz的频率发出超声波信号.接收器记录下从海底反射回来的信号频率.深潜箱入水的速度（m/s）与频率存在如下关系：，其中c=1 500 m/s，代表声音在水中的速度；f0代表发出的信号频率（单位：MHz）；f代表反射回来的信号频率（单位：MHz）.如果深潜箱以2 m/s的速度入水，求反射回来的信号频率（单位：MHz）.

第14题：求函数y=ln（x+4）2+2x +7的极大值点.

第17题：解不等式

而在高考课标I卷中考查函数、方程、不等式和导数的试题共有11题，其中涉及单一考点的试题只有第13题，大多数试题要么与其他知识交汇，要么多个考点综合.如第5题：已知M（x0，y0）是双曲线上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若则 y0的取值范围是（ ）.

在大学的数学中，函数（映射）的思想依然发挥着重要的作用.例如，数学系的课程中，数学分析、实变函数、复变函数、常微分方程、偏微分方程、泛函分析等等.这些学科都是从不同角度研究函数所构成的课程.值得一提的是，在对其他课程的学习中，函数（映射）思想仍然起到了重要的作用，例如，群结构中的同态、同构；度量结构中的保距；拓扑结构中的连续、同胚；序结构中的保序、同构；等等.这些都是极其重要的映射.因此，可以理解俄罗斯样卷与新课标I卷都全方位地考查与函数有关的内容.

3 思考与启发

通过中国和俄罗斯高考数学考查内容比较分析，可以看到，两国试卷都重视函数、方程、不等式、三角、立体几何和概率等内容的考查.高考课标I卷还考查统计、解析几何、算法、数列等内容，而俄罗斯样卷没有涉及，这表明中国数学教育正在迅速走向现代化，这也是中国数学教育改革取得的重要成果.但尽管如此，俄罗斯样卷有不少值得学习和借鉴的地方，特别是平面几何.

中国平面几何教学，在20世纪80年代，达到建国以来的巅峰.1992年后，平面几何的教学要求虽然降低，但平面几何论证体系没有大的改变.可以说，直到2000年，中国仍是平面几何教学水平最高的国家之一.

2001年7月，《九年义务教育数学课程标准（实验稿）》率先推出，并立即在实验区使用，2004年包括安徽省在内的全国大部分地区开始使用.新课标人教版教材对平面几何内容作了重大的改变，几乎是“革命式”的.用“空间与图形”替代“平面几何”，主张学生合作探索，通过看一看、量一量、做一做等操作得到结论，然后基本上是说明式的“证明”.主张几何教学多联系实际，强调实际应用；关于平面几何的逻辑推理则被淡化，只是要求学生在充分探索、得出图形的直观结论后，体会推理与论证的必要性.

2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》明确规定学校应在保证必修课程，选修系列1、系列2开设的基础上，根据自身的情况，开设系列3和系列4中的某些专题，以满足学生的基本选择需求.系列4包括：几何证明选讲、矩阵与变换、数列与差分、坐标系与参数方程、不等式选讲、初等数论初步、优选法与试验设计初步、统筹法与图论初步、风险与决策、开关电路与布尔代数等10个专题［8］.

目前开设《几何证明选讲》的学校在全国屈指可数.高考试题主要涉及内容的教学要求以下：

（1）了解平行线截割定理，会证直角三角形射影定理.

（2）会证圆周角定理、圆的切线判定定理及性质定理.

（3）会证相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.

而在俄罗斯，专业水平的平面几何内容非常丰富，包括：

三角形角平分线的性质.解三角形.角平分线、中线、高、内切圆和外接圆半径的计算.三角形面积公式：希罗（海伦）公式，用内切圆和外接圆的半径表示三角形的面积.

圆内角、圆外角、弦与切线之间夹角的计算.

相交弦定理.切割线定理.关于平行四边形边的平方和等于对角线平方的和的定理.

内接多边形和外切多边形.内接四边形和外切四边形的性质和特征.

点的几何轨迹.

利用几何变换和几何轨迹解题.

塞瓦定理和梅涅劳斯定理.

作为点的几何轨迹的椭圆、双曲线、抛物线.

经典作图不能问题［11］.

初中平面几何的学习，确实要避免过繁过难的问题，需要精中求简，但要保证平面几何的逻辑体系不致破坏.实际上，教师的教学难度基本上看齐于中考、高考，只要运用好“两考指挥棒”，平面几何的教学既不会过难，也不会破坏其完整的体系.

致谢：文章写作得到了上海市核心数学与实践重点实验室的资助，并得到华东师范大学出版社夏海涵编辑的大力帮助，特此致谢．

［参 考 文 献］

［1］ Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации. Пояснения к демонстрационному варианту контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 2015 года по МАТЕМАТИКЕ ［EB/OL］. http://www.ege.edu.ru/ru/main/demovers/［2015-05-07］

［2］ 倪明，龚为民.中俄高考数学评分细则的比较研究［J］.数学教育学报，2006，15（4）：52-55.

［3］ 倪明，夏海涵.俄罗斯高考变自主为统考［J］.数学教学，2010，（5）：47-48.

［4］ 但琦.高一学生数学应用能力的调查与分析［J］.数学教育学报，2007，16（1）：66-69.

［5］ 袁智斌.对《普通高中数学课程标准》文本的反思性解读［J］.数学教育学报，2009，18（6）：74-80.

［6］ 苏洪雨，徐斌艳.中德两国标准中的“数学能力”比较研究［J］.数学教育学报，2008，17（2）：74-77.

［7］ 李新玲.杨乐院士直指中学数学教育畸形［N］.中国青年报，2015-05-12.

［8］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）［M］.北京：人民教育出版社，2006.

［9］ 韩龙淑.高中“课标”与“大纲”中立体几何内容比较研究及启示［J］.数学教育学报，2006，15（2）：71-73.

［10］ 濮安山，史宁中.从APOS理论看高中生对函数概念的理解［J］.数学教育学报，2007，16（2）：48-50.

［11］ 倪明.俄罗斯中学数学课程教材的概述［J］.数学教学，2013，（1）：2-8.

［责任编校：周学智］

中图分类号：G40-059.3

文献标识码：A

文章编号：1004-9894（2016）02-0032-04

收稿日期：2015-12-10

基金项目：上海市核心数学与实践重点实验室资助（13dz2260400）

作者简介：张瑞炳（1970—），男，福建福安人，中学高级教师，厦门市专家型教师，主要从事高中数学教学实践研究．是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.

Comparative Research on the Testing Contents of the College Entrance Mathematical Examinations in China and Russia

ZHANG Rui-bing1， NI Ming2
（1. Xiamen Shuangshi Middle School Fanghu Campus， Fujian Xiamen 361009， China；2. East China Normal University Press， Shanghai 200062， China）

Abstract:Russia has long performedthe policy of college independent enrolment and launched on basis of pilot operation the Unified State Exam in 2009. In November， 2014， the Ministry of Education and Science of Russia published information about the 2015 USE. This paper compares five aspects， i.e.， the practical connection with daily life， plane geometry， preliminary elementary number theory， solid geometry and functions， between the Russian USE in Mathematics （sample test） and the National Version I of Chinese 2015 College Entrance Mathematical Examination （for students of science） in to find out their differences in terms of testing scope， requirement of capabilities and standard for evaluation. The research may provide some new ideas for the setting of Chinese mathematical curriculum and the design of the college mathematical examinations. China can also try to make some change in the method of testing for plane geometry.

Key words:college entrance mathematical examination； testing contents； comparative research； Russia