高中微积分课程国际比较研究——基于十个国家和地区的十四个课标研究

张玉环，王 沛（河南大学 数学与统计学院，河南 开封 475004）



高中微积分课程国际比较研究
——基于十个国家和地区的十四个课标研究

张玉环，王 沛
（河南大学 数学与统计学院，河南 开封 475004）

摘要：考察10个国家、地区的14个最新课标中的微积分内容，并做比较细致的定量和定性分析.定量分析包括广度、深度、难度、内容分布、聚类分析；定性分析包括分析核心概念、命题的引入和处理方式.得出的部分结论如下，每个国家、地区选基础水平或理科作为代表，绝对难度从大到小排名：法国（理科）、澳大利亚（基础）、英国AQA、韩国、中国香港（应用）、俄罗斯（基础）、新加坡、中国台湾（理科）、中国（理科）、加拿大；分别按课标、知识点聚类分析，得出了微积分内容设置比较相似的课标分类和知识点受重视程度相似的一些分类.通过比较研究，对中国高中微积分课程发展与教学改革提供一些思考和建议.

关键词：微积分课程；高中；聚类分析；定量分析；比较研究

1 引 言

中国《高中数学课程标准》（实验）已实施十多年，其中微积分的内容和要求存在较大争议，并且中国高中微积分教与学现状存在诸多问题[1].为此，以发达国家、地区课标中的微积分内容为研究对象，通过定量与定性相结合的方法进行分析、比较，得出微积分内容设置的国际经验，为中国高中课标修订提供借鉴.

1.1 研究问题

微积分的国际比较研究主要关注某一个国家、地区的课标[2～5]，并且大部分文献仅考虑“微分”与“积分”，而忽视了学习微积分的一个重要前提“极限”.对高中微积分进行大范围国际比较的文献[6～7]较少，并缺乏量化分析.

因此，选择多个发达国家或数学教育比较优秀的国家、地区的高中数学课标中的微积分内容，做比较细致的定量与定性分析.定量分析包括广度、深度、难度、认知水平分布、核心模块知识分布、聚类分析；定性分析即分析核心概念、命题的引入方式、处理方式.最后，对中国高中微积分课程的设置提供若干思考与建议.

研究内容包括导数、定积分、不定积分这些核心概念，还包括数列极限、函数极限、连续、数值积分、微分方程，力求做到全面、系统、客观.

1.2 样本选取

样本范围较广，且有一定的代表性.选择了法国、英国、澳大利亚等发达国家，以及在国际数学教育比较中排名较靠前的国家、地区，如新加坡、韩国、俄罗斯、中国香港、中国台湾等.

为客观、全面了解一个国家、地区的微积分内容，选择大部分高中生升学必须要求的课标，特别关注理科、工程类（很多国家、地区的文科生并不学习微积分；预科课程也不在考察范围，比如英国的进阶课程主要针对要攻读牛津、剑桥等非常优秀学校的学生），一般会选择1～2个有代表性的课标，具体见表1.

表1 微积分国际比较样本

为简单起见，表1中的课标表示如下：澳大利亚的两个课标，分别用澳大利亚（基础）、澳大利亚（专业）来表示；中国香港偏理论的课标用中国香港（理论）表示，偏应用的课标用中国香港（应用）表示；俄罗斯的课标分为基础水平和专业水平，分别用俄罗斯（基础）、俄罗斯（专业）来表示；法国的两个课标分别用法国（理科）、法国（文科）表示.

1.3 研究方法

主要采用定量与定性分析相结合的方法，其中定量分析包括广度、深度、难度、认知水平分布、核心模块知识分布、聚类分析，具体如下.

1.3.1 广 度

课程广度指课程内容所涉及的范围和领域的广泛程度.在过去的研究中，对于课程广度的量化一直通过统计知识点数量来进行比较[22～24].因此，按知识点个数来统计广度.知识点主要包括概念、命题，而命题又包含定理、运算法则等.知识点又分为大知识点和小知识点.为了做到客观，尽可能选择最小的知识点，比如“高阶导数”这个内容，分成“二阶导数”与“三阶及以上导数”两个知识点，并且综合考察这10个国家、地区的14个课标内容，力争不重不漏.

1.3.2 深 度

课程深度，一般来说它泛指课程目标对课程内容的要求程度以及课程内容所需要的思维深度.在过去的研究中，通常将课程深度看作对课程的认知要求水平[22，24].借鉴研究经验，并根据李高峰对课程难度模型的修订[23]，用课程目标的不同要求程度或概念命题的呈现方式求和来刻画深度.

课程标准对目标要求的描述所用词语分别指向认知性学习目标、技能性学习目标和体验性学习目标.参考新修订的布鲁姆认知水平[25]，依据上海中小学课程标准的水平层次，把14个课标中学习要求分为3个层次：记忆性水平、解释性理解水平、探究性水平，分别赋值1、2、3，见表2.

表2 微积分国际比较目标赋值

1.3.3 难 度

课程的统计难度是指在确定的被试对象上表现出来的难度值，主要是通过考试，衡量学生是否达到课程目标的要求，也叫相对难度.课程的内容难度是由课程目标确定的、在课程标准和教材上表现出来的难度，课程标准和教材一旦形成，课程的内容难度便成为一种不附加任何条件、不受任何限制的客观存在[24].研究中课程难度指课程的内容难度.依据文献[23～24]，课程难度与课程深度成正比，与课程时间成反比；课程难度与课程广度成正比，与课程时间成反比，则难度的计算模型如下.

课程难度=λ×(广度/T)+(1-λ)×(深度/T)

其中T指课程时间，λ为加权系数.在确定λ值时，参考“在应用中，常常取λ=0.5，即课程难度等于课程的可比深度和可比广度的算术平均数”[23]，访谈、调查河南大学、首都师范大学等资深大学数学教师、开封高级中学与河南大学附属中学的数学教师及学生，并咨询林群院士等知名数学家的意见，得出结论“对于高中的学生来说，学习新的概念、命题相对来说比旧内容的加深更有难度”，因此，选定λ=0.6鉴于课标的实际情况，且资料有限，不能得知确切的关于微积分的授课时间，故模型中暂不考虑所用课时，即令T值取1.

1.3.4 内容分布

内容分布具体包括认知水平分布与核心模块知识的分布，也即研究各课标知识点关于表2中的3个认知水平如何分布？各占多大比例？微积分内容的主要模块：数列极限、函数极限、函数连续、微分学、积分学、微分方程所占比例如何？各国家、地区有何侧重？具体操作要依据知识点的广度、深度和难度.

1.3.5 聚类分析

聚类分析又称群分析，它是研究（样品或指标）分类问题的一种多元统计方法，所谓类，通俗地说，就是指相似元素的集合[26].采用最常用的类平均法和离差平方和法，分别对课标和知识点进行聚类分析，期望得到微积分设置相似的课标分类和知识点受重视程度相似的知识点分类.

比较的信度和效度.实施比较教育最应当讲究比较的信度和效度.研究从比较的对等性、文本的代表性、量化工具的客观性、统计数据的正确性做到比较的信度和效度.首先，比较的对等性和文本的代表性，微积分国际比较采用的是10个国家、地区的比较权威、有代表性的14个课标.其次，量化工具的客观性，研究参考了大量文献，并访谈许多相关人员，制定出比较合理、客观的统计标准和量化模型.最后，统计数据的正确性，让多人进行多次重复的统计，以保证结果的一致性和正确性.

2 量化分析

2.1 “广度”“深度”“难度”“内容分布”分析

2.1.1 广 度

对韩国、法国（理科）、法国（文科）、中国台湾（理科）、中国香港（应用）、中国香港（理论）、澳大利亚（基础）、澳大利亚（专业）、加拿大、新加坡、英国AQA、中国、俄罗斯（基础）、俄罗斯（专业）进行知识点的广度分析，并按广度从大到小进行排序，见图1.

如果每个国家、地区选基础水平或理科的课标（并非数学、物理类的专业课标）作为代表，按广度排名，依次是法国（理科）、澳大利亚（基础）、英国AQA、韩国、中国香港（应用）、新加坡、俄罗斯（基础）、中国台湾（理科）、中国（理科）、加拿大.

2.1.2 深 度

各课标中微积分的深度从大到小排名见图2.统计数据说明，课标的广度和深度有一定的相关性，也有一定的差异性.如，法国（文科）在广度中排名第6，在深度中则排名第10.中国香港（理科）在广度中排名第9，在深度中排名第6.

如果每个国家、地区选基础水平或理科的课标（并非数学、物理类的专业课标）作为代表，按深度排名，依次是法国（理科）、澳大利亚（基础）、英国AQA、韩国、中国香港（应用）、俄罗斯（基础）、新加坡、中国台湾（理科）、中国（理科）、加拿大.法国（理科）的微积分内容的深度值最大，中国（理科）微积分内容的深度倒数第2.相比于广度排名，俄罗斯（基础）与新加坡顺序有调整.

图2 微积分内容的深度统计

2.1.3 难 度

由图3知，法国（理科）微积分内容的难度排名第2，中国（理科）微积分内容排名倒数第2.因难度是广度和深度的综合，因此难度排名与前两者的排名有些变化.

如果每个国家、地区选基础水平或理科的课标（并非数学、物理类的专业课标）作为代表，按难度排名，依次是法国（理科）、澳大利亚（基础）、英国AQA、韩国、中国香港（应用）、俄罗斯（基础）、新加坡、中国台湾（理科）、中国（理科）、加拿大.法国（理科）的微积分内容绝对难度最大，加拿大微积分内容难度最小，中国（理科）微积分难度倒数第2.相比于广度排名，俄罗斯（基础）与新加坡顺序有调整.跟深度排名顺序是一致的.

图3 微积分内容的难度统计

2.1.4 认知水平的分布

由图4可以看出，14个课标中A、B、C三层次（分别指了解、理解、掌握）的认知水平的分布有差异，比如俄罗斯（基础）、俄罗斯（专业）课标中的B层次要求较多，A层次水平的知识点最少.中国香港（理科）、澳大利亚（基础）课标中A层次要求的知识点少于10%，法国（文科）、新加坡课标的A层次水平知识占40%左右，中国课标A层次知识水平知识占35%，中国香港（应用）课标中A水平知识近28%.法国（文科）课标C层次水平知识占3%，新加坡、中国台湾（理科）课标C水平知识点近15%，澳大利亚（基础）、澳大利亚（专业）两课标中 C层次水平知识近50%，因此这两个课标的绝对难度比较大.

图4 3个认知水平（知识点个数）所占比重统计

2.1.5 核心模块知识的分布

为了全面、系统、客观地研究，综合考虑14个课标涉及的微积分内容，探讨的内容模块包括数列极限、函数极限、连续、导数、定积分、不定积分、数值积分、微分方程，以下简称“核心模块知识”.14个课标各有特色，各核心模块知识所占比例如何？各国家、地区有何侧重？值得探究.

图 5显示了各核心模块知识的深度在本课标微积分内容中所占的比重.由图5可以看出，所有课标都包括导数内容，并且占了很大比重.积分部分只有加拿大课标没有涉及.数列极限部分，中国香港（理论）、中国香港（应用）、新加坡这3个课标没有涉及.图6显示了各课标的核心模块知识深度值及其在本课标中所占比重.加拿大课标的微积分深度值最小，其导数部分占了非常大的比例.相比较来说，法国（理科）课标中导数的深度所占比例最少，33%左右.图7表示各核心模块知识的难度在各课标中所占的比例.

图5 核心模块知识的广度在本课标微积分中所占比重

图6 核心模块知识的深度在本课标微积分中所占比重

图7 核心模块知识的难度在本课标微积分中所占比重

各课标中数列极限、连续、函数极限的难度值见图8.可知，法国（理科）课标对极限要求最高，其次是俄罗斯（专业）课标，中国课标要求最低.

图8 极限模块知识的难度值统计

各课标中微分、积分、微分方程的难度值见图9.可以看出，每个课标中的导数部分都比积分部分难度值大.只有澳大利亚（专业）、法国（理科）、英国AQA课标有微分方程的内容，其中法国（理科）课标中的微分方程并没有单独列出，而是放在了指数函数、对数函数及其导数部分.

图9 “微分”“积分”“微分方程”模块的难度值

由于积分这一模块包括不定积分、定积分、数值积分，为了解各国家、地区对这3块的重视程度，特把积分内容分小模块来比较分析.积分部分各模块难度值见图 10.积分部分绝对难度从大到小依次澳大利亚（专业）、澳大利亚（基础）、中国香港（理论）、中国香港（应用）、英国AQA、法国（理科）、俄罗斯（专业）、韩国、法国（文科）、新加坡、俄罗斯（基础）、中国台湾（理科）、中国、加拿大.

图10 积分部分各模块的难度值

每个课标中的不定积分、定积分、数值积分占积分部分的比重见图 11.可以看出，澳大利亚（专业）、新加坡课标中定积分内容与不定积分内容比例差别不大，俄罗斯（专业）、英国AQA课标中定积分内容稍微比不定积分内容少一些，其他课标定积分内容比不定积分多，其中中国台湾（理科）、法国（理科）、法国（文科）这几个课标差别较大.中国没有涉及不定积分内容.

(3) 积分时间(分别对每个零部件进行模态分析，取加权平均模态确定各自积分时间，分别取最大和最小时间为积分时间，并结合接触刚度确定ITS)；

图11 积分3个模块占积分内容的比重

2.2 用聚类分析方法进行分类

用类平均法与离差平方和方法分别对课标和知识点进行聚类分析，期望得到微积分设置相似的课标分类和知识点受重视程度相似的知识点分类.

2.2.1 按课标进行聚类分析

（1）类平均法聚类分析.

图12和图13分别为用类平均法对不同课标进行聚类分析的谱系图及聚类过程，半偏R2统计量SPRSQ表明分为4类、2类、3类比较好；R2统计量RSQ表明分为 2类、3类、4类较好；伪F统计量PSF表明分为2类、4类比较合理；伪t2统计量PST2表明分为4类、2类都较好.综合可知，分为2类、4类都是比较好的.具体而言，分为2类的结果为：G1={法国（文科），法国（理科）}，G2={其他国家、地区}；分为4类的结果为：G1={韩国}，G2={法国（文科），法国（理科）}，G3={澳大利亚（专业）、澳大利亚（基础）}，G4={其他}.

图12 用类平均法对不同课标进行聚类分析的谱系图

图13 用类平均法对不同课标的聚类过程

（2）离差平方和法聚类分析.

图14和图15分别为用离差平方和法对不同课标进行聚类分析的谱系图及聚类过程，半偏R2统计量SPRSQ表明分为2类或者3类比较好；R2统计量RSQ表明分为2类、3类、4类较好；伪F统计量PSF表明分为2类最好，其次是3类、4类、5类比较合理；伪 t2统计量PST2表明分为2类、3类、4类都较好.综合可知，分为2类、3类、4类都是比较好的.具体而言，分为两类的结果为：G1={澳大利亚（专业）、澳大利亚（基础）}，G2={其他国家、地区}；分为3类的结果为：G1={澳大利亚（专业）、澳大利亚（基础）}，G2={法国（理科）}，G3={其他国家、地区}；分为4类的结果为：G1={澳大利亚（专业）、澳大利亚（基础）}，G2={法国（理科）}，G3={新加坡、加拿大、英国、中国香港（理论）、中国香港（应用）}，G4={其他}.

（3）结果分析.

图14 用离差平方和法按课标进行聚类分析的谱系图

图15 用离差平方和法对不同课标的聚类过程

中国（理科）与中国台湾（理科）相似原因分析.一方面这两个课标的绝对难度都不大；另一方面这两个课标各模块的受重视程度类似.中国台湾课标对极限要求较低，基本上是直观了解，而中国课标没有涉及极限内容；导数部分，都比较重视，但整体要求都不太高；对不定积分的要求都较低，中国台湾课标在不定积分中只涉及多项式函数的不定积分计算，并没有分部积分等，中国课标中则没有不定积分；定积分部分，中国台湾课标只涉及多项式的积分，这跟中国课标了解定积分定义、微积分基本定理的思想理念差不多，并且两个课标中定积分的知识点个数基本没差别.这两个课标都不包含数值积分、微分方程.

加拿大与新加坡课标相似原因分析.极限部分，加拿大课标讲数列极限，新加坡课标涉及函数极限.导数部分，新加坡课标有19个知识点，加拿大课标有13个知识点，且两国强调的内容类似，都关注一阶导、二阶导，并利用它们研究函数的特性、描绘图形.加拿大课标没有积分内容，新加坡课标对定积分、不定积分的要求也不高.

澳大利亚（基础）与澳大利亚（专业）课标相似原因分析.两种聚类分析都把这两个课标分为一类.两课标中的微积分内容大致相同，只是澳大利亚（专业）对部分知识点要求稍高，以及多要求了不定积分技术、数值积分、定积分的应用以及微分方程.相比于其他课标，这两个课标内容分布比较全面，且整个难度水平较高.

俄罗斯（基础）与俄罗斯（专业）课标相似原因分析.两课标在6个模块中的知识点个数分别为：数列极限：4，5；函数极限：0，2；连续：1，2；导数：16，17；积分：6，10，并且俄罗斯（专业）课标对部分知识点的要求稍高.

中国香港（应用）与中国香港（理论）课标相似原因分析.这两个课标中的知识点个数分别为，函数极限：3，3；连续：1，0；导数：13，15；积分：12，12，两课标的知识点总数都是29，可见其相似程度.

接下来探讨使用离差平方和方法分成4类的情况.据经验判断该方法分的比较合理，其分类结果受一个国家、地区有两个课标的影响不大.G1={澳大利亚（专业）、澳大利亚（基础）}，G2={法国（理科）}，G3={新加坡、加拿大、英国、中国香港（理论）、中国香港（应用）}，G4={俄罗斯（基础）、俄罗斯（专业）、中国、中国台湾、法国（文科）、韩国}.下面进行原因分析.

已经分析过G1类的聚类成因.G2类只有法国（理科），该课标的微积分知识点分布比较全面，且基本没有过于偏重某个较小模块，各模块所占比重为16%，12%，12%，33%，26%，2%，并且该课标的难度较大.G3类包括新加坡、加拿大、英国、中国香港（理论）、中国香港（应用），这些课标中的微积分内容基本集中在导数与积分部分，且各知识点的认知水平分布也比较类似，数列极限、函数极限、连续、微分方程部分要求都较低.G4类包括俄罗斯（基础）、俄罗斯（专业）、中国（理科）、中国台湾（理科）、法国（文科）、韩国，这些课标中的微积分内容分布相对比较均匀，并非只偏重某一两个知识点，并且导数部分知识点明显比积分知识点多.

2.2.2 对知识点进行聚类

用离差平方和方法与类平均法分别对知识点进行聚类，具体聚类过程略.对分类情况进行分析时，需计算每一类知识点的难度平均值，并按数值从大到小排列，其平均难度越大表示该类知识点越受重视，于是得到知识点受重视程度相似的分类.

（1）结果分析.

两种聚类方法建议分成2类、4类，若分成两类，结果基本一致，即把各个课标都重视的一些知识点、不重视的一些知识点分了出来.比如用类平均法得出比较重视的知识点有：数列极限的概念、某点处导数的定义、导数的几何意义、求导的四则运算、链式法则、幂函数求导、指数函数求导、对数函数求导、导数的计算、二阶导数、导数与单调性、极值、绘图、导数的实际应用、变量代换、不定积分的计算、定积分的定义、定积分几何意义、定积分的计算、微积分基本定理、定积分的应用.

根据经验判断，离差平方和方法分的4类比较合理.对这4类知识点进行分析，可得最受重视、次受重视、次不受重视、最不受重视的知识点，具体见表3.

总之，在最受重视的知识点中，中国（理科）新课标没有数列极限概念、导函数概念（在中国1996，2000年大纲中有）、二阶导数，其中正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数的求导公式，只要求会用，即会查导数表.最不受重视的知识点中，中国课标（理科）有“最值”.

3 定性分析

依据课标可以得出一些核心概念、命题的引入或处理方式.如中国课标能体现出：不引入极限具体概念，通过变化率引入导数，通过具体例子介绍微积分基本定理的思想等.

3.1 导数的定义方式

法国2010年理科大纲，高二年级介绍某点处的导数及导函数，但未给出极限的正式定义.当h趋于0时，增长率的极限定义为函数在某点处的导数.解释如下：直线运动中从平均速度过渡到瞬时速度；计算机屏幕上图形表示的连续地带等.注解：涉及到极限词汇或概念时，以理解导数为最终目的，通过例子对它们进行图形上、直观上的理解.

表3 离差平方和方法分成4类的结果

英国课标，f(x )在一点处切线的梯度是f(x)的导数，切线梯度是个极限，此时未正式讲极限，导数解释为变化率.

澳大利亚课标，从平均变化率来引入导数，同时非正式引入极限的计算，平均变化率取极限即是导数，解释其为瞬时速度、斜率、切线、梯度.

加拿大课标，先讲数列极限（求数列的极限值），然后介绍平均变化率、瞬时变化率，研究变化率与极值、斜率与单调性的关系，接着称瞬时变化率为导数.

俄罗斯课标，通过实例直观地给出导数的描述性定义：当增量△x趋于零时，函数 f在x0点的导数是这个函数增量对自变量的增量的比趋于的数值.

中国（理科）课标，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数.

其他国家、地区的课标没有明确说明导数的定义方式.

3.2 导数与极限的顺序

法国2010年大纲，在高中二年级先介绍导数，然后直观感受数列的极限，在高中三年级深入学习数列极限及收敛，介绍函数的极限及渐近线、连续函数，然后再深入介绍导数运算.新加坡课标，提出对极限符号的使用，然后讲导数.中国课标则没有提极限，通过平均变化率来讲导数.英国课标未正式定义极限前，给出导数定义，在进阶课程再学习极限.其它国家、地区先大致了解极限后学习导数、积分.

3.3 “正弦”“余弦”“指数”“对数”函数的导数

新加坡、俄罗斯和中国这3国的课标都要求会使用正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数的导数公式，并不要求会计算、证明.其他国家、地区的课标要么不涉及该部分知识，要么会讲得明白一些，而不是直接给出公式.其中，2010年法国（理科）大纲，介绍定理：在R上存在唯一一个可导函数f(x)，满足f'(x)=f(x)且f(0)=1.通过该定理引入ex，然后再推广到方程)f(x)=kf(x)介绍指数函数.涉及指数函数的导数时，把指数函数在 1处的导数与在0点的极限联系起来.对数函数方面，从指数函数性质或函数方程出发，介绍)ln(x及其导数.加拿大课标，证明余弦函数、正弦函数及指数函数的导数.

3.4 定积分定义及微积分基本定理引入方式不同

法国的情况.法国2010年文科大纲，先介绍区间上连续函数的原函数：f和F是区间I上的函数，如果函数F在区间I上的导数为f，那么F是f在区间I上的原函数.然后是定积分定义：设f在区间[a,b]上连续，且F是f的一个原函数，则数值F(b)-F(a)对于f的任何原函数F都相同，这数值称为 f的由a到b的积分，记为.然后，对函数的符号不变时，用面积对积分做几何解释.其实，该引入方式同时也承认了微积分基本定理.2010年理科大纲，对于区间[a,b]上的正连续函数，作为曲线与x轴之间的面积引入符号.再推广为任意符号函数的定积分.然后，介绍原函数的概念，引入变上限积分的定理：如果f是[a,b]连续且正的函数，F在[a,b]上可微，它的导数是f，则F是在区间[a,b]上连续函数 f的原函数，该定理不要求证明.然后，通过变上限积分来引入微积分基本定理，并未给出正规的证明.

澳大利亚课标，定积分为和式的极限.新加坡课标，用面积引入定积分，未讲微积分中值定理.英国课标，先讲面积估计，用梯形公式逼近计算来引入定积分.俄罗斯课标，通过研究曲边梯形的面积，大和、小和及其极限来引入定积分，还学习微积分基本定理，但不要求证明，重点放在积分的应用上.中国台湾（理科）课标，介绍上、下和及其极限来引入定积分.从高度与面积、速度与距离来理解微积分基本公式.中国香港（应用）课标，定积分是面积和的极限.微积分基本定理的引入方法如同法国2010理科大纲，通过变上限积分引入，只不过中国香港课标给出了微积分基本定理的证明.中国（理科）课标，通过变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系，直观了解微积分基本定理的含义.

4 小结与思考

4.1 小 结

4.1.1 “广度”“深度”“难度”比较

对10个国家、地区的14个课标进行全面的量化分析.如果每个国家、地区挑选基础水平或理科课标（并非数学、物理类的专业课标）中的微积分作为代表，按难度排名，依次是法国（理科）、澳大利亚（基础）、英国AQA、韩国、中国香港（应用）、俄罗斯（基础）、新加坡、中国台湾（理科）、中国（理科）、加拿大.相比于广度排名，俄罗斯（基础）与新加坡顺序有调整.跟深度排名顺序是一致的.此时，法国（理科）课标的微积分内容绝对难度最大，中国（理科）课标的微积分内容难度倒数第2.

4.1.2 认知要求分布比较

首先，比较认知水平分布.各国家、地区课标中A、B、C三层次的认知要求分布情况有差异.比如俄罗斯（基础）、俄罗斯（专业）课标中的B层次要求较多，A层次水平的知识点最少.中国香港（理论）、澳大利亚（基础）课标中A层次要求的知识点少于10%，法国（文科）、新加坡课标的A层次水平知识占40%左右，中国课标A层次知识水平知识占35%，中国香港（应用）中A水平知识近28%.法国（文科）课标C层次水平知识点3%，新加坡、中国台湾（理科）课标C水平知识点近15%，澳大利亚（基础）、澳大利亚（专业）两课标中C层次水平知识占了近50%，因此这两个课标的绝对难度比较大.其次，比较核心模块知识的分布，即函数极限、数列极限、连续、导数、积分、微分方程的分布情况.所有课标都包括导数部分，并且还占了很大的分量.积分部分只有加拿大课标没有涉及.中国香港（理论）、中国香港（应用）、新加坡、中国这4个课标没有涉及数列极限.

4.1.3 聚类分析

用离差平方和法与类平均法两种最常用的聚类分析法，分别对课标、知识点进行聚类分析.首先对课标聚类分析，主要考察哪些课标的微积分设置比较类似.用离差平方和法进行聚类，建议分成2类或4类.分成4类的结果：G1={澳大利亚（专业）、澳大利亚（基础）}，G2={法国（理科）}，G3={新加坡、加拿大、英国、中国香港（理论）、中国香港（应用）}，G4={俄罗斯（基础）、俄罗斯（专业）、中国、中国台湾、法国（文科）、韩国}，其中中国（理科）与中国台湾（理科）微积分内容设置最为类似.其次，按知识点进行聚类分析，即对受重视程度类似的知识点归类.在最受重视的知识点里，中国新课标没有数列极限概念、导函数概念、二阶导数，其中正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数的求导公式只要求会用，即会查导数表.最不受重视的知识点中，中国课标有“最值”.

4.1.4 部分概念和命题的引入方式及处理方式

首先，导数的定义方式有差异.比如，法国课标把增长率的极限定义为导数；英国课标把切线的梯度定义为导数；中国课标通过平均变化率引入导数等.其次，正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数的导数处理方式不同，比如，新加坡、俄罗斯、中国课标只要求会用导数公式，而其他国家、地区则要么不包含这些函数的导数，要么讲得更加详细些.并且，微积分基本定理的引入方式不同，比如法国、中国香港课标通过变上限积分引入微积分基本定理.还有导数与极限的顺序不同，定积分引入方式不同等.

4.2 思 考

很多文献，比如文[27]，对高中开设微积分予以了肯定.那么高中开设微积分应当注意什么？根据研究结论，给出如下建议.

（1）微积分内容设置方面，要注意各知识点之间的衔接性、逻辑推理性.

导数与极限的关系方面，各国家、地区的处理不尽相同.有的详细讲解极限后，讲导数；有的让学生大致了解极限后，学习导数；有的先大致了解极限，然后引入导数的直观概念，接着深化极限内容，最后讲严格定义的导数；中国逾越极限来讲导数.定积分的定义与微积分基本定理的引入方式，各国家、地区也各有特点.但微积分设置方面，一定得注意各知识点之间的衔接性、逻辑推理性，否则非常不利于学生的理解性学习.比如，中国和法国的高中生在学习微积分时，死记硬背占了很大的比重.在法国马赛大学任教很多年的Elaine Pratt教授（私下交流）说：“在学习了有很少证明的高中数学教材后，很多大学生甚至不知道什么是证明.”她强调：数学课程要特别注意知识点之间的衔接，跨度不能太大[28].

（2）要注意一些概念、命题的处理方式.

新加坡、俄罗斯、中国课标都要求会使用正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数的导数公式，并不要求会计算、证明，这样的做法也许会滋生学生“死记硬背”的潜意识.其他国家、地区的课标要么不涉及该部分知识，要么会讲得明白一些，而不是直接给出公式.

马峰认为“高中阶段如能较为系统地学习微积分知识，可为大学的专业打下良好基础.再考虑到理科学生逻辑思维能力相对来说较强，并且以后学习上的需要，可把理科高中微积分设置得稍微严密些”[29].因此，认为中国课程直接给出正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数的导数公式不够合理，微积分内容的选择不能只讲究大、全，应当符合学生认知的要求.鉴于此，该部分知识的处理有待于进一步的探讨.

其实中国台湾课标的做法就很不错，主要涉及多项式的微积分，该内容对学生的基础知识要求不多，且难度也不太大.张奠宙（2012）也认为，“……一般中学生学习微积分的目的在于体验和欣赏一种变量数学的文化，重点放在常量与变量、曲与直、平均速度与瞬时速度、整体与局部等数学思想方法上，展现牛顿那个时代的数学创新风貌，学生所获得的是微积分所带来的一种心灵震撼，体会到初等数学到高等数学的一种思想观念上的升华.这里不追求完整的系统阐述，只用常识来理解极限求导、求积分的论证可以只限于多项式函数……教学时数不会太多，20～30学时也许就够了……”[30]林群用等式、数据来讲解多项式的微积分[31]，降低了微积分的门槛，这对高中微积分的设置来说值得借鉴.

总之，各个国家、地区对高中微积分的设置孰优孰劣？中国微积分到底该如何定位？有待于各方面的考证，进一步的深入探讨.

［参 考 文 献］

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[责任编校：张楠]

中图分类号：G40-059.3

文献标识码：A

文章编号：1004–9894（2016）02–0036–08

收稿日期：2015–12–20

基金项目：2013年教育部人文社会科学研究基金——高中数学课程标准的国际比较研究（13YJA880003）；河南省教师教育课程改革研究项目——高中微积分教学改革的探索与实践（2014-JSJYLX-005）；河南省教师教育课程改革研究项目——多元化学习评价在高校数学类教师教育理论课程的实践与探索（2016-JSJYYB-012）；河南大学科研基金项目——高中微积分课程的国际比较研究（2013YBRW005）；河南大学第十四批校级教学改革项目——《应用多元统计分析》及配套软件课程教学内容改革和课程体系建设（HDXJJG2014-119）

作者简介：张玉环（1983—），女，河南商丘人，河南大学内聘副教授，博士，主要从事数学教育研究．王沛为本文通讯作者．

International Comparisons on Calculus of Mathematics Curriculum in Senior High School——Involving 14 Mathematics Standard in 10 Countries or Regions

ZHANG Yu-huan, WANG Pei
(School of Mathematics and Statistics, Henan University, Henan Kaifeng 475004, China)

Abstract:Through quantitative and qualitative analysis methods, we investigate the international comparisons of calculus for Senior high school, which involves 14 mathematics standard in 10 countries or regions. The quantitative analysis methods include analysis of the breadth, depth, difficulty, cognitive level distribution, module knowledge distribution, and the cluster analysis on curriculum standard and knowledge points. The qualitative analysis methods contain the analysis of how core concepts and propositions are introduced and arranged. Based on the local basic level or science requirements, the difficulty ranks from the most to the least as follows: France (science), Australia (basic), England AQA, South Korea, Hong Kong (application), Russian (basic), Singapore, Taiwan (Science), China (Science), Canada (Japan only has breadth analysis). Clustering analysis is applied on contents to obtain the calculus standard with similar setting and applied to knowledge points to obtain the knowledge points with similar levels of importance. Through comparison, we give some constructive suggestions for curriculum development and teaching reform for calculus for our senior high school.

Key words:calculus curriculum; senior high school; cluster analysis; quantitative analysis; comparison