一道竞赛题引发的探究

蓝云波

(广东省兴宁市第一中学，514500)

○数学探究○

一道竞赛题引发的探究

蓝云波

(广东省兴宁市第一中学，514500)

试题(2014年广东省高中数学联赛题)

矩形ABCD中,AB=2,AD=4,E,F分别在AD,BC上,且AE=1,BF=3.将四边形AEFB沿EF折起,使点B在平面CDEF上的射影H在直线DE上，求二面角A-DE-F的大小(如图1、2).

在笔者所在学校近期组织的一次数学竞赛活动中,选用了上面这道题.从学生的作答反馈来看,正确做对的学生寥若星辰，大都无从下手.这是因为该题无法直接建立空间直角坐标系,较难利用坐标法解答,而利用传统法,则对空间想象能力要求较高,且需作学生比较畏惧的辅助线.在竞赛后的评讲中,笔者先按照下面的解法1(原参考解答)，给学生进行了讲解.

如图4,设BH与EF交于点P，则

上述解法从纯欧氏几何角度出发进行论证，其中涉及学生较少接触的位似知识,还有较为复杂的辅助线的作法,不少学生似懂非懂地听了我的讲解,普遍较难接受.笔者也切身感觉到了学生感受,结合向量知识，于是想从其他角度出发,设法探究出一种学生比较容易接受的解法,经过探究,笔者得到了下面的解法.

整理得x+6y-4z=0.

①

=-x-2y=0,

即x+2y=0.

②

令y=1,则由①②可得x=-2,z=1.所以

因为二面角A-DE-F为钝角,所以二面角A-DE-F的大小为135°.

此法利用了空间向量基底法,使问题能化难为易,整个解答过程的思路非常顺畅,只要按部就班计算即可得出最终的答案,无疑是一种理想的解法.当笔者把此解法与学生分享时,他们都惊呼:原来不用坐标法,且几乎不作辅助线就能使问题得到解决!

解决完问题后,笔者对此进行了反思,为何一说到空间向量方法解答立体几何问题,大家都不约而同地选择坐标法呢?这是因为教师在教学中过于强调题型套路,不重视或缺少对最基本的数学思想的灌输,以致在禁锢了学生思维的同时也禁锢了自己.笔者又通过查阅大量资料,发现也甚少有人使用空间向量基底方法解答立体几何问题，教师普遍也甚少讲解这种方法.造成这种现象的原因,笔者认为其中最根本的原因是缺少对最本质的空间向量基本定理的理解,因为中学阶段空间向量的坐标只是在单位正交基的基础上引入的，如果追根溯源,空间向量基本定理是解决问题的真正源泉.而空间向量基本定理的基向量只要求不共面即可,并没有过多的要求,因此只要合理选取基底,就能解决建系困难的问题.基于此,笔者通过探索,发现空间向量基底法也是解决立体几何问题的一大利器,而这种方法往往普遍被人忽视!这种方法对很多建系较为困难的立体几何问题尤其适合,且具有其一定的优越性.下面再举三例.

例1(2015年安徽高考题)如图5,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°.

(1)求三棱锥P-ABC的体积；

解(1)略.

评注此题是探索性问题,可用传统法和空间向量坐标法解答,但是较为繁琐.而利用空间向量基底法,整个过程非常简洁,具有运算量低,思维含量低的特点,是一种好的方法.

(1)证明:DE⊥平面ACD;

(2)求二面角B-AD-E的大小.

解(1)略.

评注此题原参考解答给出的两种解法都较为繁琐,运算量过大,其中传统方法作的辅助线较多,且有关长度的计算比较复杂,多次使用余弦定理才使问题得到解决.而利用空间向量坐标法要求解两个平面的法向量,对学生而言运算量过大；利用空间向量基底法,其优越性不言而喻,甚至口算都能得出答案.

(1)若SF∥面AEC,求证:CE⊥平面ABE;

(2)在(1)的条件下,求BC与平面CDE所成角的余弦值.

解(1)略.

令y=1,则x=3,z=-1，

=3+0-1=2.

评注此题第(2)问的“在(1)的条件下”其实是多余的,因为平面SCD即为平面CDE,与点E的位置无关.此题也是建系较为困难,而利用空间向量基底法的难点在于平面SCD的法向量的基底表示.这个问题可通过类比空间向量坐标法的法向量的求法得到.

上面几道试题,我们解决了立体几何中的垂直、二面角、直线与平面所成的角问题.事实上,对异面直线所成的角、平行、距离、体积等其他问题,空间向量基底法也同样可以解决,限于篇幅,这里不再赘述.而且通过分析,我们发现,利用空间向量基底法解立体几何问题,首当其冲的问题是如何选择基向量,一般而言,我们要尽量选取具有垂直关系的三个不共面的向量作为基向量.如果没有,只要选取的三个不共面的向量中任意两个向量的长度和夹角均已知也是可以的.其次,是把所要解决的立体几何问题转化为向量问题,通过向量的运算,解决向量问题.最后,再把向量关系翻译成几何关系,使问题得到最终的解决.读者可通过相关的练习,尝试利用空间向量基底法解决立体几何问题,相信会对这种方法有更深的体会与认识.