认识换元的作用 增强换元的意识

解志巍　卜以军

(江苏省建湖高级中学，224700)

认识换元的作用增强换元的意识

解志巍卜以军

(江苏省建湖高级中学，224700)

换元法是高中数学的重要方法,它在研究方程、不等式、函数、数列和三角函数等问题中有着非常广泛的应用．在近几年的高考中出现了许多需要用换元法解决的试题,但由于同学们换元意识不强,加之平时的训练较少,致使不少同学在遇到相关的问题时,或方法不当,或无从下手．因此,在高三复习迎考中提高对换元法的认识,加强用换元法解题的训练显得尤为重要．下面我们以具体的例子说明换元法在解题中的作用和运用方法．

一、通过换元简化运算

分析本题的常规思路是:设直线PA的方程为y=kx，代入椭圆方程后可以求出点P和点A、C的坐标,再将直线AC的方程代入椭圆的方程求出点B的坐标,然后证明直线PA与直线PB的斜率之积等于1．这也是大多数同学的首选方法,但很少有同学能顺利完成．究其原因就是运算太复杂．有没有比较简单的方法呢?其中一种方法就是换元法．

∴直线PB的斜率为

∴k1k=-1,所以PA⊥PB.

二、通过换元把条件和结论联系起来

分析条件的形式使我们代入消元出现困难,如果从平方和等于1的特点联想到三角函数的性质,那么就可以采用三角换元,将目标函数转化为三角函数,从而问题迎刃而解．

x+2y=2cosθ+2sinθ

∴x2+4xy+4y2+x+2y+1=t2+t+1

(2) 如果|x|≤r,那么可设x=rsinθ;如果x2+y2≤r2,那么可设x=ρsinθ,y=ρcosθ,其中0≤ρ≤r．

三、通过换元将所研究对象转化为熟悉的形式

PA2=t2-2at+2a2-2

=(t-a)2+a2-2,

由x>0，知t≥2.

从而将一个无理函数转化为一个最简单的有理函数.至此，问题已不难解决,解法略去．

评注换元法最重要的作用之一就是把一个复杂的函数转化为我们熟悉的简单的函数．

四、通过换元将复杂问题分解为几个简单方程

例5(2012年江苏高考题)已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.

(1)求a和b的值;

(2)设h(x)=f(f(x))-c,其中c∈[-2, 2],求函数y=h(x)的零点个数.

分析对于形如g(f(x))=0的方程,如果设f(x)=t,就将它转化为两个方程:g(t)=0和f(x)=t,将解一个高次方程转化为依次解两个次数较低的方程,这种情形在近几年的高考中经常出现．本题可以将方程h(x)=0分解为两个方程f(t)=c和f(x)=t.

解(1)由f(x)=x3+ax2+bx,得

f′(x)=3x2+2ax+b.

∵1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点,

∴f′(1)=3+2a+b=0,f′(-1)=3-2a+b=0,解得a=0,b=-3．

(2)由(1)，知f(x)=x3-3x,f′(x)=3x2-3，

∴f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数,在(-1,1)上是减函数.

又f(-1)=f(2)=2,

f(-2)=f(1)=-2，

∴f(x)的图象如图2.从图象看出,当x∈[-2,2]时,f(x)∈[-2,2],反之亦然.令f(x)=t,则h(x)=0即f(t)=c.

当c=2时,从图2看出,t=-1或t=2,从而f(x)=-1或f(x)=2；再从图2看出,方程f(x)=2的根为-1和2,方程f(x)=-1有3个不同的实根,且都不同于-1和2,所以h(x)有5个零点.同理当c=-2时h(x)也有5个零点.

当-2

综上所述,当|c|=2时,函数y=h(x)有5 个零点;当|c|<2时,函数y=h(x)有9 个零点．

五、通过换元将多元函数转化为一元函数

例6设a∈R,函数f(x)=lnx-ax.

(1)设F(x)=f(x)+ax2+ax，问F(x)是否存在极值,若存在,请求出极值;若不存在,请说明理由;

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)是函数g(x)=f(x)+ax图象上任意不同的两点,线段AB的中点为C(x0,y0)，直线AB的斜率为k，证明:k>g′(x0).

解(1) 略.

∴要证k>g′(x0),只需证

不妨设0

○解题思路与方法○