由三角函数的图象求其解析式

张国坤

(云南省曲靖市第一中学，655000)

由三角函数的图象求其解析式

张国坤

(云南省曲靖市第一中学，655000)

已知复合三角函数

f(x)=Asin(ωx+φ)+B

(A>0,ω>0,φ∈I)

的图象,求函数f(x)的解析式,这是三角问题中的一个重要模式.

求函数f(x)的解析式,本质就是确定参数ω、φ、A、B的值.函数f(x)的图象的中心在水平线y=B上,并且f(x)max-f(x)min=2A,或者再考虑图象上其它信息(如特殊点),容易确定A、B的值,难点和关键是确定ω、φ的值.为简化叙述,我们仅仅考虑B=0的情形.

假定A已知(譬如由峰点或谷点直接看出),要求f(x)的解析式,必须且只需确定ω、φ的值,这只需知道图象上的两个确定的点. 设观察图象之后获取图象上两个点的坐标P0(x0,y0)和P1(x1,y1)，如何由P0(x0,y0)、P1(x1,y1)求ω、φ,分如下特殊与一般两类情形讨论.

一、P0(x0,y0)、P1(x1,y1)是函数f(x)的图象的峰点、谷点或中心

由于P0(x0,y0)、P1(x1,y1)是f(x)的图象的峰点或谷点或中心,则存在m∈N*使得

y0=0时,P0是f(x)图象的一个中心,P0在递增区间上时ω·x0+φ=2kπ,P0在递减区间上时ω·x0+φ=(2k+1)π.

再结合题目对φ的限制(所在范围)可具体确定k和φ的值.

遇到余弦复合函数

f(x)=Acos(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,φ∈I),可以作类似的分析求解.

例2(2015年全国高考题)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图2所示,则f(x)的单调递减区间为()

解法3利用诱导公式转化为复合正弦函数处理.

f(x)=cos(ωx+φ)

二、P0(x0,y0)、P1(x1,y1)是函数f(x)的图象上两个一般性的点(不一定是峰点或谷点或中心)

对P1(x1,y1)可以作类似的转化.

联立上述相关信息,即可确定ω,φ的值,但需具体问题具体分析处理.

①

②

例4已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象的一部分如图4,求函数f(x)的解析式.

①

又已知点B位于点A所在的递增区间右侧的第一个递减区间上,则

②