浅谈数学教学中的“微型探究”

石　鹏

(江苏省如皋市石庄高级中学，226531)

○教学研究○

浅谈数学教学中的“微型探究”

石鹏

(江苏省如皋市石庄高级中学，226531)

微型探究,是结合目前高中课堂的实际情况,根据“再创造”以及发现学习理论,结合“最近发展区”理论,根据教材的内容以及相关的重点和难点,围绕数学教学中某个具体的数学问题、某个数学小专题、某个具体的题目等等,利用一堂课,或者从一堂课中抽出一段时间,在教师的组织、引导和小组长的带领、协调下,让学生采用独立思考、自我探究与合作交流的方式进行学习.在探究中让学生体验知识形成的过程,获取知识带来的快乐,培养获取知识的能力．

一、对概念的微型探究,有助于学生弄清概念的来龙去脉,深化对概念的理解

在教学中适当运用微型探究教学,可以充分暴露数学概念的形成过程,让学生在体验概念形成过程中进行建构；可以有效突破概念教学的难点,让难点演变为易点和精彩点；可以更好地加深学生对概念的理解,培养对概念应用的意识和能力．

案例1在苏教版《数学》2-1第27页2.1“圆锥曲线”中对椭圆的概念教学时,要求让学生准备两枚图钉、一根细线、一张白纸、一支铅笔,课堂上以组为单位,在组长的带领下,按照教师设计的以下探究活动进行探究,并记录、思考、探讨、交流……

(1) 取适当长度(长度为2a)的细线,在细线的两端分别系上两个图钉上,并将两个图钉按在铺有白纸的桌面上的两点F1,F2处,两点F1,F2距离满足|F1F2|=2c<2a;

(2) 用铅笔一端拉紧细线,并转动一周,笔尖始终在白纸上,得到一个几何图形(椭圆);

(3) 改变细线长度,使2a>2c,重新操作②,得到一个几何图形(椭圆);

(4) 改变细线长度,使2a=2c,重新操作②,得到一个几何图形(线段);

(5) 改变细线长度,使2a<2c,重新操作②,能得到什么几何图形(无轨迹);

(6) 根据上面的各个操作过程,小组内以及小组间讨论、合作、板演、交流，得出椭圆的定义;

(7) 重复操作(2)(3),观察各个椭圆有什么共同的性质(对称性等),总结一般性质；

(8) 改变两点F1,F2距离,使2a>2c,作出的椭圆,小组内以及小组间讨论其扁圆程度与2a和2c有什么内在联系．

评注在上述微型探究教学过程中,椭圆相关知识不是直接灌输给学生,而是通过学生自己动手实践探究获得,这是一个主动建构的过程．学生亲身经历椭圆相关知识的形成过程,获取知识的情绪是高昂的,同时以学生自己的实践作为基础,探究的过程是有阶梯的,这样学生探究生成的知识是不易被忘记的．学生在通过对问题讨论合作交流基础上,不仅获取知识,而且掌握了获取知识的一种方法,增强了学生分析问题与解决问题的能力,促进了学生的知能结构,进一步完善和提高了学生的学习能力．

二、对定理、公式进行微型探索,有助于学生体验过程,挖掘思维潜能

在数学教学中,运用微型探究的教学方法,让学生对定理、公式进行自主探究,充分满足学生的心理发展的需要,使定理、公式的出现更符合学生的建构过程,更符合学生的认知规律,更好地为定理、公式找到坚实的附着点和生长点．

案例2苏教版《数学》2-1第30页2.2.1的“椭圆的标准方程”的教学中,在推导椭圆的标准方程时,由定义得如下方程：

=2a.

①

在化简该式时，可以让学生讨论，形成以下四种探究思路.

探究1两边直接平方并化简，得

=2a2-(x2+c2+y2)，

再平方后化简，得

-c2x2=a4-a2(x2+y2+c2).

移项化简，得

(a2-c2)x2+a2y2=a4-a2c2.

探究2(课本中给出的)

移项后平方，得

②

两边再平方,得 a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得

(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).

也可在② 两边同时除以a，得

③

④

虽然以上两个探究思路清晰,结果简洁,但运算繁冗，怎么办?

探究3分子有理化．对① 进行分子有理化,得

=2a.

⑤

联立①,⑤，得

平方即得④ 式.

探究4利用高中数列知识

由|PF1|+|PF2|=2a,知|PF1|,a,|PF2|成等差数列．

可设|PF1|=a-d,|PF2|=a+d,则

(x-c)2+y2=(a-d)2,

⑥

(x+c)2+y2=(a+d)2.

⑦

在我们对定理、公式的探究的过程中,学生需要选择不同的探究途径,这些探究途径可以由教师制定,也可以在教师指导下由学生通过小组内或小组间讨论来制定．由于不同的探究途径带来的算法的策略也不一样,而算法的策略的选择对学生来说至关重要,它不仅仅要求学生有良好的知识基础、计算基础、计算技能、学习经验等各方面的基本功,还需要有良好的思维品质．学生在探究推导定理、公式的过程中,教师需要扮演组织者、指导者与合作者的三重身份.教师应留足让学生自主探究的时间和空间,激励学生尽可能独立地发现问题、提出问题和解决问题,激励学生通过讨论合作交流解决一些有点难度和深度的问题.对学生合乎情理的探究、推导、推测、演练等,教师不应干扰和包办,但要在探究过程的节点处引领学生把控探究的正确的方向．对定理、公式等的微型探究,最主要就是让学生根据数学史,沿着前人对数学知识的发现和推演的过程进行探究.体验定理、公式探究过程,享受探究过程带来的乐趣,让学生在思考和探究定理、公式的过程中,掌握探究的不同途径及其方法,培养发现问题、分析问题和解决问题的能力,培养学生创新思维能力．

三、对习题的局部探究,有助于学生提高解题能力,享受解题乐趣

“问题是数学的心脏”(哈尔莫斯),学习数学的一个重要方面就是学会解题．由于高考“指挥棒”的存在,激发学生对解题的兴趣,提高解题教学的效率,在高考中取得优异的成绩,是一线教师不可回避的一个话题．平时教学,让教师切实感觉到:在习题教学过程中实施适当微型探究,对数学问题本质属性进一步挖掘,对一道题不同解法的探究,几道相似题的多解合一的探究,以及一些题目各种变式的探究,不仅仅可以揭示数学知识间的内在本质关系,构建数学知识的有机整体,而且能实现高中数学知识融会贯通,提高学生解题能力,培养学生多方面的思维品质．

许多学生拿到题目感到无从下手,要求S∆ABC的最大值,一般考虑用一个变量来表示S∆ABC,然后再利用函数知识处理,但对学生来说,即使写出表达式,其运算相当繁琐．

探究1学生会发现这是地地道道的课本改编题.原题是(苏教版选修2-1第二章“圆锥曲线和方程”第63页例2)求平面内到两定点A,B的距离之比等于2的动点M的轨迹方程．至此,选择坐标化的思路一目了然．

探究2见识比较广的学生会发现这道题目源于历史上有名的阿波罗尼圆:平面内到两定点的距离之比为常数(大于0且不为1)的点的轨迹是圆,这个圆称为阿波罗尼圆．而阿波罗尼圆在近十年的江苏高考中,出现12道考题,比如2009年的江苏高考的第18题,2013年江苏高考的第17题．

评注解析几何中的定点和比值问题中,均或多或少与阿波罗尼圆有点关系.解析几何对学生来说有些解题思路比较难找,有些题目即使思路找到了,运算又非常复杂.这主要由于学生对解析几何的基本思想不理解,这就要求教师在引领学生探究过程中,强化运动的观点,强化平面几何问题解析法证明．让学生领悟到用代数方法解决几何问题是解析几何的核心思想方法．历史上的数学名题给数学微型探究提供了良好的资源和思路来源,对于那些需要通过重复大量训练才能达到目标数学题目,数学历史名题可以将这种枯燥无味的过程,演变得富有趣味和探索意义,极大地调动学生的学习数学积极性,提高学生学习的兴趣．对于学生来说,数学史上的名题经过很长时间的实践和检验,是真实的、有趣的.同时，历史名题的提出也是非常自然流畅的,它要么直接给出相应数学内容的现实的背景,要么揭示了实质性的数学思想方法,这对学生理解数学内容和方法非常重要,对提高学生的解题能力和思维品质也是非常有益的．