赋值法解题探究

2016-07-06王翠翠

读写算·基础教育研究 2016年26期

王翠翠

【摘要】在实际的考试过程中，由于数学标准化试题中选择题和填空题所占的比例非常高，而这两种题型有其特殊性，就是在有些问题的推理中不要求有严密的证明，而只要能借助于一些特殊方法特别是赋予确定的特殊值（如0，1，-1等），或是取变量赋变量，从而写出正确结果即可，这种迅速、准确、简捷的解题方法就是所谓的赋值法。下面，笔者根据学习及实践经验，对赋值法在高中数学中的应用做一简单的探究。

【关键词】赋值法解题

一、赋值法在函数中的应用

函数在数学中所占的比重非常大，题型变化也较为灵活，利用赋值法解函数，可以使一些复杂问题简单化。

1、当解析式中f（x）和f（-x）同时出现类型习题，常常用-x赋值于x

例如求解析式：若f（x）+2f（-x）=-x，则f（-x）=____________

分析：-x赋f（x）+2f（-x）=-x，中的x。于是有

由得

2、解析式中若出现f（x+y）和f（x），f（y），可令x=y=0。

例如：证明问题：设函数的定义域为R，当x>0时，且对任意x，yR都有求证：。

分析与解答：令x=y=0，则f（0+0）=f（0）f（0），即f（0）=f（0）2，解得f（0）=0或f（0）=1假设f（0）=0则对任意xR有f（x）=f（0+x）=f（0）f（x）=0这与已知矛盾。故f（0）=1

3、根据从一般到特殊的原则，赋值于特殊函数法

例如求解关于对称问题：设函数y=f（x）定义在R上，则函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象关于_______________对称。

A.直线y =0 B.直线x =0

C.直线y =1 D.直线x =1

分析：令f（x）=x2，则f（x-1）=（x-1）2，f（1-x）=（x-1）2

此时，两函数的图象重合，且关于直线x=1对称。所以选（D）

4、在解决函数求值时，熟练掌握函数的性质，根据题意及条件中函数的性质，特殊变量赋值于变量，这样解题时会有事半功倍的效果。

例如：已知定义在R上的二次函数的值域为且g（x）=（x+2）f（x）求f（2）=____________________

分析：由已知，令x=-2，则有g（-2）=0从而有4-2b+c=0得到关于b，c的另一式子，从而可解。

5、当遇到变量a∈R或x，赋值a或x于特殊值0，会使整个问题迎刃而解。

例如、当a∈R时，关于x，y的方程x2+y2+x+y-a（x+2y+1）=0表示的曲线是轴对称图形，则它们的公共对称轴方程是

（）。

A. x+2y+1=0 B. 4x+2y+1=0

C. 4x-2y+1=0 D. 2x-4y+1=0

略解：既然上述对称轴对一切a∈R都成立，不妨令a=0，则方程变为x2+y2+x+y=0，即，此曲线为圆，圆心坐标为，只适合于C，故答案为C。

又例如、当x时函数f（x）=（x+a）3满足f（x+1）=-f（1-x），则f（2）+f（-3）=__________。

略解：因为f（x+1）=-f（1-x）对一切x∈R都成立，当然可以把x+1和1-x分別代入函数关系式得：（x+1+a）3=（1-x+a）3，化简后得到a的值。然而既然f（x+1）=-f（1-x）对一切x∈R都成立，不妨令x=0，可得f（1）=0，代入原函数关系可得a=-1，即f（x）=（x-1）3，故f（2）+f（-3）=-63。

6、判断函数的奇偶性也可以利用赋值法

例如设f（x）的定义域为R，且f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），求证：f（0）≠0时，f（x）是偶函数。

分析：函数奇、偶性的判断，根据定义须在关于原点对称的定义域中来判断f（-x）与f（x）或-f（x）的关系。

证法：令x=y=0，则f（0）=1，赋x=0，y=x，则有：f（x）+f（-x）=2f（0）f（x），即f（-x）=f（x），所以f（x）为偶函数。

二、赋值法在数列中的应用

根据具体数列的性质，合理选取特殊值，能简化解题过程，快而准确的得出答案。

例1、有两个等差数列且，求。

略解：令n=10，则有

例2、△ABC中，角A，B，C依次成等差数列，则a+c与2b的大小是（）

A. a+c<2b B. a+c>2b

C. a+c≥2b D. a+c≤2b

略解：题中没有给定三角形的形状，不妨令A=B=C=60°，则可排除A、B，再取角A，B，C分别为30°，60°，90°，可排除C，故答案为D。