高等数学课堂教学融入数学建模思想的研究与实践

李宗秀（黑龙江财经学院基础部，哈尔滨150025）



高等数学课堂教学融入数学建模思想的研究与实践

李宗秀
（黑龙江财经学院基础部，哈尔滨150025）

摘要：高等数学课程是应用型本科院校的公共基础必修课程，它的学习思想与方法直接影响学生后续课程的学习效果。为了提高高等数学课程的教学效果，试将高等数学课堂教学融入数学建模思想，通过具体应用实例阐明应用高等数学知识怎样去解决实际问题，强化学生学以致用的能力，培养了学生的学习兴趣和创新能力。

关键词：高等数学；数学建模；均匀货币流；平均变化率；商业贷款；公积金贷款

1 高等数学课堂教学现状分析

高等数学是理论性强、逻辑性严密、计算烦琐、定理证明推导严谨的一门基础学科［1］。应用型本科院校高等数学课时少、教学容量大，为在有限的课时内完成教学大纲所要求，不得不对授课内容蜻蜓点水，导致学生理解不够深刻。学生学习目的不够明确，很多学生认为学习高等数学对后续课程作用不大，因此学习兴趣不浓。

2 将数学建模思想融入课堂教学的意义

大学生数学建模竞赛［2］最早于1994年国家教委倡导，我院是从2001年开始组织学生参加大学生数学建模竞赛的，为了让更多学生受益于数学建模，将数学建模思想渗入课堂教学，是一个非常值得探索的试验。

3 高等数学课堂教学中的数学模型案例

引入数学建模思想，可以最大限度调动学习积极性。适当引入与之对应的应用实例，弥补传统教学不足。

案例：均匀货币流的总价值与投资回收期的计算。

若初始年（t=0）将资金A0一次性存入银行，年利率为r，则这笔资金以连续复利方式结算的t年未来值即为：At=A0ert。但如果采用的是均匀货币流存款方式，即货币像水流一样以定常流量源源不断地流入银行（类似于“零存整取”），则计算t年末的资金总价值就可以采用定积分的方法。现用微元法分析如下：设T年内有一均匀货币流，年流量为a，则在［t,t+dt］时间段内的货币流量为adt，于是可得该货币流T年末总价值的微元为：dAT=adt·er(T-t)=aerT·e-rtdt。从而该货币流年末的总价值为：

由式（B），投资回收期为：

4 用数学建模思想解决实际问题

例：贷款购房——函数的应用。

在高等数学教学中，介绍数学建模思想方法，使学生能够从实际问题中筛选出有用的数据和信息，建立数学模型，让学生真实地感觉到数学知识在实际中的应用。

贷款买房已成为新的购房方式，日渐盛行。以100万元20年的房贷为例，建立数学模型，推导出月均还款总额、还款总额和利息负担总和的公式。

4.1 问题提出

某人购房向银行贷款100万元，银行年利率为0.49%，借款期限为20年，求月均还款金额、还款总额和20年内共计支付多少利息。

4.2 问题分析

2015年最新发布个人住房贷款利率如表1所示。

表1 个人住房贷款利率表Tab.1 Interest table of individual housing loan

贷款额A=100万元，贷款期限m=20年，年利率R=49%（商业贷款且贷款期限5年以上、公积金贷款且贷款期限5年以上)。分别计算两种情况下月均还款金额、还款总额和20年内共计支付多少利息。

4.3 模型假设

a. 20年内银行利率保持不变。b. 20年贷款人始终具有还款能力，不提前还清贷款。c.还款方式是每月等额还款。d.假设银行贷给该人的本金是在某个月的20号一次到位，在本金到位后的下个月20号开始还款。

4.4 参数说明

A：客户向银行贷款的本金。B：客户平均每期应还的本金。C：客户应向银行还款的总额。D：客户的利息负担总和。r：客户向银行贷款的月利率。R：客户向银行贷款的年利率。m：贷款期。n：客户总的还款期数。

4.5 模型的建立与求解

4.5.1 模型的建立

根据已知各参数有以下关系n=12m；C- A=D；A=nB；R=12r。x（元）是月均还款总额；ai（i=1,2,…n）是客户在第i期20号还款前还欠银行的金额；bi（i=1, 2,…n）是客户在第i期20号还钱后欠银行的金额。

根据上面的分析，有：

第1期还款后欠银行的金额：b1=a1- x=A(1+r)- x。

第2期还款后欠银行的金额：

b2=b1(1+r)- x=A(1+r)- x……

第i期还款后欠银行的金额：

bi=bi-1(1+r)- x=A(1+r)i- x(1+r)i-1-…- x(1+r)x。

第n期还款后欠银行的金额：

因为第n期还款后，欠款还清，也就是说：bn=0，即解方程得：A (1+1)n- x［（1+r）n-1-…（1+r）- 1］=0。

这就是月均还款总额的公式。总的还款总额为：

利息负担总和等于：

4.5.2 模型的求解

某人购房向银行贷款100万元，银行年利率为0.49%，借款期限为20年，求每月应还款金额、还款总额和20年内共计支付多少利息。

情形1：商业贷款。

情形2：公积金贷款。

表2 商业贷款与公积金贷款的比较表Tab.2 Comparative table of commercial loan and housing provident fund loan

从付息角度看，公积金贷款要比商业贷款利息低很多，总额差距很大。但实际生活中还应考虑国家政策、开发商情况等。

参考文献：

［1］同济大学数学教研室.高等数学(第五版)［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［2］叶其孝.大学生数学建模竞赛辅导教材（二）［M］.长沙：湖南教育出版社，1994.

Study on the integration of mathematical modeling idea into classroom teaching of higher mathematics and its practice

LI Zong- xiu
(Foundation Department of Heilongjiang Universityof Finance and Economics, Harbin 150025, China)

Abstract:Higher mathematics is compulsory public basic course of application- oriented colleges, and its learning ideas and methods directly affect learning outcomes of students' follow- up courses. In order to improve the teaching effect of higher mathematics courses, this paper tried to integrate higher mathematical classroom teaching into the idea of mathematical modeling, clarified how to apply knowledge of higher mathematics to solve practical problems, strengthened students' ability toapply their knowledge and cultivated students' interest and innovation.

Key words:Higher mathematics; Mathematical modeling; Uniform currency flow; The average rate of change; Commercial loans; Housingprovident fund loans

中图分类号：O13- 4

文献标志码：A

文章编号：1674- 8646（2016）09- 0052- 03

收稿日期：2016- 03- 29

基金项目：黑龙江省教育教改项目（JG2014010930）；黑龙江省教育科学规划课题（GJD1215031）；黑龙江财经学院院级课题（2016YB05)