巧用向量结论妙解最值问题

◇　江西　曾　敏

巧用向量结论妙解最值问题

◇江西曾敏

平面向量数量积是高考的重、难点．教学中笔者发现结合平面向量数量积的一个关系式,再利用向量加、减法的三角形法则,可得到如下结论.

图1

结论在△ABC中,M为BC的中点,则

利用上面的结论解决向量最值问题时,往往会收到事半功倍的效果．

图2

依题意,可构造矩形AB1PB2(如图2),连接AP与B1B2交于点M.利用平面向量结论易知:在△OAP中,

在△OB1B2中,

图3

2(|PA|2+|PB|2)=|AB|2+4|PO|2,

因为|OC|-r≤|PO|≤|OC|+r，所以|PO|∈[3,7].所以当 |PO|=3时,

图4

当P在正方体顶点时,

向量中的最值与范围问题是向量的一大亮点,解决好此类问题,不仅可以提高学生分析问题和解决问题的能力,而且可以提高数学应用能力和综合能力．

(作者单位：江西师大附中)