在探究中积累数学建模活动经验

李海东 印建凤

数学建模是学生用数学工具解决实际问题的重要手段之一。“就许多小学数学内容而言，本身就是一种数学模型……我们每堂课都在建立数学模型。”（张奠宙语）帮助学生积累数学活动经验，是《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的“四基”要求之一。因此，教师不仅要引导学生构建数学模型，还要帮助学生不断积累数学建模活动经验。所谓数学建模活动经验，就是学生从已有生活经验、知识经验和活动经验出发，把实际问题抽象成数学模型过程中所形成的经验。教学时，教师要根据学生年龄特点，恰当应用行为主义学习理论中的接近原理、重复原理和强化原理，努力引导学生充分经历观察、实验、猜测、计算、推理和验证等探究活动过程，帮助学生在知识形成过程中积累数学建模活动经验。

一、尝试比较中接近建模经验

心理学研究表明，学生的数学学习都是基于他们自身经验、用自己的独特思维方式进行意义建构的过程。《义务教育数学课程标准（2011版）》认为“有效的数学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有知识经验的基础上”，并且要求教师“重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型的过程”。因此，教师可以结合教学内容，根据接近原理（刺激情境与合乎要求的反应一起出现），精心创设学生熟悉的、有意义的问题情境，激活学生已有的知识经验和数学建模活动经验，为学生形成新的建模经验做好知识准备和经验准备。

教师先出示一个钉子板，告诉学生钉子板上相邻两个钉子之间相距1厘米，然后在钉子板上用毛线围一个规则的多边形（如梯形），引导学生尝试说出多边形的面积。有的学生开始计算多边形的面积，有的学生开始用公式或割补法计算多边形的面积，有的学生有点懵懂无知……当他们还没有结果时，教师随手写出一个数字，问学生答案是否正确。等了一会儿，才有个别速度快的学生认可了教师的答案。多数学生很惊讶，有个别学生认为那个图形是老师围的，也许老师事先计算过。于是，教师现场指定学生在钉子板上围一个任意多边形，并且告诉学生：为了研究方便，可以用点阵图代替钉子板围多边形。教师随即把学生所围图形画到点阵图上（图1），再引导学生自主探究它的面积，自己故意等会儿说出答案。

学生们好不容易才得到结果，但教师的答案不但迅速而且正确，他们的疑问随即产生——老师怎么这么快？难道老师有秘密“武器”？

学生曾有过用点阵图探究不同多边形之间面积关系的经历，并积累了一些用点阵图建模的经验。创设师生比赛的情境，能有效激活学生已有的知识经验和建模经验；比较师生的面积结果后，学生的好奇心就会发生作用，就能有效激发他们的探究欲望。因此，引导学生在尝试比较中发现真实、可靠的问题背景，有助于把学生的思维接近要建构的数学模型，从而为学生积累新的建模经验奠定有效基础。

二、猜测验证中形成建模经验

根据直觉感知进行猜测和验证是学生最常用的探究方法之一。直觉感知越丰富，学生所形成的表象越具体，就越容易构建数学模型。“数学首先是猜想，然后才是证实。”学生的合理猜想都是他们积极思维的结果，他们为了验证自己的猜想是否正确，往往会积极思维、主动探究。因此，教师要有的放矢地引导学生在猜想和验证中经历知识的形成过程，促使学生形成新的建模经验。

教师指着师生竞赛的图形引导学生说说想研究的内容时，有的想探究教师知道多边形面积的“秘密”，有的想探究钉子板上多边形的面积与什么有关……猜测影响多边形面积的因素时，有的学生根据直觉认为多边形面积和钉子总数有关，有的学生根据直觉认为多边形面积和它边上的钉子数有关，有的学生根据直觉认为多边形面积和它内部的钉子数有关。教师出示四个图形（如图2）后，学生通过直接根据多边形面积公式计算（多边形①②④）

或者把图形割补计算（多边形③），或者用计数等方法得出它们的面积分别是2平方厘米、3平方厘米、3.5平方厘米和4平方厘米。师生一起数出多边形边上的钉子数分别是4枚、6枚、7枚和8枚时，有些眼疾手快的学生边数边猜测多边形面积和它边上的钉子数之间可能有联系。经过讨论和交流，大家发现了多边形的面积=多边形边上的钉子数÷2，如果用n表示多边形边上钉子数，用S表示多边形面积，它们的关系就是S=n÷2。初步构建模型水到渠成。应用模型时，教师要求学生各自在点阵图中画图验证，学生发现所构建的模型只适用于某些图形（如图3中的多边形③），但对图3中其它多边形不适用。反思观察图2时，

学生发现图中的多边形内都只有一枚钉子，图3中“模型失灵”的多边形内至少有2枚钉子，而多边形③内只有一枚钉子，因此，模型适用。学生由此想到了所构建模型的前提条件——多边形内的钉子数只有1枚。即a=1时，S=n÷2（a表示多边形内的钉子数）。

在猜测验证的探究过程中，学生不但构建了一个结论性模型S=n÷2，而且构建了一个探究的过程性模型——用猜想验证进行探究的活动程序和方法模型，并在应用模型的过程中发现了所构建模型的局限性。这样，学生就初步形成了一个新的建模经验——应用猜测验证的方法进行探究有助于构建数学模型，但构建的数学模型可能会有一定的前提条件。

三、类比归纳中提升建模经验

法国数学家拉普拉斯认为，“在数学里发现真理的工具也是归纳和类比。”归纳推理是从个别到一般、从实验事实到理论的一种推理方法；类比推理是由特殊到特殊的一种推理方法。这两种推理方法都是学生构建数学模型的重要方法。教师可以根据教学需要，充分应用重复原理（要使学生学习进步并且长期保持，刺激和它的反应需要重复），引导学生在类比和归纳中“重复”经历模型的构建过程，促进学生提升数学建模活动经验。

学生观察图3中多边形内有2枚钉子的图形后，通过计算发现：多边形④边上的枚子数是8，面积是5平方厘米；多边形⑤边上的枚子数是4，面积是3平方厘米；多边形⑥边上的枚子数是3，面积是2.5平方厘米。学生根据刚构建的过程性模型和结论性模型很快类推出a=2时，S=（n+2）÷2或S=n÷2+1。师生在讨论中把它们统一成“a=2时，S=n÷2+1”。分组探究多边形内有3枚、4枚和5枚钉子，它们的面积与边上钉子数的关系时，学生很快通过类比发现：a=3时，S=n÷2+2；a=4时，S=n÷2+3；a=5时，S=n÷2+4。随后，学生又类比出：a=6时，S=n÷2+5；a=10时，S=n÷2+9；a=100时，S=n÷2+99；a=0时，S=n÷2-1。最终，学生借助归纳，构建出统一的数学模型——S=n÷2+a-1。

构建“S=n÷2+1”的模型时，学生形成的建模经验是多边形的面积不仅和它边上的钉子数有关，而且与它内部的钉子数也有关；类比构建新模型的过程是学生“重复”建模的过程，也是学生“重复”形成建模经验的过程。随着建模经验的逐渐增多，学生最终借助归纳构建了统一的数学模型S=n÷2+a-1，从而有效提升了建模活动经验——构建的模型形式似乎不同，但本质一致。

四、反思内化中强化建模经验

学生不断形成的数学建模经验具有个体性特点，只有他们积极对自己的个体体验进行反思和交流才能有效内化和积累数学活动经验。因此，教师要恰当应用强化原理（在新的行为学习后出现令人满意的事态伴随其后，学习效果会增强），为学生留足充分反思、交流、总结和拓展的时间，让学生在反思知识的形成过程后及时交流，并适当评价，促进学生的思维发生碰撞，帮助学生把零散、未经提炼的个体活动体验在内化中有效实现条理化和显性化，达到帮助学生强化建模活动经验的目的。

总结时，教师先引导学生应用所构建的模型解决图1中多边形面积的问题（5平方厘米），提高学生学以致用的能力，并适当评价，接着用课件介绍“皮克定理”，鼓励学生课后通过上网或阅读继续探究，再引导学生回顾建模过程，交流学习收获。学生回顾自己从简单问题入手，通过画、数、算等方法在探究中构建模型、统一模型的过程，有助于他们在自主反思和回顾交流中，把自己探究过程中所形成的建模经验数学化，促使学生在个体经验内化过程中有效强化。

总之，学生建模活动经验的积累，是他们不断经历和体验各种数学活动过程的结果，是他们不断“做”数学和“思考”数学的结果。教师有的放矢地创设与预期教学目标接近的情境，引导学生在探究中充分经历建模过程、形成建模经验，并且有的放矢地促进学生对形成的经验进行必要“重复”、反思和内化，有助于学生积累建模活动经验。