行“模”道 悟“模”性

王素旦

数学的生命力在于它能有效地解决现实世界向我们提出的各种问题，而数学模型正是联系数学与现实世界的桥梁。引导学生建构数学模型的过程，就是数学化的过程，也是思维训练的过程，这将有助于提高他们发现数学、“创造”数学、运用数学的能力和数学素养。

“模型思想”作为十大核心概念之一的重要地位，以及基于建模教学的现实价值，建模教学成为研究的热点问题。建模教学不仅仅是教学的新授环节，还应该有整体的视野、儿童的视角、系统的视域，让学生模型建立的过程行之有“道”。

一般而言建立数学模型的新授课包含两类，即全新型新授课和延伸型新授课两类。所谓全新型新授课是指在学生数学认知结构中，首次学习的全新知识。如“9加几”中的“凑十法”、乘法的初步认识、商的性质（变与不变）、长方形面积计算公式、单式统计表（图）等。学生学习这类知识，往往是以自己的生活经验（也需要学习经验）为基础，通过观察、实验、比较、推理和交流，构建新的数学模型。所谓延伸型的新授课是指在学生数学认知结构中，新知识和已有相关知识联系紧密。如“8加几”中的“凑十法、分数基本性质、正方形和平行四边形面积计算公式、复式统计表（图）等。学生学习这类知识，往往是以已有相关知识（也需要生活经验和学习经验）为基础，通过猜想、验证、推理和交流，实现知识的“同化”或“顺应”，构建新的数学模型。

结合新课程提出的新授课的教学模式和对于教材解读，笔者认为对于教学全新型新授课教学往往需要经历四个环节：“一导模”“二建模” “三用模” “四化模”

所谓“导模”，是指从教材创设的情境问题中导出数学问题，从多个数学问题中选择本课的学习主题，并及时将数学问题转化为数学算式。学生往往通过观察与分析教材上的图和式，并与已有知识进行对比、质疑，才能“导”出数学问题和学习主题。所谓“建模”是指剖析问题抽象与概括及建模，在多数情况下，学生通过对数学算式（图形）的分析与综合、比较与分类，找出具有共性的特征（即本质特征），运用归纳推理（或不完全归纳推理），构建数学模型。所谓“用模”，是指运用刚刚构建的数学模型，以演绎推理的思维方式去解释并解决问题，并从中验证和完善数学模型。所谓“化模”，是指加深或延伸与主题有关的知识，学生是运用类比推理完成学习任务的。这要根据学情而灵活安排，不必每节新授课都要“化模”。

小学生有限的生活经验、学习经验和数学认知结构决定他们在数学建模的过程中，往往要经历“由模糊到清晰”“由繁琐到简约”“由粗放到精确”“由具体到抽象”的认知过程，不可能一蹴而就，这需要教师给他们有较多的思考时空和耐心的引导、等待，以使他们的“个性化建模”顺利地过渡到“规范化建模”。

结合《9加几》一课阐述 “一导模”“二建模” “三用模” “四化模” 的四个教学环节。

（一）导模——从情境问题中导出学习主题

在导模环节，从问题情境中提炼学习主题可分为两种情形，一种单一型问题情境图（如《9加几》苏教版教材）另一种为开放型问题情景图（如《9加几》人教版教材）。作如下详细阐述。

1.提出数学问题直奔本课主题

出示手偶“小猴灵灵”，教师表演并配音：小朋友，我是小猴灵灵，今天我来和大家一起学习，好吗？我们先来做一个游戏：请小朋友从袋子里先取9个桃（实物图），再从袋子里随便取出一些桃。你能提出什么问题？（一共取了几个桃）会列算式吗？

根据学生回答板书：9+1、9+2、9+3、9+4、9+5、9+6、9+7、9+8、9+9、9+10。（有顺序地排成一竖排）

小猴灵灵：大家列出的算式真多，这些算式有什么共同的特点呢？（揭示课题：9加几）

1.要适时地引导学生选择用加法计算的问题。

2.在加法计算的问题中，暂且搁置已经学习过（或还未学习）的诸如列式为“6+3”“8+7”……问题。

3.直奔本课的主题“9+4”“9+3”……问题。

当然也可以班本化实施本节课的教学，整合学生潜在经验，激活潜在经验，设计9加几的学习单。

找一找：你能找一找我们生活中的9加几的问题吗？（可以写一写或者画一画）

我找到的生活中的9加几的问题是：

（二）建模——剖析问题，抽象与概括及建立模型

《义务教育课程标准》（2011）版指出：“要从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型，并进行解释与应用的过程……”建构主义认为，数学学习是学习者进行主动建构的过程。因此建模教学是对接学生已有经验，不断抽象剥离概括构建数学模型的过程。

案例A：

1.复习1O的组成，或lO以内口算，初步感知为“凑十法”作铺垫

师：刚才口算的这些题，你发现有什么共同的地方？

生：都是10加几的。

生：得数都是十几。

师：计算这些题，你为什么这么快？

生：都是10加几，就能很快算出得数是十几。

2.计算：9+4=□。学生可能沿用“数数法”和“接数法”等算法。应及时引导学生学习“凑十法”，要求学生“摆一摆”学具，怎样先“凑成10”。用左边算式表示思考过程，请学生用自己的话“说一说”：

生1：“我看到9，就想到1，因为1和9合起来是l0，我把4分成1和3，9加1等于10，10加3等于13。”

生2：“看到9，想到1，把4分成1和3，9加l等于1O，1O再加3等于l3。”（简单了些）……（算法的第一次抽象）

3.计算：9+3=□。同样要学生说一说是怎样计算的。

4.小结：在经过多个“9加几”算式的计算后，引导学生比较其异同，找出算式的相同点（一个加数是9，即本质特征）抽象概括经历，不完全归纳出“凑十法”的法则：“看大数拆小数，凑成十，再加几。”……（算法的第二次抽象）

案例B：

或者用大问题引发思考

想一想：怎样解决这个问题？

我是这样列式的：

我这样思考：

记一记：我的方法是（画一画、圈一圈、连一连、写一写……）

（三）用模——用数学模型解释并解决问题（经历具体化，演绎推理）

“凑十法”的法则是不是通用，需要学生在同类题目的计算中进行验证。

1.观察与判断：9+6=□，9+8=□（属“9加几”，用“凑十法”）

2.计算与说理：9+6=15，9+8=17

用模过程就是需要把学习中建立的已有模型在解决问题的过程中运用巩固，从而使得新建的数学模型不断得以完善，同时在运用的过程中深化对数学模型的理解，形成基本的运用能力和问题解决能力。

（四）化模——加深或延伸与主题相关知识（类比推理）

模仿是小学生学习现象中的常见模式。简单化的用模，易于造成思维定式，成为数学思维的桎梏。因此在化模中必须活化模型，实现简单知识记忆应用走向问题深层剖析的思维提升。

1.“看大数，拆小数，凑成十，再加几”的法则。（“8加几”“7加几”“6加几”……时出现）

2.探索“9加几”的规律：9+1=10，9+2=11……9+9=18。即9+n=10+（n-1）

3.探索“十几减9”的规律：n-9=（n-10）+1。（2、3可视情况而定）

学习“凑十法”的计算法则，为之后学习“8加几”“7加几”……以至用“凑整”（加法或乘法）方法的简便计算作了良好的铺垫，也使学生感受了数学的无穷魅力。

基于建模思想下教学过程突出了基本数学模型的构建，并深刻体验运用数学模型，为后续的教学打下伏笔，以期能驾轻就熟。同时通过四个环节的层层推进，在学生对“凑十法”透彻认识的同时，历经分析综合抽象概括等思维活动。

此外，在建模教学实施过程中需要关注建模教学的几个特性：一是注重知识的渐进性，不断完善丰满构建学习模型。二是尊重学生的差异性，最终能利用差异，发展差异。三是必须体现过程的结构性，在学习中不断主动地进行模型的构建、感悟、运用。