商场打折中的数学

山东省新泰市泉沟镇初级中学 徐 静

一、研究背景

在节日中，我们经常看到商场中会做一些优惠促销活动来吸引顾客，提高营业额。对我来说什么生活中处处充满数学。行走在繁华的大街上，随处可见商家打出的“满500送500”，“满300送300”的促销招牌。商场里人山人海，抢购成风。此情此景，好像马上就要下暴风雪，不能出门了一样。实际上商家心里早打好了如意算盘。俗话说：只有买亏，没有卖亏，“满500送500元券”只是商家的一种促销手段，其中暗藏着数学问题。

人们通常追求物美价廉，希望用较少的价格买一件称心如意的商品，在社会竞争如此激烈的今天，许多商家为了提高品牌知名度，每每在节日里、周末等，人们空闲的时间打出打折甩卖的招牌，那么，面对众多的优惠活动，我们应该做何选择呢？

一些大的商城里大部分的商品都会打折，这也是吸引顾客的一个重要因素。现在还流行办理打折卡，或者给一些代金卷，让顾客觉得物有所值。打折有很多方式但主要都是围绕着买卖中的让利、减价，是卖方给买方的价格优惠，打折也是指经营者在销售商品时通常销售自有品牌和周转快的商品为主，限定销售品种，并以有限的经营面积、店铺装修简单、有限的服务和低廉的经营成本，向消费者提供“物有所值”的商品。说到底，打折就是商家促进销售的一种手段，是商品能有效销售出的一种方法。在应用题中，你或许见过这一类题。

二、提出问题及数据说明

商品打折有很多种类比如在一些饭店里，花费金额达到商家要求的最低消费便可以领取数额不同的代金券或饮料；也有一些商家制定一些东西，可以买一赠一，或买几赠几；在一些高级会所，书店等都可以办理会员卡，打折卡，或者办理可以存钱的卡，再存多少钱可以增一些数额不等的钱存到卡里，如果是门票的使用次数便会赠送几次……

十一国庆期间，A、B两商场推出打折促销活动，A商场每满100元可返20元，乙商场全场商品打八五折，小丽的妈妈打算买一件价值360元的衬衫，问在哪里买比较便宜？

根据已知条件，我们可以分别求出A、B两商场各自的价格，再进行比较，解得A商场较便宜（付360元，返60元现金，共花费300元；B则用360元乘八五折得306元，故A＜B，A商场较便宜）。但是我们更深一步的思考，把360元换成别的价格呢？是否还是A较便宜呢？于是，我把这个问题展开，进一步展开深入的思考和研究。

原价现价 商场A B 原价现价 商场A B 15 15 12.75 120 100 102 30 30 25.5 135 115 114.75 45 45 38.25 150 130 127.5﹉﹍ ﹍165 145 140.25 100 80 85﹍ ﹍﹍105 85 89.25 200 160 170 300 240 255 400 320 340

进行计算和整理，我得出了A、B商场不同价位的商品价位表：

经过上表数据，我得出一个初步结论：

当商品价格小于100元时，A商场不返金，相当于未打折，A商场比B商场贵，而当商品大于或等于100元，而又小于135元时，A商场比B商场便宜，但如果商品原价为135元或大于135元，而小于200元，A商场的商品均比B商场贵，而商品价格大于200元以后，比B商场便宜，若用X表示原价，则为：

X＜200，A＞B； 100≤x＜135,A＜B； 135≤X＜200, A＞B；x＞200, A＜B

三、分析商场打折问题和数学模型建立

以上只是一个初步结论，让我们在回顾一下上表的数据，从中摘取出一部分，仔细观察，你又得出了什么？

原价现价 商场A 原价现价 商场A 原价现价 商场A 100 80 200 160 300 240 110 90 210 170 310 250 120 100 220 180 320 260 130 110 230 190 330 270 140 120 240 200 340 280 150 130 250 210 350 290 160 140 260 220 360 300 170 150 270 230 370 310 180 160 280 240 380 320 190 170 290 250 390 330

仔细观察上表，我们不难发现，结论一：在商品价格百数上的数字不变时，求一个非整百数商品的价格时，可以用与此商品价格百位数字相同的整百数的现价上，（或整千数，整万数等，下同）.此商品价格（原价）与此整百数（原价）的差。如某商品140元，用普通的做法解，先付140元，返20元，得120元，而用上述结论求解时，由于此商品140元，与140元百位数字相同的整百数位100,100元返20元得80元，140元与100元的差价为40元，40+80=120元，结果相同。

用函数表达式为：（设原价为X元，与原价百位数字相同的整百数为Y）

整百数商品现价

（Y-1／5Y）+X-Y=4／5Y+X-Y＝X-1／5Y

结论二：整百数（原价）加上或减去在20元（返馈）之内的相同价钱，现价一样，如200元加上或减去10元得190元和210元，由上表知185元商品现价为170元，原价210元商品现价为170元，得到原价不等的两件商品现价相同。（注：以上结论均是X≥100元时）

以上结论都是根据一定的打折方式求出来的，那么，如果打折方式变换一下，如果是满100元返40元，满200元返20元时，又会怎么样呢？我们可以用X表示原价，用Y表示离X最近的打折需要的原价（注意：要往前推，如满200返50元，满400返100元时，买一件原价为550元的商品，此时X为250，则Y为400），用W代替100元等打折需要的原价，用Z表示返馈，得出公式：

（Y-Y／W·Z）+X-Y＝Y-Y·Z／W+X－Y＝X-Y·Z／W

四、总结

综上所述，在人们购物碰到商家打折时，可以用X-Y·Z／W，这一函数表达式计算，可见，生活中的每一件小事，经过我们思考，转化后都可以发现其中的奥妙，是的，生活中并不缺少美，而是缺少发现美的眼睛，如果我们每个人都对一些身边所谓的“小事”多下一番功夫，更深入地探究，一定会有想不到的收获。“买家不如卖家精”这话一点也不假。商家心里早已打好了如意算盘，打折背后隐藏着数学问题，以后我一定要注意了。