基于最大Lyapunov指数的数控机床精度状态识别方法

杜柳青，王立明，闫　哲，曾翠兰

(重庆理工大学 机械工程学院，重庆　400054)



基于最大Lyapunov指数的数控机床精度状态识别方法

杜柳青，王立明，闫哲，曾翠兰

(重庆理工大学 机械工程学院，重庆400054)

摘要：提出一种基于最大Lyapunov指数的数控机床精度状态识别方法。通过数控机床在XOY平面四种不同圆周进给速度下的圆度误差数据产生一维时间序列，依据小波方法对时间序列降噪后采用C-C方法计算得到时间延迟、嵌入维数等混沌特性参数，对数控机床进行混沌相空间重构。求取Wolf方法下的最大Lyapunov指数，结合功率谱图对比分析发现机床系统具有混沌特性，且随着圆周进给速度的增加，最大Lyapunov指数减小；并通过实验测试及分析验证了这一结论。

关键词：混沌；数控机床；精度状态；Lyapunov指数

0引言

数控机床是机械制造行业的母机，其精度直接影响着加工工件的精度；机床本体存在的误差会直接复映到加工形状上，增大加工工件误差。在高精度加工过程中为保证加工质量，对机床精度进行状态识别就显得尤为重要。

近年来，人们对数控机床精度状态识别领域的研究主要偏向于数控机床误差辨识[1-2]、精度检测[3-4]等方面，却增大了机床的故障停机时间，降低了数控装备的服役可靠性[5-6]。文献[7-8]分别用刚体动力学建立了三轴立式加工中心的运动误差模型，研究发现运动精度随空间坐标位置变化而变化，因此在数控加工程序的编制时，避开不利的空间区域是减缓数控机床的精度衰退的有效措施；文献[9]综合桥式加工中心样机各项精度指标的测试结果，获得机床的实际精度表现和分布规律，可以对样机在各项精度指标上所反映出的精度问题进行评价；由以上文献可以发现，机床精度状态的影响因素多样复杂，特定模型只适用于对应类型机床，不具有普遍性。

数控机床在工作过程中，系统内部各要素之间及与外部系统的相互作用具有明显的非线性特征；利用最大Lyapunov指数研究非线性系统的混沌特性、判断混沌状态、进行系统混沌识别，为非线性动力系统的状态识别提供了有效方法[10]。而在非线性状态下对数控机床精度进行状态识别的研究很少，因此本文提出了一种基于最大Lyapunov指数的数控机床精度状态识别方法，通过数控机床在不同圆周进给速度下的圆度误差测试获取机床误差时间序列，经过序列降噪、相空间重构等分析，深入讨论基于最大Lyapunov指数对数控机床精度进行识别的可行性和准确性，为机床误差混沌溯因提供了技术支持。

1机床精度时间序列预处理

混沌现象是非线性动态系统所特有的一种运动形式，在一定控制参数范围内产生对初始条件具有敏感依赖性的非周期行为运动，表面上是无序的，在动力学上是确定的[11-12]。因此，数控机床运动精度状态可视为一种具有混沌特征的复杂非线性状态。

分析混沌时间序列，首先需要判别观测系统的运动形式是否为混沌运动，然后借助于混沌序列的相空间，应用混沌分析方法，分析系统的运动规律。为对数控机床精度状态进行识别，获取数控机床的误差演化量时间序列。本文以某型高速立式加工中心为实验研究对象，使用Renishaw QC20球杆仪仪器测量机床XOY平面的运动误差，使机床在半径为100mm、进给速度分别为1000mm/min、3000mm/min、5000mm/min、7000mm/min条件下做圆周运动。

1.1时间序列获取

将各采集点圆度误差数据前后相减，得到机床圆度误差演化的一维时间序列x(t)，t=0，1，2，…，N(N为采样点数)，对时间序列x(t)进行相空间重构，得到一组新的向量序列X(t)={x(t)，x(t+τd)，x(t+2τd)，…，x[t+(m-1)τd]}T，(t=1，2，…，N-m+1),式中m为重构相空间的嵌入维数，τd为时间延迟。

1.2小波方法时间序列去噪

由于混沌系统对初始条件的敏感性、依赖性，很小的误差就会影响系统的精度，因此需要对实际观测的混沌时间序列进行去噪处理。小波变换分析可以对实际观测信号进行有效的噪声水平估计。以F=1000mm/min为例，实测圆度误差时间序列如图1所示。

图1　1000mm/min 机床圆度误差时间序列

图2　1000mm/min 机床圆度误差时间序列去噪

图1中的信号既包含机床的圆度误差信息，也包含了仪器测量精度引起的噪声；借助小波变换在滤除信号观测噪声上的优异性[13]，对图1信号进行去噪处理如图2。小波变换对图1信号进行多尺度细化分析，保证了很好的时频局部化特点；将图2与图1比较可发现，图2噪声平滑后的误差信号保留了图1信号的一般特性，真实误差信号的幅值基本保持不变，而噪声信号的幅值迅速衰减，达到了较好的噪声平滑效果。

1.3时间序列功率谱分析

以F=1000mm/min为例，对去噪后的时间序列求功率谱如图3所示。

图3　1000mm/min 功率谱图

图3表明，此信号功率谱呈现连续分布特征，并在低频区有很大的振动幅度。因为混沌运动的复杂性，混沌信号的频谱具有有限带宽；并且混沌圆度误差信号是多种非线性影响因素的综合反映，所以在数控机床系统中这些非线性影响因素大都集中在低频区[14]，这说明低频区的振动信号中有较强的混沌成分。因此初步判定机床圆度误差信号符合混沌信号特点。

2基于C-C方法的精度相空间重构

相空间重构是混沌时间序列分析的基础，获取的机床误差时间序列是一维的，需要扩展到高位的相空间中以恢复系统所蕴含的信息。本文利用C-C方法同时计算时间延迟τd和嵌入维数m两个参数。

将机床误差时间序列分为t个不相交的子序列(t，即图4的横坐标)，然后定义每个子序列的统计量：

其中，m=2，3，…；计算过程中，取m=2，3，4，5；

所得曲线图如图4所示。

表1　不同F下的τd、m

由表1可看出，四种不同进给速度下，机床圆度误差时间序列去噪后所得时间延迟τd与嵌入维数m基本保持不变。继续观察四种不同进给速度时最大Lyapunov指数的情况。

3基于Wolf方法的Lyapunov指数计算

图5　Wolf方法的示意图

经过计算可得四种不同进给速度时的最大Lyapunov指数分别为0.0353、0.0237、0.0209、0.0060，如图6所示。

图6　不同F时的最大Lyapunov指数变化图

由图6可看出，四种不同机床圆周进给速度下的误差时间序列所得最大Lyapunov指数均为正，表明机床系统具有混沌特性，且随着圆周进给速度的增加，最大Lyapunov指数呈现逐渐减小趋势，系统的混沌程度降低；鉴于本次球杆仪测量实验结果显示圆周F增大时的机床误差呈增大趋势，因此可得结论：对机床圆度误差时间序列分析，机床精度越高，最大Lyapunov指数越大，混沌特性强；机床精度降低时，最大Lyapunov指数减小，混沌特性减弱。

为验证这一方法的正确性，对该型机床XOZ、YOZ平面进行测试并计算求最大Lyapunov指数，如图7所示。

并通过对5种不同型号数控机床XOY平面做同样的测试分析实验，提取圆度误差数据，计算求最大Lyapunov指数得到结果如图8。

图7　XOZ、YOZ平面最大Lyapunov指数

图8　各机床XOY平面最大Lyapunov指数

图7、图8数据均表明，最大Lyapunov指数随着圆周进给速度的增加而减小，验证了本文XOY平面圆度误差时间序列分析所得结论的正确性。

4结论

基于机床圆度误差时间序列，通过优选时间延迟和嵌入维数求得XOY平面最大Lyapunov指数，结果指数∂>0表明机床系统具有混沌特性。通过对不同圆周进给速度及不同型号的机床系统进一步分析发现，机床精度越高，最大Lyapunov指数越大，混沌特性强；机床精度降低时，最大Lyapunov指数减小，混沌特性减弱。经过验证证明这一结论的可信度是较高的，能为数控机床精度状态识别研究提供新思路，并为机床精度混沌溯因提供理论支撑。

[参考文献]

[1] Mann S，Bedi S，Israeli G，et al．Machine models and tool motions for simulating five-axis machining[J]. Computer Aided Design，2010，42(3)：23l-237.

[2] 萨日娜，张树有，刘晓健. 面向零件切削性评价的数控机床精度特性重要度耦合识别技术[J].机械工程学报，2013，49(9)：113-120.

[3] 樊泽明,黄玉美,程祥,等. 加工工件位置和姿态的自动检测、识别与校正方法(英文)[J]. 仪器仪表学报，2005,26(2):111-115,123.

[4] 黄克,关立文,王立平. 五轴数控机床精度建模与预测研究[J]. 组合机床与自动化加工技术，2015(2):78-81.

[5] 孙志礼,张义民.数控机床性能分析及可靠性设计技术[M].北京:机械工业出版社, 2011.

[6] 郝庆波. 数控机床可靠性及维修性的模糊综合分配与预计[D] .长春:吉林大学，2012.

[7] Zhu W D, Wang Z G, YAMAZAKI K. Machine Tool Component Error Extraction and Error Compensation by Incorporating Statistical Analysis [J]. International Journal of Machine Tools& Manufacture，2010，40:1199-1213.

[8] Lee D M, Yang S H. Mathematical Approach and General Formulation for Error Synthesis Modeling of Multi-axis System [J]. International Journal of Modern Physics， 2010，16:1535-1546.

[9] 仇健. GMC2550u桥式加工中心样机综合精度测评研究[J]. 机械工程学报，2014,50(1):137-151.

[10] 肖达川,何青. 非线性系统中轨线的最小李雅普诺夫指数的计算[J]. 清华大学学报(自然科学版),1994,34(6):100-102.

[11] 史丽晨. 基于故障机理分析的往复式活塞隔膜泵状态监测与故障诊断技术的研究[D].西安:西安建筑科技大学，2009.

[12] 肖勇,戴跃洪,张睿,等. 不确定微机电混沌系统的反演自适应控制[J]. 组合机床与自动化加工技术，2014(7):106-108.

[13] Han M, Liu Y H, Xi J H, et al. A Systematic Chaotic Noise Reduction Method Combining with Neural Network [J]. Proceedings of the Second International Symposium on Neural Network, China, 2005, 3497:580-585.

[14] 吕金虎.混沌时间序列分析及其应用 [M].武汉:武汉大学出版社，2005.

(编辑赵蓉)

Method for Recognition of CNC Machine Tool Precision State Based on the Largest Lyapunov Exponent

DU Liu-qing，WANG Li-ming，YAN Zhe，ZENG Cui-lan

(College of mechanical engineering, Chongqing University of Technology, Chongqing 400054, China)

Abstract：The method for recognition of CNC machine tool precision state was proposed based on the largest lyapunov exponent. One-dimensional time series is generated by the roundness error data in the XOY plane of four kinds of different circular feed rate. The wavelet analysis is adopted to denoise the time series. The chaotic characteristic parameters, such as time delay, embedding dimension, are obtained based on the C-C method, and then the chaotic phase space of CNC machine tool is reconstructed. The Wolf method is used to calculate the largest Lyapunov exponent, and with the power spectrum picture, the chaotic characteristic of the machine tool system is found. With the increase of circular feed rate, the largest Lyapunov exponent decreases. This conclusion is verified by experiment test and analysis.

Key words：chaos; CNC machine tool; precision state; Lyapunov exponent

文章编号：1001-2265(2016)05-0096-04

DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.05.026

收稿日期：2015-09-25；修回日期：2015-11-13

*基金项目：国家自然科学基金项目"基于混沌相空间重构的数控机床精度非线性动力学演化、预测与溯因新方法"(51305476)

作者简介：杜柳青(1975—)，女，重庆长寿人，重庆理工大学教授，硕士生导师，研究方向为机床精度设计，(E-mail)lqdu1@126.com。

中图分类号：TH166;TG506

文献标识码：A