《导数及其应用》教学方式及注意事项分析

柴慧娟

导数在甘肃省课程教学中作为选修课程，是学生在文理分科后分别学习的内容，文科生在选修1—1第三章中学习导数及其应用，理科学生在选修2—2第一章中学习导数及其应用。无论是理科生还是文科生都对导数的学习和运用感到困惑。本文就“导数及其应用”的教学方式及其注意事项提出了以下看法，以供参考。

一、导数概念的教学

在导数概念的教学中要注意新课的引入和学生的启发，通过几个具体的例子，让学生体会观察它们的共同特点，从而引出导数。教材从变化率入手研究导数，用形象直观的 “逼近”方法定义导数：从函数的平均变化率到瞬时变化率，再到函数y=f（x）在x=x0处的导数，进而到函数y=f（x）在区间（a，b）内导函数（导数）。建议导数概念课以多媒体课件的形式展示，激发学生学习的兴趣和参与度。例如，用几何画板展示割线逼近切线，曲线的切线与曲线不止有一个交点。

二、导数运算的教学

为了使学生能用基本初等函数的导数公式与运算法则求简单函数的导数，教材在直接给出导数公式及运算法则后，安排了大量的例题和练习题，学生通过例题和习题的模仿、操作，从而熟练掌握此知识点。在导数运算教学中要给学生一定的自主学习时间，老师只作适当引导，不必花时间去大讲特讲。其他初等函数的导数公式也可以通过导数定义推导而得，但教材不作要求，教学时要准确把握，不要偏移重心，影响教学效果。

复合函数的导数对于文科学生没有涉及，教学中不必再提及。理科生教学中不必介绍复合函数的严格定义，也不要求证明复合函数的求导公式，因此建议教学中多配备几个例题，引导学生理解简单复合函数的复合过程，知道复合过程中的自变量、因变量及中间变量分别是什么。教学参考明确要求会求形如

f（ax+b）的函数的导数即可，老师在教学中选用例题、习题时一定要注意这一点，不作过多的引申。

三、导数的应用教学

导数的应用这部分内容的重点是微积分的基本思想。导数是研究函数的重要工具，利用这个工具研究函数的单调性，体会导数在研究函数中的优越性。

（1）函数的单调性与导数的关系：教学中老师结合实例，如高台跳水，一次函数、二次函数、三次函数、反比例函数的图象，让学生利用几何图形，观察探索并了解单调性与其导函数正负之间的关系，学生只需归纳得出结论即可，不需要严格证明。一定要注意，这里要强调函数y=f（x）在某点附近的增减情况。如果在整个区间上恒有f'（x）>0（x<0），那么函数y=f（x）在整个区间上单调递增（递减）。

（2）函数的极值和最值与导数的关系：在该节教学中还是要让学生先通过对大量函数图象的观察，直观感受函数在某些特殊点（极值点）的函数值与附近点的函数值大小之间的关系，以及函数在这些点的导数值与附近函数的增减情况。在教学中一定要强调，极大值和极小值是局部性质，反映的是函数在某点附近的性质，“极大值不一定大于极小值”，让学生知道“f ' （x0）=0是函数取得极值的必要不充分条件”。对于函数的“连续”，只需要让学生根据图象可直观地感受到函数图象在x=x0处及其附近“不断”即可。本节的重点是利用导数求函数的单调区间以及函数在区间内的极值、最值。

（3）运用导数知识分析解决实际应用问题：在工农业生产、生活等实际问题中，常常需要研究一些成本最低、利润最大、用料最省的问题，此类问题称为优化问题。教学中要设计探究活动，引导学生总结出解答此类问题的一般步骤：①建立函数关系；②求极值点，确定最大（小）值；③回归优化方案。从而培养学生应用数学思想和数学建模的能力。

四、定积分的教学

教材安排了两类典型的问题——求曲边梯形的面积和求变速直线运动物体的位移这两个实例，一个是定积分的几何背景，一个是定积分的物理背景。教学中要启发引导学生，通过类比求圆的面积的过程，引出求曲边梯形面积的基本思想：在局部小范围内“以直代曲”和“逼近”的思想；教学过程中可以利用多媒体给学生们演示“无限分割”让学生们加深体会其数学思想。求变速直线运动物体的路程也是定积分的概念的一个重要背景，应注意引导学生类比求曲边梯形面积的过程，让他们自己独立解决问题。

引出定积分概念后，说明定积分的含义及定积分中符号的含义；有了求曲边梯形面积的经验，可通过“思考”引导学生分析定积分的几何意义；对于教科书中定积分的三个基本性质，不要求学生证明，帮助学生从几何直观上感知性质的成立即可。

对于微积分基本定理的教学，我们应该让学生经历微积分基本定理的发现过程，把握从局部到整体、从具体到一般的思想，先利用物理意义和导数的几何意义，并根据定积分的概念，通过寻求导数和定积分之间的内在联系，得到微积分基本定理的雏形，然后一般化而得出积分基本定理。在定积分的简单应用这部分的教学中，应特别注意利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把求平面图形的问题转化为求曲边梯形面积的问题。

（作者单位：甘肃省嘉峪关市酒钢第三中学）