逆向思考巧解题

刘平

众所周知，由已知条件到结论的定向思维是常见的思考方法。但有些问题按照这种思考方法去寻找解题途径却往往比较困难，甚至无从下手。遇到这种情况就应从辩证思维的观点出发，打破思维定势，从相反的方向去思考问题，这就是所谓的逆向思维。平常人们所说的：“反过来想一想”，便是逆向思维的运用。从心理学上讲，学生的思维从一个方向转向其相反方向有一定的困难，然而，学生能够迅速而自由地从正向思维转到逆向思维，正是思维灵活性的一种具体表现。此外，逆向思维也是创造性思维方法之一。因此，在数学教学中有意识地加强逆向思维的训练，是非常必要的。

一、逆用定义解题

互逆关系，是数学科基本关系之一。例如，原函数与反函数的关系、对数与指数的关系、乘除运算关系等就是互逆关系。在数学教学中，依托数学上的互逆关系，运用逆向思路研究数学问题，是一种重要而常用的方法。在具体解题中，对概念而言，表现为定义的逆用。

例1：设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2-x，则= f（1）= 。

本题主要考查函数的奇偶性和函数的解析式。

解析：∵f（-1）=3∴f（1）=-f（-1）=

-3。

评析：在解题过程中，逆用了奇函数的定义，省去了求函数解析式的烦恼，简洁明了，解法巧妙。正如恩格斯所指出的：“从一个形式到另一个相反的形式的转变……它是数学科学的最有力的杠杆之一。”

二、逆用、变用公式解题

我们知道，数学公式有：从左到右用、从右到左用、变形后再用这三种功能。学生只有掌握公式的逆用和变形用，才能真正活用公式，才能加深对公式的理解和认识。教学数学公式时应加强训练。

例2：sin20°cos10°-cos160°sin10°=

。

本小题考查了三角函数的诱导公式和两角和的正弦公式。

评析：以上解法可谓十分巧妙，若不用反例来进行推断，将是十分困难的。针对选项，灵活选取反例来判断真假，是解选择题的一个重要方法，利用它，不但可提高解题速度，还可通过口算解选择题。

反例不但用于解题，数学教学中常常用来深化概念、纠正错解、强调条件等。

现代数学教学理论认为：数学教学实质上是数学思维活动的教学。因此，教学中抓好思维训练，就抓住了教学过程的关键和核心。从上面例子可看出，逆向思维是数学中一种重要的思维方法，它不仅可探测某些问题的解题方向，找到解题途径，还可加深对概念、原理的理解，发现新的规律。也就是说，加强逆向思维解题的训练，不但能开拓学生的解题思路，提高分析问题和解决问题的能力，而且从思维品质角度来说，还可提高思维的灵活性和批判性，培养逆向思维能力和发明创造能力。

（作者单位：湖南省华容县怀乡中学）