矩阵等价与向量组等价的关系及应用

赵伟舟

摘 要：本文主要讨论了矩阵等价和向量组等价之间的联系，在包含相同个数向量的前提下，

获得了借助初等行变换研究向量组等价的重要结论，并通过实例具体说明了应用方

法。

关键词：矩阵等价； 向量组等价

中图分类号：O151.21 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2016）01（a）-0000-00

1.引言

等价是描述两个对象之间的一种关系，当这种关系具有自身性、对称性和传递性时，这种关系可被称为“等价”[1-3]。矩阵等价和向量组等价是两个不同的概念，前者是指一个矩阵可以经过有限次初等变换得到另一矩阵，后者是指两个向量组能够相互线性表示。矩阵和向量组具有一一对应性，由于等价矩阵具有相同的行数和列数，从向量组的角度，两个向量组包含相同个数的向量；而当列（行）向量组等价时，从矩阵的角度，两个矩阵的列（行）数可以不同。初等变换作为矩阵理论的重要工具，当两个向量组包含相同个数的向量时，项梁组等价和矩阵等价之间是否具有联系呢？如果能获得这种联系，则向量组的等价问题在某种程度上可以借助初等变换研究以简化其讨论步骤。

2.理论

为方便起见，不妨设有两个矩阵 和 且 ，从而存在两个可逆阵 ，满足： 。可将 和 表示为列向量组的形式，则有：

（*）

如果 ，由初等变换理论可知， 到 只进行了初等列变换，且（*）式可改写为：

（*1）

两边同时右乘 ，得：

（*2）

由（*1）知，向量组 能由向量组 线性表示，由（*2）知，向量组 能由 线性表示，故 与 等价。因此获得下面结论：

结论1 只经初等列变换由一个矩阵到另一矩阵，相应的列向量组等价。

对上面的（*1）式，两边同取转置，得：

（*3）

两边同时左乘 ，得：

（*4）

同理，（*3）式和（*4）式表明行向量组 与 等价，由此获得下面结论：

结论2 只经初等行变换由一个矩阵到另一矩阵，相应的行向量组等价。

3.应用

根据结论1和结论2，在讨论两个向量组等价时，只要包含相同个数的向量，可考虑借助矩阵等价的初等变换方法。

例 已知

试证明向量组 与向量组 等价。

分析：这里是列向量组且都包含两个向量，应考虑使用结论1，但由于初等行变换较为常用，因此考虑两个列向量组的转置结果。由结论2，只需说明由一个向量组仅通过初等行变换到另一向量组，即完成了等价证明。

证明：

① ②

显然 和 有相同的行最简形。①式说明， 经初等行变换能获得其行最简形，②式由初等行变换的可逆性，该行最简形也能获得 。因此， 能只经过初等行变换获得 。由上面结论2，向量组 与向量组 等价，从而 与 等价。

值得注意的是，在上面证明中，不能简单借助等价的传递性直接给出 ，这是因为本文结论强调变换形式的单一性，而从 可能既涉及初等行变换，又涉及初等列变换。另外，考虑到向量组记法的灵活性以及例题的证法加之初等行变换是较为常用的初等变换形式，因此可给出如下更为实用的结论：

结论3 给定的两个行向量组如果包含相同个数的向量，且相应的矩阵具有相同的行最简形，则兩个行向量组等价。

这一结论对列向量组也是适合的，只需将其转置为行向量的形式（如上面例题）。另外，结论中的“行最简形”不能替换为“标准形”，因为只是进行初等行变换的操作。

3. 结论

矩阵等价和向量组等价从概念上看完全不同，前者是源于初等变换给出的概念，后者是源于线性表示给出的概念。当两个向量组包含相同个数的向量时，由向量组形成的两个矩阵是同型矩阵，按照获得的重要结论，借助初等行变换说明向量组的等价性是相当方便的。但当两个向量组包含不同个数的向量时，只能按照向量组等价的定义进行讨论，这里不再赘述。

参考文献：

[1] 同济大学数学系. 工程数学：线性代数（第5版）[M]. 北京：高等教育出版社，2007.

[2] 吴赣昌.线性代数[M]. 北京：中国人民大学出版社，2011.

[3] 李炯声，查建国，王新茂. 线性代数[M].北京：中国科学技术大学出版社， 2010.