“高观点”下一道高考模拟题的解法赏析

肖运彭

【摘要】 对于高考数学题或相应的模拟题，教师们往往习惯用初等数学知识进行求解，实际上，能够运用高等数学的思想方法求解，无疑对提高教师的解题能力，拓展教师的数学素养，转变教师认识视角，深刻理解新课改理念，把握高等数学与初等数学关系有非常显著的促进作用. 作为中学数学教师，不仅要学会用初等数学方法解决问题，而且要不断深入的研究《数学分析》、《高等代数》、《高等数学》等课程，对中学数学的指导作用. 因此、本文就以一道模拟题为例，简要阐述拉格朗日常数法，在解决中学数学中条件最值问题时带来的巨大方便. 以便老师能够体会高等数学方法的作用及意义. 【关键词】 拉格朗日常数法；高等数学；中学数学；新课标

本文选自一道模拟题，该题涉及的知识主要有圆锥曲线、圆、线性规划、切线等，这些知识在中学数学中占有及其重要的地位，是新课标下必须要理解掌握的模块，也是高考考察的重点，这部分内容对于提高学生解题能力，促进学生理解能力，掌握数形结合等方法，都有极大的帮助.

例题：在平面直角坐标系中，已知A，B两点的坐标分别为：A（1，0），B（-1，0），且圆C的一般式方程为：x2 + y2 - 6x - 8y + 21 = 0，点P为圆C上的动点.

（1）求过点A的圆的切线方程；

（2）求|PA|2 + |BP|2的最值.

解 （1）由题意可得圆的标准方程为：

（x - 3）2 + （y - 4）2 = 4.

圆心为：（3，4），半径R = 2.

1）当切线的斜率不存在时，经验证直线x = 1为圆的切线方程；

2）当切线的斜率存在时，设过点A的切线方程为：y = k（x - 1）.

即：kx - y - k = 0.

∵ 圆心到切线的距离为半径R，∴ ■ = 2.

整理可得：|k - 2| = ■，即-4k = -3，k = ■.

由拉格朗日常数法：设L（x，y，z） = 2（x2 + y2） + 2 + λ[（x - 3）2 + （y - 4）2 - 4].

分别对x，y，λ求偏导，并令偏导的值为0，可得：

由①，②，③解得x = ，y = 或x = ；带入目标函数2（x2 + y2） + 2，可得|PA|2 + |BP|2的最大值为100，最小值为12.

由拉格朗日常数法不难看出，该方法对于求条件最值是非常容易且简明扼要的，不仅直接求出最大、最小值，而且轻易求出了在取得最值时对应点的坐标. 作为中学老师掌握该方法，对于拓展教师视野，理解新课标理念是有极大帮助的.