有趣的集合问题微探讨

郭诗琪

【摘要】 讨论集合中的两个极端概念. 一个是空集Φ与集合{Φ}之间的关系，另一个是无限集合，探讨两个无限集合与元素之间是否能形成一一对应的关系.

我在学习高中《数学（必修1）》第一章集合时，感觉它的基本知识和基本概念既不难学，也不难懂，然而在不断做题的过程中，却又产生许多困惑，于是引发我的思考，进而发现其中的有趣现象，激发了我的学习兴趣.

集合，即把一些元素组成的总体称为集合，它具有确定性、无序性和互逆性，表示集合的方法有列举法、描述法. 集合理论的内容十分丰富，它是各门数学学科的基础，集合概念已发展成为数学的一个分支——集合论. 要很好地掌握并运用它并不是容易的事，下面将讨论集合中的两个极端概念. 1. 空集Φ与集合{Φ}

我们知道，Φ是一个不含任何元素的集合，称之为空集；{Φ}是含有元素Φ的集合，它不是空集. 它们是完全不同的集合，然而它们之间又是有联系的.

（1）包含关系

教材中，集合之间的关系是这样定义的：对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集. 因此可以这样说，由集合的包含关系可知，Φ是不含任何元素的集合，它的任何元素都是其他集合中的元素，因此Φ是任何集合的子集，从而有Φ包含于{Φ} . 同时，因为空集Φ不含任何元素，所以{Φ}中的元素Φ不属于Φ集合，从而Φ是{Φ}的真子集.

（2）隶属关系

因为{Φ}中含有元素Φ，所以Φ属于{Φ}，元素Φ与集合{Φ}间为隶属关系，即Φ∈{Φ}.

根据上面的推理，让我们的思维再延展一下：假设由不同元素a，b组成的集合U1={a，b}，在考虑由U1的所有子集组成的集合U时，往往容易忽略空集Φ是集合U的元素，在做类似的题型时，建议同学们可以提起笔，列一下集合U的组成，思路便清晰了，即U={Φ，{a}，{b}，{a，b}}={Φ，{a}，{b}，U1}.

教材中指出了元素与集合的隶属关系以及集合与集合的包含关系，却没有说明同一集合中的元素之间是否存在隶属和包含关系. 根据上面的假设，我又在想，当Φ、{a}、{b}、U1同为集合U的元素时，它们之间肯定不可能存在隶属关系，也就不能认为Φ、{a}、{b}包含于U1，而事实上，Φ、{a}、{b}又确实是U1的子集，即.

再假设集合U1 = {Φ}，则由集合U1的所有子集组成集合U = {Φ，{Φ}}，这时的Φ、{Φ}均是集合U的元素. 如果认为元素之间没有隶属和包含关系，那么也就不可能认为Φ∈{Φ} 和，到底Φ与{Φ}之间是否存在隶属关系？

因此可以总结为：如果为同一个集合中元素，则元素之间无隶属与包含关系；但在某种情况下，把它们看作集合，则存在隶属与包含关系.

2. 无限集合以及几类无限集合间对应关系

比较两个有限集合中含元素个数的多少，可以采用在两集合中的元素是否可形成一一对应关系的方法来进行比较，我们可以将这种比较方法推广到无限集合中去. 顾名思义，无限集合指由无限个元素组成的集合，它在数学中无处不在，一般常见的有整数集合等. 我们知道，自然数集合N = {0，1，2，3，…}、正整数集合N+={1，2，3，…}以及正奇数集合M = {1，3，5，…}等这些集合都是无限集合，建立这些集合之间的一一对应关系也是比较容易的.

例如，集合N+与集合M之间元素可以形成n？圮2n - 1，这就意味着两无限集合的元素间建立了一一对应关系.

再如，有实数集合A、B、C，A={x|x > 1}，B1={x|0 < x < 1}，B2={x|0 ≤ x < 1}，A是能与B1形成一一对应关系还是能与B2形成一一对应关系呢？下面做分析：

当X∈A时，则∈B1，可以认为集合A与集合B1的元素间能形成一一对应关系.

当X = 0时，为∞. 由于集合A中包含“∞”对应于集合B2中的“0”，看上去似乎能形成一一对应关系，但集合A中元素“∞”仅是一个记号，是永远不能达到的一个记号，而集合B2中的元素“0”确是实实在在存在的数. 因此集合A与集合B2间不能形成一一对应关系.

两个集合的元素个数是否相等，是视能否在它们的元素之间找到一一对应关系来判定的. 如偶数集合和整数集合间是有一一对应关系的，根据定义，则说明偶数和整数是一样多的，虽然这有悖于一般认识，加之由于知识面有限，有时很难判断两集合元素之间是否有应对关系.

举个例子：圆面集合A = {（x，y）|0 < x2 + y2 < 1}与集合B = {（x，y）|x2 + y2 > 1}，是否可以找到集合A与集合B的元素间的对应关系呢？

如果集合A、B之间的元素表示为：（ρcosΦ，ρsinΦ）∈A，（0 < ρ < 1， 00 ≤ Φ ≤ 3600），必能对应于：∈B，（0 < ρ < 1，00 ≤ Φ ≤ 3600）. 这样A与B中元素就形成了一一对应的关系，我们可以认为集合A与集合B中含的元素个数一样多.

如果两集合之间暂时没有找到元素之间的对应关系，也不必说永远找不到一种一一对应的关系，所以比较两集合含元素个数的多少是一个很有趣的问题. 即使知道某集合是有限集合，可谁又知道这个“限”是多少呢，正如天上星星与地上砂粒从理论上说都是有限集合，谁又能比较出哪个更多呢？