浅谈初中数学解题渗透的思想方法

徐旭云

所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动.所谓数学方法， 是指某一数学活动过程的途径、程序、手段，它具有过程性、层次性和可操作性等特点.数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段，因此，人们把它们合称为数学思想方法.

1. 分类讨论思想

分类讨论是根据教学对象的本质属性将其划分为不同种类，即根据教学对象的共同性与差异性，把具有相同属性的归入一类，把具有不同属性的归入另一类.分类是数学发现的重要手段.在教学中，如果对学过的知识恰当地进行分类，就可以使大量纷繁的知识具有条理性.

例如，实数的绝对值定义是采用分类法给出的，在这个定义中选择a = 0作为分类的标准.在每一类中，其结果都不包含绝对值符号.因此定义也给出了脱去绝对值符号的一种方法.再如，在同一个圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.为了验证这个猜想，教学时常将圆对折，使折痕经过圆心和圆周角的顶点，这时可能出现三种情况：（1）折痕是圆周角的一条边，（2）折痕在圆周角的内部，（3）折痕在圆周角的外部.验证时，要分三种情形来说明，这里实际上也体现了分类讨论的思想方法.还有，对三角形全等识别方法的探索，教材中的思考题：如果两个三角形有三个部分（边或角）分别对应相等，那么有哪几种可能的情况？同时，教材中对处理几种识别方法时也采用分类讨论，由简到繁，一步步得出，教学时要让学生体验这种思想方法.

2. 数形结合思想

一般地，人们把代数称为“数”而把几何称为“形”，数与形表面看是相互独立，其实在一定条件下它们可以相互转化，数量问题可以转化为图形问题，图形问题也可以转化为数量问题.

初一教材引入数轴，就为数形结合的思想奠定了基础.有理数的大小比较、绝对值的几何意义、列方程解应用题中的画图分析等，充分显示出数与形结合起来产生的威力，这种抽象与形象的结合，能使学生的思维得到锻炼.

数形结合在各年级中都得到充分的利用.例如，点与圆的位置关系，可以通过比较点到圆心的距离与圆半径两者的大小来确定，直线与圆的位置关系，可以通过比较圆心到直线的距离与圆半径两者的大小来确定，圆与圆的位置关系，可以通过比较两圆圆心的距离与两圆半径之和或之差的大小来确定.又如，勾股定理结论的论证、函数的图像与函数的性质、利用图像求二元一次方程组的近似解、用三角函数解直角三角形等等都是典型的数形结合的体现.实践与探索中行程问题教学，经常是利用线段图解的方法来引导学生分析题中的数量关系.

在数学教学中，由数想形，以形助数的数形结合思想，具有可以使问题直观呈现的优点，有利于加深学生对知识的识记和理解；在解答数学题时，数形结合，有利于学生分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力.抓住数形结合思想教学，不仅能够提高学生数形转化能力，还可以提高学生迁移思维能力.

3. 整体思想

整体思想在初中教材中体现突出，如在实数运算中，常把数字与前面的“+，-”符号看成一个整体进行处理；又如用字母表示数就充分体现了整体思想，即一个字母不仅代表一个数，而且能代表一系列的数或由许多字母构成的式子等；再如整式运算中往往可以把某一个式子看作一个整体来处理，如：（a + b + c）2 = [（a + b） + c]2视（a + b）为一个整体展开等等，这些对培养学生良好的思维品质，提高解题效率是一个极好的机会.

4. 化归思想

化归思想是数学思想方法体系主梁之一.在实数的运算、解方程（组）、多边形的内角和、几何证明等等的教学中都有让学生对化归思想方法的认识，学生有意无意接收到了化归思想.如已知（x + y）2 = 11，xy = 1 求x2 + y2的值，显然直接代入无法求解，若先把所求的式子化归到有已知形式的式子（x + y）2 - 2xy，则易得： 原式 = 9；又如 “多边形的内角和”问题通过分解多边形为三角形来解决，这都是化归思想在实际问题中的具体体现.再如解方程（组）通过“消元”、“降次”最后求出方程（组）的解等也体现了化归思想；

化归思想是解决数学问题的一种重要思想方法.化归的手段是多种多样的，其最终目的是将未知的问题转化为已知问题来解.实现新问题向旧问题的转化、复杂问题向简单问题转化、未知问题向已知问题转化、抽象问题向具体问题转化等.除此之外，很多知识之间都存在着相互渗透和转化：多元转化为一元、高次转化为低次、分式转化为整式、一般三角形转化为特殊三角形、多边形转化为三角形、几何问题代数解法、恒等的问题用不等式的知识解答……

5. 变换思想

变换思想是由一种形式转变为另一种形式的思想.解方程中的同解变换，定律、公式中的命题等价变换，几何图形中的等积变换等等都包含了变换思想.具有优秀思维品质的一个重要特征，就是善于变换，从正反、互逆等进行变换考虑问题，但很多学生又恰恰常忽略从这方面考虑问题，因此变换思想是学生学好数学的一个重要武器.

从初中阶段就重视数学思想方法的渗透，将为学生后续学习打下坚实的基础，会使学生终生受益.