二次根式概念教学中容易忽略的问题及解决办法

陈利全 张贵梅

【摘要】 依据现行的教材版本，二次根式概念使用揭示外延方法定义的，此概念即非负数的算术平方根.教师同法跟进，回避不了两个细小问题：为什么要学习二次根式？“-（a ≥ 0）”叫不叫二次根式？教材如此编写的意图何在？这两个问题如何解决？作为教师必须要有清醒的认识，实践中才能使自己视野开阔，心中有数，手脚解放.

【关键词】 二次根式概念；问题；解决办法

新人教版二次根式章节内关于概念的引入，采用列举几个实例的方法，出现了几个正数求算术平方根的情况，由此引出二次根式的概念.即：型如（a ≥ 0）的式子称作二次根式.在这里，教材是采用揭示外延的方法来给概念定义的.这样处理的合理性在于：1. 反映了客观现实需求催生二次根式这一新内容.2. 凸显数学应用的广泛性和教学的工具性.3. 教材体现知识主干内容、为教师充分发挥主观能动性预留空间.但也有不足点，就是弱化知识体系的建构脉络.实践中，许多教师在进行这个内容教学时，同法跟进，简单处理，很容易忽略下面三个细小问题.

一、为什么要学习二次根式

代数学的主要标志是用字母表示数.初中关于式的运算体系是渐进建立的，由整式、分式过渡到根式是运算体系的自然延展，是字母位置标注出式的结构特点的必然展现，是客观世界数量关系的定量描述的需要，是数学发展的历史使命和历史阶段.简单说，是数学语言表达客观存在，是建构知识体系的需要，所以，我们要研究学习二次根式.数学一门工具学科，学习数学知识主要为了计算，二次根式也是一种运算方式，如两个数的积有平方的表现形式，那么反过来哪个数的平方等于已知数呢？这就是二次根式表达的意义，在实际的问题中，如已知正方形的变长，可以简单的求出面积，那么已知正方形的面积，如何求边长呢，这是二次根式要解决的问题，也是学习二次根式的重要原因.

二、“-（a ≥ 0）”是不是二次根式

按教材的处理方法，这个问题不容易回答.如果回答是，概念的外延中没有包含，如果回答不是，我们行将在后续课时中又会加以认可和运用.如3 - （-）这样的运算问题.实践中，有教师采取回避办法，此课时中一律不出现型如“-（a ≥ 0）”的式子，让这个问题根本不显现，还有教师根本没意识到这个问题，稀里糊涂默认它是，并且唐突地在习题中加以应用.

三、重视（a ≥ 0）中的a ≥ 0

在很多数学题的计算中，大部分学生会忽略二次根式的隐晦条件，即a是大于等于0的，如果能够充分的运用这个条件，很多题目将会变得更加简单.如在a满足|2012 - a| + = a，那么a - 20122的值为多少的选择题中，已知四个答案分别为2011，2012，2013，2014，按照传统的解方程方式，直接求出a的具有较大的难度，如能抓住（a ≥ 0）中a ≥ 0这个隐晦条件，就可知本题中的a - 2013 ≥ 0，故而a ≥ 2013，然后化简题目中的方程，最终得出答案为2013.很多教师在实际课堂教学的过程中，往往会忽视这些简单的隐晦条件，使得学生在解题中，经常会忘记利用最基本的条件，浪费了解题的时间.

四、问题的解决

关于第一个问题，可以采用组题式设问解决，具体做法是：

（1）计算：a（a - b） - （a + b）2.这是一道什么类型的计算题目？

（2）计算： - .这又是一道什么类型的计算题目？

（3）计算： - .谁能解答这个问题？

（4）上列三个式子的异同点是什么？

师生共同揭示：都是用字母表示的数的运算，不同之处在于字母在式中的位置不相同.

教师点题：关于式的运算我们遇到了新的问题，我们学习二次根式就是要完善式的运算，从而建构式的运算体系.也可以利用一些实际问题，来引入二次根式的概念，让学生们切身的体会到为什么要学习二次根式，如在以往的学习中，我们知道已知圆形的半径求圆的面积，那么现在已知圆形的面积，如何求出圆的半径呢？老师可以根据课堂的实际情况，给出具体的数目.如已知圆形的面积为2π平方厘米，那么让学生们分组讨论该圆形的半径是多少，学生们经过讨论后会得出，半径的乘积是2厘米，老师这个时候就可以点题，利用二次根式就可以表达出半径是厘米.这样的教学方式，能够让学生直观的了解到二次根式的概念，以及为什么要学习二次根式.

关于第二个问题，可以告诉学生：1. 由正数的平方根概念知道（a > 0）和-（a > 0）是成对出现的，±（a ≥ 0）作为一个数看待，仅是性质符号不同，它们作为概念的本质属性是一样的，所以“-（a ≥ 0）”是二次根式（当然，要回避概念定义法的规则）.2. 定义二次根式概念时，没有列举出外延中带负号的部分，考虑到了前述第一个理由，也考虑到了学生已有代数和这个基础知识，可以理解将性质符号与运算符号进行转化的道理，定义二次根式时，等同关注有负号的情形，既无价值，又显浪费.3. 在举例环节，增加“4的平方根是多少？”“a（a ≥ 0）的平方根如何表示？”两个小问，然后抽象出型如“±（a ≥ 0）”的式子叫二次根式.-（a ≥ 0）是不是二次根式，这并不是一个实际问题，大部分学生不会在概念上纠结，因此老师可以将重点放到计算上，总之，无论采用哪种办法，必须符合逻辑，切合学生实情.

关于第三个问题，可以向学生多讲解些相关的题目，让学生们加深理解和记忆，在课本和相关的试题册中，这样的题目有很多.

我们讨论上述问题，并不代表上述观点要在课堂之中一一呈现，但上述问题始终客观存在，教师是不能在自觉状态下给回避掉的，况且，教材的严谨性也值得教师理解和关注.对于二次根式概念教学中容易忽略的问题，应该从教师和学生两个方面进行考虑，教师做到心中有数，应对有理，总能弥补、避免课中的缺憾.