三类数学解题思想方法在教学中的应用

张孝安

数学解题思想，就是在解答数学试题中，对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识，是数学的灵魂。数学解题思想方法是从数学解题中提炼出来的数学学科的精髓，是将数学知识转化为数学能力的桥梁。

初中数学知识整体结构覆盖了辩证思想的理念，凸显出数学基本概念和知识所代表的实体，与抽象的数学思想方法之间的相互关系。数学教材各单元之间相互渗透的关系，升华为具有普遍意义的一般规律，便形成相对的数学思想方法。数学解题思想方法确立后，可以及时调整具体结论的数学试题，并以其为指引将数学试题灵活地运用到一切适合的范畴中去解决问题。它不仅会对数学思维活动、数学审美活动起着指导作角，而且会对个体的世界观、方法论产生深刻影响，实现思维能力和思想素质的飞跃。

初中数学中蕴含多种的数学思想方法，突出这些基本解题思想方法，就狠狠抓住了初中数学知识的精髓。本文以实例说明数形结合、分类讨论、转化三类最基本的数学解题思想方法在教学过程中的巧用。

一、数形结合思想

數形结合是一种重要的数学思想方法，其应用广泛，灵活巧妙。我国著名数学家华罗庚教授说，数缺形时少直观，形无数时难入微，这是对数形结合的作用进行了高度的概括。在数学教学中，许多定律、定理及公式等常可以用图形来描述，而利用图形的直观，则可以由抽象变具体，模糊变清晰，使数学问题的难度下降，从而可以从图形中找到有创意的解题思路。

例题：如图，M、N、P、R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN=NP=PR=1，数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，∣A∣+∣B∣=3若 ，则原点可能是（ ）。

A.M或R B.N或P C.M或N D.P或R

析解：若原点为M点，由题意知 0有理性的排除是解决问题的关键。本题利用数形结合思想，先假设某种情况正确，经过推理得结论，当然本题也可以利用特殊值来解决。

二、分类讨论思想

分类讨论思想是根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将数学对象区分为不同种类的数学思想，对数学内容进行分类，可以降低学习难度，增强学习的针对性。因此，在教学中应启发学生按不同的情况去对同一对象进行能够分类，帮助学生掌握好分类的方法原则，形成分类的思想。

例题：已知方程 m2x2+（2m+1）x+1=0有实数根，求m的取值范围。

析解（1）当 m2=0时，即m=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x=-1 ；

（2）当 m2≠0时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件可得

△=（2m+1）2-4m2=4m+1≥0，即m≥-14且 ，m2≠0

综（1）、（2）可得， m≥-14。

在解题时，我们发现，很多同学会从（2）直接开始而且会忽略 m2≠0的条件。因此，字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。一般设置问题的方式有两种（1）前置式，即二次方程；（2）后置式，即两实数根，这都是表明是二次方程，不需要讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求，本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。

三、转化思想

转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。

解新定义运算的关键是理解新运算符号的含义，按照新定义的运算规律、法则，把陌生的问题转化为熟悉的问题进行解决。

从上述实例可见，数学解题思想是数学知识的基础和精髓，而数学方法则使数学思想得以具体实施，二者相辅相成。虽然课本上没有专门的章节介绍数学解题思想方法，但是它隐含在概念的形成、公式的推导、法则的论证及习题的解决等过程中。初中学生数学知识比较贫乏，抽象思想能力也较为薄弱，只要能将数学知识作为载体，把数学解题思想方法的教学渗透到数学知识的教学中，教师把握好渗透的契机，重视数学概念、公式、定理、法则的提出、形成、发展等过程，有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学之中的种种数学解题思想方法，可以比较顺利地完成解题的过程。因而学生要用数学解题思想方法武装自己，使自己真正成为学习数学的主人。