再谈“对一道高考试题的质疑与探究”

浙江省温州中学　(325014)　吴时月



再谈“对一道高考试题的质疑与探究”

浙江省温州中学(325014)吴时月

抽象函数的对称性、周期性是高中数学的重点内容之一，这类问题由于抽象程度高，解答过程灵活，不仅学生难以把握，老师在命题时也会经常出错．近期，笔者在查阅文献时，看到文【1】中的“对一道高考试题的质疑与探究”，深有感触，并对此类问题进行更深入的思考，作为对文【1】探究的继续，现记述如下．

一、真题再现

(2005福建理)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0，则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是().

A．2B．3C．4D．5

命题组提供的流行错解：f(2)=f(5)=0,f(0)=f(3)=0,f(2)=f(-1)=-f(1)=-f(4)=0，所以f(1)=f(4)=0．所以答案选D．

(2005福建文)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)=0，则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是().

A．5B．4C．3D．2

命题组提供的基本解法：f(2)=f(5)=0,f(2)=f(-2)=f(1)=f(4)=0，此解法则是正确无疑，相比于理科题，条件仅由奇函数变成偶函数，结果则是大相径庭．

二、错题剖析

此题是在讲授抽象函数的内容时经常遇到的一道错题，下面先提供学生的两种解法：

解法一、二的图像延拓如图1：

图1

两种解法的答案为什么不一致呢？很多学生都找不出错误的地方.究其原因，是因为f(x)是偶函数的条件多余，从而导致自相矛盾的表达式；或者把条件f(x+1)+f(x)=1改为f(x+2)=f(x)，则函数的表达式就唯一确定了，深究原因，是因为条件f(x+1)+f(x)=1在给出周期性的同时，还可以利用此条件得到相应区间的表达式，造成自相矛盾的结果. (或者说：f(x+1)+f(x)=1只是f(x+2)=f(x)的充分不必要条件，而不是充要条件)

以下的例题也是很多复习参考书中经常出现的错题：

A.是增函数,且f(x)<0

B.是增函数,且f(x)>0

C.是减函数,且f(x)<0

D.是减函数,且f(x)>0

只要稍加修改，以上错题便可成为典型的例题：

A.是增函数,且f(x)<0

B.是增函数,且f(x)>0

C.是减函数,且f(x)<0

D.是减函数,且f(x)>0

A.是增函数,且f(x)<0

B.是增函数,且f(x)>0

C.是减函数,且f(x)<0

D.是减函数,且f(x)>0

以典型例题3″为例，下面提供两种常用的解法：

解法一、二的图像延拓如图2：

图2

三、典例探究

典型例题5定义在R上的奇函数f(x)满足f(3+x)=f(3-x)，若当x∈(0,3)时，f(x)=2x，则当x∈(-6,-3)时，f(x)=() .

A. 2x+6B. -2x+6C.2x-6D.-2x-6

典型解法一：由f(x+6)=f(-x)，f(-x)=-f(x)得f(x+6)=-f(x).当x∈(-6,-3)时，x+6∈(0,3)，所以f(x+6)=2x+6=-f(x)，即f(x)=-2x+6.选B.

典型解法二：当x∈(3,6)时，6-x∈(0,3)，所以f(x)=f(6-x)=26-x,当x∈(-6,-3)时，-x∈(3,6)，所以f(x)=-f(-x)=-2x+6.

解法一、二的图像延拓如图3所示：

典型例题5′定义在R上的奇函数f(x)满足f(3+x)=f(3-x)，若当x∈(0,3)时，f(x)=2x，当x∈(-12,-9)时，求f(x)的表达式.

解：当x∈(-12,-9)时，x+12∈(0,3)，所以f(x+12)=212+x=-f(x+6)=f(x),即当x∈(-12,-9)时，f(x)=212+x.

此题背后隐藏着抽象函数的另一个重要性质(如图4)：既有对称中心，又有对称轴的函数，必有周期. 具体性质如下：

性质1若函数y=f(x)关于点(a,y0)和直线x=b对称，则4|b-a|是函数y=f(x)的一个周期.

性质2若函数y=f(x)关于直线x=a和x=b对称，则2|b-a|是函数y=f(x)的一个周期.

性质3若函数y=f(x)关于点(a,y0)和点(b,y0)对称，则2|b-a|是函数y=f(x)的一个周期.

四、反思总结

每一个数学问题都有它的数学本质，面对一个问题，如果只看到问题的表层，就无法深入到问题的内核，看不透问题的本质，正所谓“不识庐山真面目，只缘身在此山中” .所以，在平时的解题和探究过程中就应该通过问题的解决揭示问题的本质，使数学问题的解决变得简单而自然．

参考文献

[1] 马进才.对一道高考试题的质疑与探究[J].数学通讯,2013(9).