化静为动，动中求定——几何画板在中考动态问题教学中的运用

江西省南昌市青山湖区教研室　(330039)　范云波



化静为动，动中求定
——几何画板在中考动态问题教学中的运用

江西省南昌市青山湖区教研室(330039)范云波

几何画板在辅助数学教学方面的独特优势开创了教与学的新方式，有助于教师成为学生学习的引导者，有助于学生成为主动获取知识的探索者.本文结合教学案例，从数形结合、实验探究、辅助变式、原创欣赏四个方面来探讨几何画板在初中数学教学中的实践运用，旨在为广大数学教师后期中考复习及今后的数学教学提供一些借鉴或启示.

1.揭示数形关系，优化思维品质

华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微”，也就是说数与形之间相辅相成：以形助数，可以化抽象为直观；以数辅形，可以化直观为精确.在传统的数学教学中，因受教学条件的限制，数与形很难真正地完美结合，特别是有些蕴藏在数量关系背后的几何意义很难直观地展现出来.而几何画板凭借其强大的功能优势弥补了这一不足，能化隐为显，化静为动，直观地反映数、形的同步变化，为学生提供一个探索和构建数学模型的平台，从而帮助学生优化思维品质，简化解题过程，提高学习效率.

例1 (江西2015中考卷T6)已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)过(-2，0),(2，3)两点，那么抛物线的对称轴().

A.只能是x=-1B.可能是y轴

C.在y轴右侧且在直线x=2的左侧

D.在y轴左侧且在直线x=-2的右侧

图1 图2

评析：通过几何画板演示不难发现例1是一个错题(见上图1，图2)，数形结合思想使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，让抽象思维与形象思维结合起来，用这种思想指导，一些几何问题可以用代数方法来处理，一些代数问题又可以用几何图形帮助解决，最明显地表现是利用直角坐标系将几何问题与代数问题结合联系起来,这种思想是近年来中考的热点之一.

图3

例2(江西2015中考卷T14)如图3，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为．

几何画板将数、形之间的关系动态地展示出来，活跃了学生的思维活动，使抽象的数学知识变得生动形象，容易接受.

2.探究数学实验，把握问题本质

数学实验作为一种新颖的数学研究方法，已成为中学数学学习的一种新形式.进行数学教学时，既要关注数学内容抽象化、形式化的一面，还要关注数学发现过程中经验化、具体化的一面，为此可以利用几何画板进行数学实验，辅助学生把握数学问题的结构特点，认清数学本质.

图4

例3如图4，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P从起点B出发，沿BC、CD逆时针方向向终点D匀速运动．设点P所走过的路程为x，且线段AP、AD与矩形围成的图形面积为y，则下列图像能大致反映y与x的函数关系的是().

评析：利用《几何画板》工具把静态的知识动态化，抽象的知识具体化，改变了教师一贯的解决例题的教学方法，让学生亲身体验，自主探索，在学中做，在做中学，激发学生的创新思维，同时培养学生主动探索研究、动手操作实践的能力，培养学生创新精神和创造能力， 提升了思维活动的层次，培养了数学学习的基本素质.触类旁通，学习方法的迁移也将有助于其它内容的学习，从而整体地提高学生的学习能力．

例4在正方形ABCD中，点P是CD边上一动点，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F，如图5．

(1)请探究BE、DF、EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系？若点P在DC的延长线上，如图6，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢，如图7，请分别直接写出结论；

(2)就(1)中的三个结论选择一个加以证明．

图5 图6 图7

评析：规律开放探索问题是指根据已知条件或所提供的若干特例,通过观察、类比、归纳，揭示和发现题目所蕴含的本质规律与特征，得到一般性结论的一类探索性问题.考查的问题一般包括数学命题、式子、图形等，探究的结果一般要求能运用代数式、方程、函数等进行描述. 此类题有助于培养学生观察类比归纳总结的能力,提升学生从特殊到一般思想的应用意识.在例4教学时，可以先用“几何画板”课件进行演示，通过点击不同的按钮来改变线段的长度，看BE、DF、EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系，然后引导学生归纳出隐藏在现象背后的规律.这些实验操作让学生体验了由特殊到一般、由一般到特殊的数学研究过程.几何画板所呈现的丰富的动态图形，极大地开阔了学生的视野，给学生提供了更多“发现”的机会.

3.辅助变式教学，提升课堂效率

变式教学是促进数学学习的一种有效的教学方式，长期以来被数学教师广泛地用于教学之中.在数学变式教学中，利用几何画板从不同层次、不同角度、不同途径、不同背景这四方面变更数学对象的内容或形式，引导学生从变化的现象中抓住不变的本质，从不变的本质中探索变化的规律，让学生经历数学知识的发生、发展及形成的过程，强化对知识结构的认识，增加思维活动的经验，提高分析问题和解决问题的技能.

例5(江西2015中考卷T6改编)已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴有两个交点x1、x2且-2≤x1≤0, 2≤x2≤3点，抛物线的对称轴与x轴交点的坐标为(x，0)，则().

A. -2≤x≤0 B. 2≤x≤3

C. 0≤x≤1.5D. 0≤x≤2

评析：通过给学生一些变式训练有助于培养学生分析问题和解决问题的能力,提高逻辑思维能力和发展创造性思维能力,训练学生揭示各方面知识内在联系和规律,加深知识的理解和应用并使知识融会贯通.

评析：这题是一个结论开放探索问题.这类题有助于培养学生综合分析问题和解决问题的能力,提高逻辑思维能力和发展创造性思维能力,充分提升学生类比思想与转化化归的思想.

例7(原创)如图8，在Rt△ABC中，∠C=90°, ∠B=30°,AC=1,CD⊥AB，垂足为D,现将△ACD绕D点顺时针旋转角α(0°≤α≤360°)，得到△A′C′D, 旋转时间为t秒,△ACD绕D点旋转的角速度ω=10度/秒.

(1)旋转时间t=秒时，A′C′∥AB;

(2)△ACD绕D点顺时针旋转一周(360°)，斜边AC扫过的面积为.

(3)如图9，连接A′C、 C′B.

②当t>9时，上述结论还成立吗？如成立直接写出比值，不成立请说明理由.

图8 图9

评析：在初中阶段存在一些典型的几何变换问题，由于传统的变式教学无法直观、形象地演示图形的变化过程，使得学生的认知不能深入到问题的内部本质，此时可借助几何画板的几何变换、动画等功能，将几何图形因条件改变而变化的过程从不同角度呈现出来.尽管图形的部分条件发生变化，但解题思路依然没变，其中一个直角三角形是由另一个直角三角形经过旋转而得到.利用几何画板的复制和动态模拟功能，可以从复杂图形中分离出基本模型，并使其与原图形保持同步变化，这样有助于学生认识图形，学会从基本模型入手寻找解题的突破口，从而收到触类旁通、举一反三的效果.

总之，在数学教学中，强调人人做数学，这既是新《数学课程标准》的基本要求，也是素质教育面向全体学生的具体落实.实践证明，应用《几何画板》工具进行初中几何教学是激发学生学习兴趣，促进学生主动探求知识，培养学生能力，不断增长智慧的有效途径. 但如何在教学中恰到好处地运用几何画板，更好地优化数学课堂教学，仍需要我们一线老师不断地去探索去努力.