双对称图像函数的周期及其应用

广西岑溪市城东三巷63号　(543200)　苏进文



双对称图像函数的周期及其应用

广西岑溪市城东三巷63号(543200)苏进文

双对称图像是指函数的图像既是轴对称图形同时又是中心对称图形或图像有两条对称轴或图像有个对称中心的函数图像. 本文给出这类函数的图像对称与周期之间的关系，并举例说明其应用.

事实上，容易证明下面两个结论：

引理1函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称⟺f(a+x)=f(a-x)⟺f(a+x)是偶函数.

引理2函数y=f(x)的图像关于点(a,0)对称⟺f(a+x)=-f(a-x)⟺f(a+x)是奇函数.

定理1若函数y=f(x)的图像关于直线x=a和点(b,0)(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4(a-b)是它的一个周期.

证明：因为函数y=f(x)的图像关于直线x=a和点(b,0)(a≠b)对称，由引理1及引理2知，f(a+x)=f(a-x)，f(b+x)=-f(b-x).所以f[x+4(a-b)]=f[a+(3a-4b+x)]=f[a-(3a-4b+x)]=f(4b-2a-x)=f[b+(3b-2a-x)]=

-f[b-(3b-2a-x)]=-f(2a-2b+x).=-f[a+(a-2b+x)]=-f[a-(a-2b+x)]=-f(2b-x)=-f[b+(b-x)]=f[b-(b-x)]=f(x).故f(x)是周期函数，且T=4(a-b)是它的一个周期.

定理2若函数y=f(x)的图像关于直线x=a和x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2(a-b)是它的一个周期.

证明：因为函数y=f(x)的图像关于直线x=a和x=b(a≠b)对称，由引理1知，f(a+x)=f(a-x)，f(b+x)=f(b-x).所以f[x+2(a-b)]=f[a+(a-2b+x)]=f[a-(a-2b+x)]=f(2b-x)=f[b+(b-x)]=[b-(b-x)]=f(x).故f(x)是周期函数，且T=2(a-b)是它的一个周期.

定理3若函数y=f(x)的图像关于点(a,0)和点(b,0)(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2(a-b)是它的一个周期.

证明：因为函数y=f(x)的图像关于点(a,0)和点(b,0)(a≠b)对称，由引理2知，f(a+x)=

-f(a-x)，f(b+x)=-f(b-x).所以f[x+2(a-b)]=f[a+(a-2b+x)]=-f[a-(a-2b+x)]=-f(2b-x)=-f[b+(b-x)]=f[b-(b-x)]=f(x).故f(x)是周期函数，且T=2(a-b)是它的一个周期.

下面例举上述定理的应用.

例1偶函数f(x)的定义域为R，且f(x+1)是奇函数，若f(1)=-2，则f(7)=().

A．-2 B．-1 C．1 D．2

解:由题意知，函数y=f(x)的图像有一条对称轴x=0和一个对称中心(1,0)，由定理1知，4是函数y=f(x)的一个周期. 所以f(7)=f(-1+4×2)=f(-1)=f(1)=-2，故选A.

例2定义在R上的函数y=f(x)满足f(x)=f(-x)，f(1+x)=f(1-x)，当x∈[-1,1]时，f(x)=x3-cosπx，则f(2015)的值为().

A.-1B. 0C. 1D. 2

解:依题设条件，函数y=f(x)的图像有两条对称轴x=0和x=1. 由定理2知，2是函数y=f(x)的一个周期. 则f(2015)=f(1+2×1007)=f(1)=1-cosπ=2，故选D.

例3设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2x+1)是偶函数，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2016)=.

例4函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则().

A．f(x)是偶函数B．f(x)是奇函数

C．f(x)=f(x+2)D．f(x+3)是奇函数

解:由f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，由引理2知，函数y=f(x)的图像有两个对称中心(1,0)和(-1,0)；由定理3知，4是函数y=f(x)的一个周期. 故f(x+3)=f(x-1+4)=f(x-1)是奇函数，选D.

例5奇函数f(x)的定义域为R，若f(x+2)为偶函数，且f(1)=1，则f(8)+f(9)=.

解:由题意知，函数y=f(x)的图像有一个对称中心(0,0)和一条对称轴x=2，且f(0)=0，由定理1知，8是函数y=f(x)的一个周期. 又f(1)=1，所以f(8)+f(9)=f(0+8)+f(1+8×1)=f(0)+f(1)=1.