高考数学应试话“运算”——2015年浙江高考数学文科压轴题的阅卷反思

浙江省绍兴中国轻纺城中学　　朱旭苑　　(邮编：312030)



高考数学应试话“运算”
——2015年浙江高考数学文科压轴题的阅卷反思

浙江省绍兴中国轻纺城中学朱旭苑(邮编：312030)

摘要通过对2015年浙江高考数学文科压轴题的解法探讨，揭示命题专家的良苦用心与测试目的——检测考生数学运算能力(代数式变形等)、分类讨论思想与不等式求解能力的掌握水平，以阅卷反思的形式展示应试者暴露出的数学教学在运算能力训练中存在的严重现象，以教学对策的形式引起一线教师的关注与实践.

关键词分类讨论；数形结合；运算规则

高考数学应试最核心的两大能力是审题能力与运算能力，审题能力决定着求解的正确方向，运算能力决定运算的简捷性与正确性，2015年浙江高考数学文科最后一题的求解反映目前学生普通存在这两方面的弱势，成为进一步数学学习的最大障碍．

1问题呈现

设函数f(x)=x2+ax+b,(a,b∈R).

(Ⅱ)已知函数f(x)在[-1,1]上存在零点，0≤b-2a≤1,求b的取值范围.

(Ⅰ)思路配方——找对称轴——分类——画图——写条件——求解.

图1

图2

图3

图4

所以g(a)=

(Ⅱ)解法1f(x)在[-1,1]上存在零点，

图5

如图5，

解法2f(x)=x2+ax+b的两零点分别为s、t,则s+t=-a,st=b，

0≤2s+2t+st=b-2a≤1，

令m=t+2,m∈[1,2]，

2阅卷反思

从上述问题求解过程所呈现的内容来看，代数式的运算是核心，不论是配方寻找对称轴，还是分类求最值中的不等式求解，虽然都是基本的运算，但阅卷过程中看到的现象值得反思：

(1)配方法是高考数学第一考，今年浙江高考数学文科第20题充分印证了这一点，很多考生突破不了这一关，出现的错误有：

(3)中学里关于零点问题的教学思想与大学命题教师的零点测试思想大相径庭，考生解法大都是解法1，看不到有用解法2的，一方面可能由于文科生的数学思维的局限，另一方面也说明中学数学教学的现状，方程与不等式思想还比较欠缺；

(4)可喜的是，分类思想在考生中普遍存在，考生虽然不能求解完成此题，分类讨论的解法结构大都能呈现，比如，第(1)问，大都能根据对称轴关于区间[-1 ，1]分成三类或四类进行讨论；第(2)问，根据零点个数，分成1个零点，2个零点进行布列不等式条件，只是遇到不等式时，求解方法和过程不能过关；

(5)数形结合思想的运用喜忧参半，有许多考生在第(1)问中针对区间[-1 ，1]的分类讨论中分别画出图象，帮助自己理清思路，第(2)问中针对不等式组，借用线性规划的方法画出图象，然而，更多的考生不能运用数形结合的思想方法，在列出表达式后不知所措，止步不前.

3教学对策

(1)强化运算规则的正确使用

强化观察运算方向的自觉性，运算中自觉观察数学式子(方程、不等式、代数式、三角式、解析式等)的结构，确定运算方向．观察中多思考，慢思考，细思考，观察式子结构有何特点；挖掘式子结构隐藏的东西，从中发现可转换的信息，可转换的方向，并将所学的数学思想方法融入其中；数学是简洁的，要使数学运算简洁，则在观察运算结构的自觉性的基础上提升运算要求，不断地思考每一步的运算是否简洁，结果是否简洁，不断地反思运算方向是否正确，从而形成一种驾驭各类运算的能力！

(2)强化不等式运算的熟练性

不等式的运算能力是一种综合能力，它与记忆力、理解力、数学思维能力紧密相联，相互渗透，相互支撑．在数学教学中，教师应在设计问题、组织内容上下功夫，让学生亲身经历知识的发生、发展和形成过程，把死的知识讲活，遵循学生的认知规律，深化学生对不等式知识的认识和理解，运用多种方法培养学生解决不等式问题的能力．

(3)强化函数与不等式的综合训练

函数与不等式紧密相联，研究函数性质可能要用到不等式的求解与证明，2015年浙江高考理科函数不等式问题与文科背景相同，但设问角度发生了变化：已知函数f(x)=x2+ax+b,(a,b∈R),记M(a，b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值，

(Ⅰ)证明：当|a|≥2时，M(a，b)≥2;

(Ⅱ)当a、b满足M(a，b)≤2，求|a|+|b|的最大值.

由于问题中涉及绝对值以及二元函数符号，使应试者望题兴叹，测试结果表明，此题平均得分只有2分左右，上述文科压轴题的平均得分在7分左右(满分15分)，可见函数与不等式的综合训练任重道远！

参考文献

1余继光.数(式)运算中结构意识的缺失与反思[J].中学数学，2014(3)

(收稿日期：2016-01-02)