对一道圆锥曲线试题的思考

福建省龙海第一中学　　苏艺伟　　(邮编：363100)



对一道圆锥曲线试题的思考

福建省龙海第一中学苏艺伟(邮编：363100)

数学学科的特点之一是理性思维.理性思维不仅表现在解题过程中能够灵活地思考,用思考换计算,从而简捷地解决问题,还表现在能够摒弃传统的就题解题,对题目的条件作出更深入的分析,能够推广试题的结论,能够对试题有更深入的了解.本文以一道圆锥曲线试题为例,分析其题目条件隐含的规律,从而将其推广到一般情况,并进行了较为深入的思考.

分析本题以椭圆为载体考查圆锥曲线中定值问题的证明.由于要证点F2到直线QT的距离为定值,故先求出直线QT的方程,再利用点到直线的距离公式.而要求出直线QT的方程,只需圆P与圆F2的方程相减即可.因此本题应该以P的坐标表示出圆P的方程,再利用点P的坐标满足椭圆方程这一性质加以处理.

图1

1思考1

通过上述解题过程可以发现,圆F2的半径平方恰好是椭圆中的a2+b2,点F2到直线QT的距离恰好是a.可否推广到一般情况?如果要使得点F2到直线QT的距离恰好是定值,则圆F2的半径与椭圆方程存在什么样的关系?

2结论

3思考2

=-8mtc+4c2-4t2+8b2+8b2m2

将分子中的c2替换成a2-b2,得

这样就证明了两圆必定会相交.

4思考3

上述结论是否可以类比到双曲线中？

通过上述分析,我们似乎也可以得到类似的结论:

那么实际上也是如此吗?下面笔者用一道具体的题目进行检验.

图2

图3

这就说明上述结论不能类比到双曲线.

5思考4

上述结论在双曲线中不能成立的原因在于两圆根本无公共点.为什么两圆无公共点?

分析

两圆方程相减得直线QT方程为

=-8mtc+4c2-4t2-8b2-8b2m2

将分子中的c2替换成a2+b2,得

这样就证明了两圆无公共点.

也就是说上述结论在椭圆中成立，但是在双曲线中却是不成立的.

6结束语

通过上述四个思考,我们摒弃了传统的就题解题,对题目有了更深刻的认识,提升了思辨能力和数学素养.这就启发我们在实际解题中,不能搞题海战术,不能靠押题猜题,而是应该着重培养学生分析问题,解决问题的能力,多想几个为什么,多钻研,多反思.唯有如此,才能将繁重的脑力劳动转化成一种快乐的享受和智能的挖掘.

(收稿日期：2016-02-17)