探讨类比理念在高中数学解题和课堂教学中的应用

2016-05-15江苏省口岸中学戴锋

中学数学杂志 2016年7期

关键词：线面区间平面

☉江苏省口岸中学戴锋

☉江苏省口岸中学戴锋

一、简述类比理念的相关知识点

类比就是研究新对象时，联想与其相似的已知对象的相似属性，获得的其他属性也有类似的推断，从而发现新的思维方法，一般模式如下：

对象A有属性：a，b，c，d；

对象B有属性：a，b，c；

所以，对象B有属性d.

由此可知，类比思维推出的结论存在或然性，或者正确、不正确、不完全正确，类比思维是基于联想的状态下，以相似性为导向，提出猜想的使命，达到发现新规律的目的.不管类比结论如何，其对我们科学认识活动提供富有创意的思维模式.因此，有人将类比称作由已知通往未知的桥梁.类比思维包含类比和联想两个方面的含义，前者是通过新信息引起学习者回顾已有知识；后者是指在新旧信息间找到相似、相差异的地方.

二、类比思维在高中数学解题中的应用分析

高中数学教学过程中，数学老师会采用逻辑推理、演绎推理等不同教学和解题方法帮助学生学习、掌握解题技巧，其中，类比推理思维在整个数学教学过程中占据重要地位，它是老师加强学生对新知识和概念记忆最有效的方法，充分激发学生的学习潜能，提升学生的学习兴趣和积极性.高中数学解题过程中，为探寻问题的一系列线索，一般必须借助类比法.典型的类比法应用方法证明这一结论.在对高中数学题目解答时，常使用类比法寻找解题思路和方法.

微子启是商纣王之庶兄，这“庶”是何种之庶呢？是异母之庶，还是同族同宗之庶呢？微子和箕子都臣服于周武王，从某种角度来说，他们还支持周武王，以此，我们是否可以推测，微子启和箕子与商王纣的关系并不是那么亲近的呢？也就是说，这个庶不只是异母之庶，而是同族同宗之庶，因此，当周武王伐纣灭商之时，其二人并没有表现出同归于尽之意。宋之始祖实际上是微子启，而微子启与商纣王不是同一个母亲所生，我们认为，这也许是解开宋之得姓之疑惑的一个关键所在。

三、线面垂直类比定积分解题方法

高中老师进行数学教学，有一种直线与平面之间的关系，称作线面垂直.这个概念听上去比较抽象，无法像其他几何关系一样快速形成图像.其实，可以借助类比理念去假设，能够轻松理解直线与平面的关系.

定义1：已知直线l垂直于面a上任意一条直线，称作这条直线与该平面垂直.

通过该定义可以准确指导什么是线面垂直，如果仅依据定义说明线面垂直，无法达到应有的效果.因线动成面，一个平面包含多条直线，无法一一验证每条直线与l垂直.解决数学问题思考：若两条相交直线确定一个平面，因此得出线面垂直判断定理.深入思考：若已知直线垂直于平面，从而得出该直线垂直于平面上任意一条直线.

案例1如图1所示，已知PA⊥平面ABC，⊙O的直径为AB，C是该圆上的任意一点，求证：PC⊥BC.

证明：因为PA⊥平面ABC，

所以PA⊥BC.

因为AB是⊙O的直径，

所以AC⊥BC.

所以BC⊥平面ACP.

所以PC⊥BC.

图1

案例2如果将图2中的两条相交直线m、n的位置改变一下，依然保障l⊥m，l⊥n，直线l还垂直于平面α吗？

让学生清楚地了解如何判定已知直线与一个平面是否垂直，取决于在该平面内是否能找到两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否与已知直线存在公共点，这是无关紧要的.

教师正确引导学生依据试验结果得到直线与平面垂直的判断方法.指导学生从文字语言、符号语言等多个方面表述直线和平面垂直的判定定理.

文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则表示这条直线与此平面垂直.

图2

归纳总结：将“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.

定义2：假设函数f（x）在区间［a，b］上有界，在［a，b］中任意插入n-1个分点，a=x0＜x1＜x2＜…＜xn-1＜xn=b，将区间划分为n个小区间［x0，x1］，［x1，x2］，…，［xn-1，xn］，各个小区间长度分别为Δx1=x1-x0，Δx2=x2-x1，…，Δxn=xn-xn-1.在每一个小区间［xi-1，xi］上任意取一点εi（xi-1≤εi≤xi），记作λ= max｛Δx1，Δx2，…，Δxn｝，无论对［a，b］怎样划分，也不论其小区间［xi-1，xi］上点εi如何取法，如果当λ→0时，和s总区域确定的极限I，这个极限称为函数f（x）在区间［a，b］上的定积分，

案例3如图3，假设A在平面BCD内的射影是直角三角形BCD斜边BD的中点O，AC=BC=1（1）AC与平面BCD所成角的大小；（2）二面角A-BC-D的正切值；

（3）异面直线AB和CD所成的

角.

解析：（1）因为AO⊥面BCD，所以AO⊥CO，所以∠ACO为AC与面BCD所成角.