莫让浮云遮望眼，撩开雾纱见真颜——一道解析几何模拟试题的深度探寻

☉浙江省杭州师范大学附属中学苏立标

莫让浮云遮望眼，撩开雾纱见真颜
——一道解析几何模拟试题的深度探寻

☉浙江省杭州师范大学附属中学苏立标

一、问题的呈现

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点A作AP//OM交椭圆C于点P，求证：BP//ON.

图1

（Ⅱ）证法1：如图2所示，由题意可设直线OM，ON的方程为y=kOMx，y=kONx.

图2

【点评】本试题虽然是一道模拟试题，但题目立意之新、内涵之广、选材之妙不得不令人叹服.以新颖的视角、创新的手法进行精心地构思，彰显新课程的理念，所以是一道创新而不落俗套的好试题，有利于甄别学生的思维层次，具有较好的区分度.这个问题反1（a＞b＞0）一组性质，不仅设计独特新颖，而且具有推广与引申的价值，可以演变出一组妙趣横生的结论.（本文中的字母e均为离心率）

二、问题的逆向探究

“探幽重门深锁无寻处，疑有碧桃千树花.”对于一个数学问题，需要多角度的剖析、探究.对于一个数学问题的探究思考，最基本的切入点就是对条件与结论进行变式思考，可以考虑逆命题是否成立.

图3

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若椭圆C上的点P满足：AP//OM，且BP//ON，

三、问题的一般化探究

为了能把问题看得更清楚些，我们往往考虑把问题进行一般化情形研究，容易得到下列结论：

P，求证：BP//ON.

【分析】由于kPAkPB=e2-

1，所以只需要证明kOMkON=e2-1.

图4

四、问题的本原探究

1.苏立标.博观而约取，厚积而薄发——以e2-1为定值的圆锥曲线高考试题赏析［J］.中学数学（上），2013（3）.G