不同版本教科书“椭圆”内容设置的比较研究

☉广东省东莞市第七高级中学蓝小军

不同版本教科书“椭圆”内容设置的比较研究

☉广东省东莞市第七高级中学蓝小军

圆锥曲线是高中数学的核心内容之一，体现了解析方法和代数方法在刻画平面曲线方面的强大作用，是体现数形结合的重要素材，它的许多几何性质广泛应用于生活、生产以及科学技术中．而椭圆内容的学习能够为后续学习双曲线和抛物线的内容提供基本模式和理论基础，具有重要的作用．为了使教师能更好地把握教材，提高椭圆部分的教学效果，本文拟对由北京师范大学出版社、人民教育出版社（A版）、江苏教育出版社、湖南教育出版社（以下分别简称北师大版、人教A版、苏教版、湘教版）中椭圆的内容编排设置进行对比研究，希望能对一线老师能有所帮助．

一、椭圆内容的总体设计

对4套数学普通教科书椭圆内容的总体设计比较，具体见表1.

表14套教科书椭圆内容的总体设计

湘教版第二章圆锥曲线与方程§ 2 . 1椭圆2 . 1 . 1椭圆的定义与标准方程2 . 1 . 2椭圆的简单几何性质生活中的圆锥曲线→实验→椭圆的定义→椭圆的标准方程→椭圆的几何性质实验→学而时习之→温故而知新

4套教材分别在既遵循新课标设计理念，以新颖的角度和手法呈现教学内容的同时，又不失自己独特的一面．

1.章节结构的比较

由表1可知，在文科数学中，4套教科书都将《椭圆》的内容安排在选修1-1中，在三个圆锥曲线中都是第一个讲授，都注重联系实际，注重对数学本质的认识探究，引导学生对概念的内涵、外延的讨论以加深对椭圆概念的理解，而且都是把本节内容分成两小节，前一小节主要是椭圆的定义及其标准方程，后一小节主要是学习椭圆的几何性质．在各个版本的教科书上圆锥曲线这章的内容顺序的编排上有所不同，苏教版是先椭圆之前已经把椭圆、双曲线、抛物线三个概念给出，再来具体研究椭圆，而其他版本教材则是直接由实验得出椭圆的定义．虽然在章节结构的呈现上有所不同，但各个版本都将《课程标准》设计理念融于教材编写之中，体现了新课程改革的要求．

2.教学内容的比较

（1）相同的地方有：

①4套教科书都推导了焦点在x轴上的椭圆的标准方程，然后再通过类比的方法得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程.

②在编写椭圆的性质时，都遵循了“范围→对称性→顶点→离心率”这四个部分的编写顺序．

（2）不同的地方有：

①对于椭圆定义中焦距在北师大版中用了F1F2，而其他版本教材中都用了|F1F2|.

②对于椭圆定义中为什么常数要大于焦距在北师大版中用了“思考交流”；而其他版本教材中没有这方面的介绍或设问，而是直接给出.

③在讲到利用平面直角坐标系研究椭圆的标准方程时，人教A版提到“类比圆的对称性建立圆的方程的过程，我们根据椭圆的几何特征选择适当的坐标系，建立它的方程”，而其他版本教材都没有提及为什么要这样建系，都是直接以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.

④较之其他版本教材，北师大版的教材提出了几个“思考交流”的问题，如“如何用几何图形解释b2=a2-c2？a，b，c在椭圆中分别表示哪些线段的长？”，湘教版亦在相应位置加入了旁白或注解等，这些都使得教材在内容设计上显得更为丰富和完整.

⑤在借助离心率刻画椭圆扁平程序时，北师大版只是作为“思考交流”观察图，当a为定值时，椭圆的形状的变化与c有怎样的关系？苏教版则作为“探究”内容：固定焦点，经过改变绳子的长度，观察椭圆的扁平程度来判断；人教A版则是通过保持半长轴长不变，改变半焦距来刻画椭圆的扁平程度；而湘教版则是在保持细绳长度不变的情况下，通过改变点F1，F2的位置，观的变化情况来反映椭圆的扁平程度．

⑥湘教版在提出长轴及短轴后又相继提出长半轴和短半轴的概念，它在每小节内容开始前都设置了一个数学小实验，强调数学实验的重要性，这是其他版本教材所没有的．而且湘教版教材在椭圆这节内容的编写中也是用了最多页面的．

3.设计意图的比较

4种版本的教材基本上都是在学生已经学过圆锥曲线之一——圆的定义及圆的标准方程的推导基础上，通过直观、形象的模型或教具，让学生从感性认识入手，操作确认，逐步上升到理性认识，进而形成正确的椭圆定义，然后再通过建系、设点、列式、化简等推导出椭圆的标准方程，再通过类比的方法得到了焦点在另一个坐标轴上时的标准方程，为后续学习双曲线、抛物线奠定的良好的基础．

相较于其他版本教材，苏教版设置了更为丰富的数学活动栏目，这些栏目既能开阔学生视野，激发学生的学习兴趣，又能培养学生的创新意识和探究能力．

二、椭圆内容的具体设置

1.概念的呈现方式

综观各种教科书，基本上都是通过创设情境，设置实例（或实验），充分调动学生已有的学习经验，让学生经历“观察—猜想—证明—应用”的过程，发现新的知识，又通过实际操作，使刚产生的数学知识得到完善，提高学生动手动脑的能力和增强研究探索的综合素质．

表2各套教科书椭圆概念的呈现方式

4个版本的教材都是现实生活中形似的椭圆模型作为概念的准备阶段，再通过实验的形式画出椭圆的图像，提炼出椭圆的概念，遵循了“适度形式化”的课程理念，符合学生的认知规律，使得“形式化”有了感性的基础，有利于培养学生的数学化能力，强化数学素养，深化了对数学本质的理解，到具体的环节又有一些不同的地方：

（1）北师大版教材在引言中用平面去截圆锥，由于截面与圆锥轴夹角的不同，引出了圆锥曲线的概念，并根据问题的难易情况和学生的认知水平，在正式章节中先画了个圆的轨迹，再用固定绳子的两端，用笔尖套住绳子画椭圆，既能使学生把新知识与旧知识进行对比，经历概念的形成过程，又能使其从整体上认识三种圆锥曲线的内在关系，有利于培养学生的数学化能力及强化数学素养．

（2）人教A版、苏教版则是通过用固定绳子两端，套上并移动笔尖，画出轨迹，在这个过程中，细绳的长度保持不变的基础上提出了椭圆的概念．

（3）湘教版在用笔尖套住绳子画椭圆轨迹前先用6个不同实验，观察得出了圆、椭圆、双曲线和抛物线的图像，再在这个基础上用笔尖套住细线画出了椭圆．

2.例题设置的差异

4套教科书都在知识内容出现后编排了数道例题，以达到对知识内容的应用和巩固、直到示范的作用．4套教科书例题的统计情况如表3所示（统计方法说明：按教材中有“例”的为准，凡有小题号的每个小题号按一题计算）．

表3各套教科书例题数量统计

从表3中可以看出，各版本教材的例题数量差异较大，如湘教版的例题数就是北师大版与苏教版例题数量之和，比人教A版与苏教版例题加在一起还多2道，教师在使用湘教版教材时需要处理好课时与进度之间的关系．从例题设置的类型特点来看：北师大教材中例题的编排以对新知识的练习巩固为主，也有涉及到对新知识的说明和引入，遵循了“从生活到数学”、“从简单到复杂”的规律；人教A版教材主要是对新知识的巩固练习和应用；苏教版的例题既注重新知识的引入，又注重练习的巩固，对新知识的实际应用也有充分的体现，但其例1是直接以椭圆为背景的“应用题”命题内容涉及面广，可能对于刚学椭圆知识的学生可能会产生一定的负面影响；而湘教版在例题形式相对比较单一、传统，其中把椭圆标准方程的推导作为例1来证明的教材和在椭圆的简单几何性质中出现了一道通过讨论直线与椭圆的位置关系来求参数取值范围的题目，这都是其他三种教材所没有的，但它的有些例题显得有些过时，与当下多样的高考试题尚有一定差距．

3.习题设置的差异

为叙述的方便，这里的“习题”是练习、习题的统称．“习题”是数学教材不可或缺的部分，让学生做相当数量的习题，对于学生更好地理解和掌握数学知识是必要的．表4从结构层次和数量两个方面统计了4套教科书的习题编排情况（习题数量统计说明：以教科书中有明确题号的题目为准，有小题号的每道小题按1道题目来计算）．

表4各套教科书习题统计表

每套教科书的习题编排特点如下：

（1）北师大版：习题数量共有27道题．从习题内容来看，每一个或两个知识后安排一次练习，每道习题紧扣本知识点的内容及例题，注重学生的巩固和练习；本节内容后安排的一次分为A、B组的梯度习题，其中A组题注重基础知识的练习巩固，是对练习题的加强的扩充，而B组题则注重加深推广，重在考查学生对新知识的应用能力．

（2）人教A版：习题数量在4套教科书中最少的．习题的编排较例题难度有所加大，有些题型在前面例题中并未出现，注重锻炼学生的思维能力；与北师大版一样，也在本节内容后安排一次A、B组习题，题目由易到难．另外“思考”、在适当位置的旁白、“探究与发现”等注重启发学生探索，有利于知识间的过渡，总体安排得当有序．

（3）苏教版：习题数量是4套教科书中最多的，共有68道题，这与其将椭圆习题部分编排为“感受·理解、思考·运用、探究·拓展”三个部分有关．从习题内容来看，也是每一个或两个知识点后安排一次练习，每道练习题都是紧扣本知识点的内容及例题，注重学生的巩固和练习；每节安排一次习题，分为“感受·理解”、“思考·运用”、“探究·拓展”三个层次，其中“感受·理解”中的题目注重基础，面向全体学生，“思考·运用”注重深化学生对新知识的理解，而“探究·拓展”则是对学有余力的学生提供富有挑战性的问题，提高学生数学素养，这样的编排既有利于教师对习题的把握，也有利于学生对自己的具体分层评价．但也因为其数量过多，所以教师在选取时必须要作适当的删减．

（4）湘教版：习题数量不多，整体难度不高．习题设置为“学而时习之”和“温故而知新”两个层次，其中“学而时习之”为基础知识回顾与巩固，“温故而知新”较之“学而时习之”题组难度有所增加，利于学生逐渐掌握知识，但其习题的探究性、开放性、操作性题型明显不足，难以满足实际教学的需要，势必拉大平时作业难度与测试难度之间的差距，因此教师可以根据实际教学的需要进行适当的补充．

三、总结

通过比较可以看出，4套教科书都是按照《课程标准》的基本理念和基本要求来选择和组织教学内容的，是对《课程标准》中的“内容标准”所涉及的基础知识的全面体现，教材内容相似度较高，但各版教材又同中有异，各有特点．

北师大版教材设置栏目种类较多，形式多样，难度适中，并且注重学生的运用实践和自主探索能力，有利于培养学生的数学学习兴趣和创新思维．

人教A版教材以本节开头提出的实际问题贯穿椭圆内容的始终，强调椭圆在实际生活中的应用；在适当位置加入旁白来对课本内容进行适当的解释和说明的做法，有利于学生更好地理解和学习．

苏教版教材编排注重基础，通俗易懂，题型广泛，习题编排层次性较强，让大部分同学都能“跳一下摘桃子”．

湘教版教材引用的例子涉及面较广，既注重新知识引入，又注重练习巩固，充分发挥其作用．

教材编写的立意、呈现方式等都能体现教材编者对数学教学的一种理想追求，但对比现实教学的时候就难免出现一些与高中教学实际情况相脱节的地方．综观4套版本教材对“椭圆”部分内容的设置各有优点，有许多相互借鉴的地方．教师在使用教材教学的同时也应该了解其他版本的教材的优点，结合本地区、本学校、本班级，在教学过程中根据实际教学环境需要、参考其他教材的处理方式和例习题等内容，对教材内容进行适当的重组、完善和删减，适当地，以期最大限度地发挥不同版本教材的优势，真正做到用教材而不是教教材．

1.中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（实验）［M］．北京：人民教育出版社，2007.

2.李延林，汪香志．普通高中课程标准实验教科书［M］．北京：北京师范大学出版社，2012.

3.钟劲松．普通高中课程标准实验教科书［M］．长沙：湖南教育出版社，2011.

4.苏教版高中数学教材编写组．普通高中课程标准实验教科书［M］．南京：江苏教育出版社，2013.

5.李英．高中不同版本教科书“指数函数”内容设置的比较研究［J］.数学教学研究，2011（10）.G