数学公式课的“四化”教学策略<br/>——以“两角差的余弦公式”为例

数学公式课的“四化”教学策略
——以“两角差的余弦公式”为例

2016-05-15江苏省启东市吕四中学李凯

中学数学杂志 2016年7期

☉江苏省启东市吕四中学李凯

数学公式课的“四化”教学策略
——以“两角差的余弦公式”为例

☉江苏省启东市吕四中学李凯

数学公式课教学普遍存在“轻证明，重应用；轻理解，重记忆”的弊端.相当数量的教师错误认为“数学公式就是为解题服务，至于会不会推导证明，是否知道其来龙去脉，那些都是次要问题”.这种认识其实是不对的，因为公式作为数学概念自身的某种属性反映，及其概念间属性的反映，是揭示数学联系的基本形式.其产生、发展的过程蕴藏着极其丰富的数学思想方法，这些数学思想方法对于学生的数学思维的形成与提升具有重要价值.比如，“两角差的余弦公式”，表面上看在重要考试中不会考查其推导证明的过程，看似推导证明过程可以省略，但实际上这个公式是一个母公式，是推导两角和、差、倍角等公式的基础，有了这一公式，三角函数才能真正实现由单角三角函数值的代数运算发展到由复角及其函数值的综合运算.它的基础性、思想性和公式结构的对称性十分突出，而两角差的余弦公式推导的教学，是渗透数学思想与方法、培养能力的过程.下面笔者就以这节课为例谈谈数学公式课的教学策略.

一、引入环节情境化

跟数学其他类型的课一样，公式课首先要体现的就是学习“必要性”的问题，即解决为什么要学的问题.我们之所以要学习新的知识，新的公式，一般都是基于实际的需求，比如，原来的公式已经不够用了，那么就应该引入新的公式，学习两角差的余弦公式也是基于这个原因.在此之前，对于特殊角的三角函数值学生已经掌握得非常充分，但对于其他角的三角函数值该如何求呢？比如，sin15°，cos15°，sin75°，cos75°等，这些角虽然不是特殊角，但可以用特殊角的和与差表示出来，也就是说这些角与特殊角有关.既然如此，那么这些角的三角函数值与特殊角的三角函数值有关吗？这就是学习这节内容的“必要性”，通过对必要性的展示，有利于激发学生学习的动力，解决数学学习的内驱力问题.那么如何展示学习的必要性呢？在引入的环境，我们不妨创设丰富的问题情境，即通过引入环节情境化来体现“必要性”.

问题情境：某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上，如图1所示，小山高BC约为30米，在地平面上有一点A，测得A、C两点间距离约为67米，从点A观测电视发射塔的视角约为45度.求这座电视发射塔的高度.

图1

更一般地说，当α，β是任意角时，能不能用α，β的三角函数值把α+β或α-β的三角函数值表示出来呢？

很多老师在引入中直接抛出问题“求cos150“的值，看似开门见山，直截了当，但与上述情境相比，缺少“实际需求”这个要素，基于实际需求的数学学习更具有活力.

二、发现过程合理化

公式课的第二个环节就是公式的发现过程.公式的发现从思维上讲就是一种自主的尝试与探索过程.当然，数学公式有时“隐藏得比较深”，不是很容易被学生发现，这就需要教师精心创设铺垫过程.

铺垫1：通过本题所用的诱导公式sin（π+α）=-sinα，以发现：角α的正弦和余弦等三角函数值与角自身的正弦和余弦有关，这里是否存在一种可能，那就是正弦、余弦的变化对三角函数值是否存在某种影响？

意图：本设计的目的在于让学生从三角函数、角及其交换的角度，提出适合于探究的问题，即既与原题有关，又体现出数学性，这是学生面对实际问题时数学意识的一种体现.

铺垫2：如果有人猜想sin（α+β）=sinα+sinβ，请问这个猜想正确吗？

意图：面对数学猜想，学生应当存在质疑的意识与态度，如果猜想有误，那么就可以在对错误分析的过程中避免同样的错误再次发生.

铺垫3：有人猜想sin（α+β）=msinα+nsinβ，cos（α+β）= pcosα+qcosβ，，其中m，n，p，q都是常数，你说这个猜想正确吗？

意图：猜想过程是复杂的，结果也是多元的.通过发散性提问，可以让学生扩大猜想范围，同时也提高猜想出现困难时的转换能力.

公式发现过程的引导要符合学生的知识规律与认知规律，问题的铺垫设计要注重层次性，环环相扣，从而进一步明确公式的合理性，并为后续的证明提供有用的线索.

三、证明方法多元化

公式的推导与证明是公式课的核心.经历证明的过程不仅可以揭示公式的来龙去脉，更为重要的是可以通过这一过程渗透数学思想方法，拓展学生的数学思维.在证明公式中，我们要尽量追求方法的多元化，既要尊重教材提供的证明方法，又要学会通过加强数学知识间的联系，引导学生探索其他证明方法.

几何法：让学生从几何的思路出发，通过将图2中的圆当成单位圆，然后通过割补的方法构造出新的直角三角形.同时得到：sin（α+β）=MC+CP1=BA+CP1=sinαcosβ+ cosαsinβ，cos（α+β）=OB-MB=OBCA=cosαcosβ-sinαsinβ.

意图：让学生获得通过辅助线使用、基本的割补法的使用等，将复杂问题转换为简单问题的方法的能力.

向量法：观察公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ的结构要素，分析其与哪个公式比较相似.

本题中终边与单位圆存在交点，分别为A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），进而还可以发现其与向量数量积公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ与单位圆的交点也比较接近，于是产生解题灵感.于是建立直角坐标系，借助单位圆，利用向量数量积推导两角差的余弦公式自然水到渠成.

意图：凸显数学思维的自然性与合理性，并突破重难点，同时再现真实的探究过程.

利用两点间距离公式：不难发现（sinα-sinβ）2+（cosα-cosβ）2与cos（α-β）存在着紧密的联系.将（sinαsinβ）2+（cosα-cosβ）2看成两点P（cosα，sinα），Q（cosβ，sinβ）距离的平方.

图2

通过图3可以看到，在坐标系内作出一个圆与角α，β，让它们的终边与单位圆相交，交点记作P和Q，则|PQ|2=（sinα-sinβ）2+（cosα-cosβ）2.此时如果想得到cos（α-β）的表达式，那就需要引导学生在单位圆中寻找与PQ相等的弦，然后进行相应的旋转，即可完成任务，且∠POQ=∠P1OQ1，故△POQ≌△P1OQ1，所以有|PQ|=|P1Q1|.因为|P1Q1|2=［1-cos（α-β）］2+ sin2（α-β）=2-2cos（α-β），所以有（sinα-sinβ）2+（cosαcosβ）2=2-2cos（α-β），即cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

图3

这一过程实际上是启发学生从数学公式出发，从多个角度去对问题展开联想，这样就可以产生新的问题，并以新的问题来促进思维的发展，从而也就激活了学生思维的主观能动性.还加强了学生综合运用数学知识的能力，参与意识也大为增强.在此过程中，数学学习成为学生参与度较高的过程，也体现出学生在学习过程中的主体地位.

四、知识背景网络化

数学知识自身的联系性很强，通常情况下，一个问题可以为学生有效解决，但问题之间所表现出来的联系，则不容易为学生所发现，所以说在数学教学中需要让学生学会从整体角度研究数学问题.数学公式看似一大堆符号的堆积，但实际上公式之间的存在着紧密的逻辑联系和丰富的几何、历史背景，将这些线索串起来，形成网络，就会达到融会贯通的效果，有助于学生抓住公式的“灵魂”.揭示公式背后的几何背景（1）利用面积关系，如图4所示.