基于记忆能力在高中数学教学中的案例研究*

2016-05-15陕西省咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平陕西省镇巴县盐场初级中学刘再平

中学数学杂志 2016年7期

☉陕西省咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平☉陕西省镇巴县盐场初级中学刘再平

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所谓记忆，是指一个人在生活实践的过程中把新的知识经验吸取并保留下来，而且在有关的环境中能提取已有的知识经验的心理过程.记忆分为一般记忆和特殊记忆两种情形.所谓一般性记忆是指一个人在心理学意义下的记忆，而特殊性记忆是指一个人在某一方面的记忆.很自然，我们把以数学材料为对象的记忆称为数学记忆，其特征是一种对于概括、形式化结构和逻辑模式的记忆.

按照被回忆和再现的数学材料，可将数学记忆分为如下几种情形：

（1）对具体数学材料、术语的记忆；

（2）对数学概念、算法的记忆；

（3）对数学原理、法则、公式的记忆；

（4）对数学问题类型、解题模式的记忆；

（5）对数学解题方法、解题思想的记忆.

我们知道，数学学习能力包括观察能力、理解能力、概括能力和推理能力等，而一个人已获得的经验、知识不能保留在头脑中，并在需要时再现或回忆起来，就无法对新知识进行理解、概括和推理，也就不能达到学习数学或进行数学解题的目的.可见，数学记忆对数学能力的形成有着重要的影响，离开数学记忆的数学能力是肤浅的.因此，着力培养数学记忆能力就显得十分必要，它是形成数学各种能力的重要因素之一.

数学记忆的品质分为：记忆的牢固性、记忆的深刻性和记忆的准确性.学习数学，不仅要对已学过的数学概念、定义、定理、公式、法则等记得比较准与牢，更重要的是数学记忆能力的本质在于对数学材料及典型的推理和运算式的概括的记忆.只有记得准、记得牢，才有可能直接提高数学活动的功效，使数学解题活动得以顺利实施.

一、对数学材料的背景事实及其本质的记忆

数学是研究现实世界的空间形式及其数量关系的学科.为了更好地研究空间形式和数量关系，就必须抛开它的表面内容，但是，在学习数学的过程中，我们不能抛开它们的背景事实，因为数学材料的背景事实与本质特点有助于透彻、深刻理解数学问题的实质，优化记忆.

【案例1】北师大版高中教材选修4-5第10页在学习两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值时，给出了重要定理：

若a，b∈R+，且仅当a=b时取“=”号）.

为了加强对这个公式的记忆，我们呈现了其几何背景来说明这个公式的实质.如图1所示，作半径的⊙O，

若AC=a，BC=b，CD⊥AB，

由射影定理CD2=AC·BC=ab，

图1

【案例2】北师大版高中教材必修4第117页在求解15°角的三角函数值时，将其转化为45°与30°差的三角函数，利用差角公式来解决.如果挖掘了15°角的几何背景，我们可以直接由下面含30°角的几何图形实现无字推导.

如图2所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB到D，使BD=AB，连结AD，则∠ADC=15°，由图可知，

图2

上述图形比较简洁，容易形成记忆，而记住了这个图形，也就等价于记住了15°角的各种三角函数值，方便运算与相关问题的解决.

【案例3】求证：在一次集会中，握过奇数次手的人数必为偶数.

粗看此题可能会觉得无从下手，但仔细回想握手的实际情景，就会发现一个不为人们所注意的重要事实，即每当握手事件发生时，都必须是两个人，而对其中每一个人来讲，均记握过一次手，于是握手次数为2，它是偶数.找到这个规律后，容易理解握手的总次数S一定是偶数，而总握手的次数S等于握手次数是奇数次的人的握手次数和M加上握手次数是偶数次的人的握手次数和N，即S=M+N，推知M是偶数，又因为只有偶数个奇数之和才能是偶数，故握过奇数次手的人数一定是偶数.

从本例的分析过程可以看出，生活中鲜为人知的事实在问题解决中起到了开阔思路，增加题设条件的良好效果，若没有找出数学材料的这种本质，解答本题几乎是不可能事件.因此，要学好数学就必须注意积累并记忆一些常识性事实及本质，它们是以潜在的、模糊的，甚至是一种感知的形式存在于人的大脑之中，是学习数学、提升数学素养必不可少的基础.

二、对数学定义、公式、法则和命题结构形式的记忆

数学定义、公式、法则和命题是通过对现实世界的具体材料进行抽象和概括后，用以揭示具体事物的某些本质属性和关系的思维形式.记忆数学基础知识是学好数学的必要条件.

【案例4】北师大版高中教材必修2第5页定义正棱锥——底面是正多边形，且各侧面全等的棱锥.

它的结构形式是（内涵法）：

这就是需要记忆的结构形式，显然比正棱锥生硬的定义更容易理解与记忆.

【案例5】北师大高中教材选修1-2第73页在讲述复数的概念时，它的结构形式是（外延法）：

对于命题、公式结构形式的记忆，关键在于记住它的条件和由条件导出的结论，还应深化理解由条件产生结论的必然性和唯一性.这里，我们强调的是理解性的记忆而非机械记忆，这实质是一种逻辑记忆，对开发学生的多元智力有很大的益处.

【案例6】北师大版高中教材必修2第24页公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

将条件与结论分离开来，其记忆的结构形式为：如果a∥c，b∥c，那么a∥b.

学习数学必须记忆核心的定义、公式和定理等知识，立足它们的基本结构可以优化记忆品质，然后通过其转换、重组产生新的结论，解决新的问题，这是数学记忆中特有的一种形式.

三、对数学定义、公式、法则和命题所揭示的本质关系的直观记忆

学习数学是一种由具体直观到一般抽象的循序渐进过程，反过来，在理解了抽象的数学关系的本质属性前提下，将其又迁移到浅显直观的事物当中，实现数学抽象意义下的直观记忆.这种直观形态揭示了更多的数学本质，浓缩了抽象的本质特征，是一种较为有效、高层次的数学记忆方式.

当然，本题也可用简单的三角方程sinx=a（|a|＜1）的通解公式，得其x∈［-2π，2π］的范围内取k值，以k的取值个数来确定其解的总数.

相比之下，直观的分析求解似乎更自然，更具操作性，但在理解了本题抽象的数学关系的本质属性前提下，运用简单的三角方程“sinx=a（|a|＜1）”的通解公式显然比较简捷.由此表明，大脑贮存的知识工具愈多，解题方法就越灵活，简单明了的方法就呼之欲出.

【案例8】北师大版高中教材必修2第98页第3题：已知x、y满足x+y=3，求证：（x+5）2+（y-2）2≥18.

本例是一道经典的教材习题，可从挖掘其几何意义方面入手实施下面两种证明.

证法1：设（x+5）2+（y-2）2=r2（r＞0），则表示以（-5，2）为圆心，r为半径的圆，根据题意圆上的点都满足直线方程x+y=3，

故（x+5）2+（y-2）2≥（rmin）2=18得证.

证法2：要证（x+5）2+（y-2）2≥18，

因为点（x，y）满足直线方程x+y=3，即点（x，y）=（x，3-x），

由两点间的距离公式：

故（x+5）+（y-2）≥18得证.

有趣的是，在我们给出了这道常见问题的两种几何解释，挖掘出了经典的几何模型的同时，如果想到均值不等式和柯西不等式，就有代数不等式证法；如果将条件直线方程改换为参数方程，就可以给出换元证法；如果将条件转化代入要证不等式，还可以得到函数证法、配方证法等妙证.虽然有些方法具有一定的技巧性，教学中并不要求掌握，但这种知识之间的本质联系，印记到学生的大脑中，也就形成了多途径解答问题的可能性，拓宽了学生视野，激发了学生数学思维的发展.

四、对典型数学问题及其解决模式的记忆

在数学学习的过程中，问题是核心，特别是一些典型问题，它们能代表一类问题、一种方法或者一种数学思想.熟记这些类型及其解法模式是提高问题解决能力的有效途径.

【案例9】我们知道，北师大版高中教材必修5第27页关于等比数列前n项和公式给出了如下概括：

若等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则用错位

作为数列求和的一种重要方法，错位相减法有着广泛的运用，对于由等比数列{an}与等差数列{bn}对应项积构成的新数列{anbn}求和问题就可用错位相减法来解决.诸如：问题求和一直是高考命题的热点、重点与难点.

【案例10】在△ABC中，求证：

这是涉及正余切函数的3个不等式，下面试图通过换元，揭示其代数本质.

即可

式（2）等价于

类似于（1）的换元，可知（2）的代数本质是：

对数学解题模式的概括和记忆是数学记忆的一种重要形式，只要通过不断的思考、归纳和总结，理解并熟记一些本质性的东西，多题归一，就可以从有限问题的训练过程中获取解答无限道问题的方法和智慧.案例10表明，从一点出发，广泛联想、联系、发展，可以扩展思维空间，增强知识结构化的记忆.

【案例11】微积分是大学数学的精华，新一轮的课程改革将其基础内容下放到高中数学.北师大版高中教材选修2-2第83页给出了微积分基本定理（牛顿—莱布尼茨公式）：

如果连续函数f（x）是函数F（x）的导函数，即f（x）= F′（x），则有：

此公式冲破了传统只能求规则图形面积的思维束缚，成为计算由曲线形成的平面不规则图形面积的方法模式，也是高考的重点与难点.

例如，2015年陕西理科卷填空压轴题：如图3，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值是________.

将此题的实际情境抽象为求梯形面积与抛物线和水平线形成的不规则图形面积之比后，运用大脑中记忆的微积分基本定理求面积的方法模式，本题便化难为易了.

在数学学习过程中，学生对知识的记忆是不断发展和完善的，既要重视基础知识的系统化、结构化记忆，更要加强解题模式、方法和思想的归纳记忆，又要寻找知识联系的本质进行对比记忆.苏沃诺夫说过：“记忆是智慧的金库，要把一切东西迅速地放到该放的地方.”提高数学记忆能力的有效途径在于适时的科学化复习和进行一定量的解题思维训练.

然而，过多的题海式训练，是十分有害的.模式的变化、变更，思维活化、激发，将记忆能力的培养贯穿在高中数学的日常教学中，与运算能力、推理能力的训练结合起来，使得知识记忆网络化，能力发展动态化.让学生的记忆在“听、说、读、写、算、思”中完成、发展和强化，让记忆根植于数学概念、公式、定理和数学思想方法之中，以提升记忆能力有效性和高效性，促进学生数学思维能力的发展.