关于分部积分的分层次教学法研究

侯汝臣

[摘要] 本文对不定积分的分部积分部分的教学内容进行了再整理，利用分层次教学法进行讲授。这种教学方法，层层递进，一层建立在另一层的基础上，既利于学生理解教材内容，又利于他们对教材内容的灵活应用。

[关键词]不定积分；分部积分；分层教学法

[基金项目]山东省教育科学“十二五”规划2015年度“高等教育数学教学专项”一般资助课题， 高校代数系列课程一体化建设，YBS15018。

我在高等数学的长期执教过程中，在讲授不定积分的分部积分方法这一部分内容的时候，总感觉教材[1]没有把这一部分的关键说透。因此，根据我自己的心得，对这一部分内容进行重新梳理，分成三个层次讲解。

我们回忆一下，分部积分方法是指：∫uv′dx=uv-∫u′vdx。在此，注意求两个函数乘积的不定积分，重点转换为求一个函数的原函数（求v′的原函数v），求另一个函数的导数（求u的导数u′）。

第一层次。首先要找原函数。 如果一个乘法因子的原函数不容易求得，而另一个乘法因子的原函数易得，那么没有其他选择，只能找易得的那个原函数，对另一个因子求导。

例1 求 ∫arcsinxdx。

分析 注意arcsinx其实等于1arcsinx。1的原函数易得，为x，而arcsinx的原函数不易得，所以只能求1的原函数，对arcsinx求导。所以本题的解法为：

∫arcsinxdx=xarcsinx-∫x（arcsinx）′dx=xarcsinx-∫x11-x2dx=xarcsinx-∫x11-x2dx=xarcsinx+12∫11-x2d（1-x2）

=xarcsinx+1-x2+C。

第二层次。 如果两个乘法因子的原函数都易得，那么就需要对它们分别求导，进行比较。哪一个的导数比自身简化的厉害，就对哪一个求导，而求另一个因子的原函数。

例2 求 ∫xcosxdx。

分析 首先注意x和cosx的原函数都易得。那么就尝试对它们求导。x的导数为1，cosx的导数为-sinx。x的导数比x简化了很多，而cosx的导数比cosx没有简化。所以我们就可以求cosx的原函数，而对x求导。所以本题的解法为：

∫xcosxdx=xsinx-∫x′sinxdx=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C。

第三层次。 如果两个乘法因子的原函数都易得，并且对它们分别求导，进行比较，发现导函数比原函数都没有简化，那么这时就需求两次不定积分，尝试利用解方程的方法求不定积分。注意，这里对一个因子求原函数时，在下一次求不定积分时还要求它的原函数。

例3 求 ∫excosxdx=excosx+exsinx-∫ex（sinx）′dx=excosx+exsinx-∫excosxdx。

分析 首先注意ex和cosx的原函数都易得。那么就尝试对它们求导。ex的导数为ex，cosx的导数为-sinx。它们的导函数比它们本身并没有简化。所以我们就尝试利用求两次分部积分，解方程的方法来求∫excosxdx。所以本题的解法为：

∫excosxdx=excosx-∫ex（cosx）′dx=excosx+∫exsinxdx。

这样我们就得到关于∫excosxdx的方程，解之得：

∫excosxdx=12ex（cosx+sinx）+C。

总结：通过这三个层次的教学，学生就能够彻底的掌握分部积分方法的细微之处，能够懂得在不同的情况下，给出不同的处理方法。

[参考文献]

[1]同济大学数学系编。高等数学，第七版上册。北京： 高等教育出版社，2014。208-212。