一道数学题是如何被解出来的

薛明

【摘 要】问题就是一个不稳定系统，问题的解决就是由问题的初始状态通过学生已具备的知识或经验达到目标状态的过程。通过波利亚《怎样解题》数学思维的新方法在具体问题中的应用，发现解决数学问题的价值，也就是增强数学核心素养。

【关键词】数学问题；解决；数学核心素养

一条数学问题究竟是如何被解出来的，体现了怎样的数学核心素养。下面就以笔者参加2016年广州市“卡西欧杯”中学数学教师“讲题比赛”的题目为例。

在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于-1/3。

（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；

（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

题目出处：这题目是2010年北京市数学理科高考题第19题，难度0.51。条件信息：考察轨迹方程；三角形中的几何计算；点到直线的距离公式等知识，属于中档题。

解题思路：第一问由所有已知条件组成的初始状态如何到达目标状态？此时的学生回忆所学，发现与课本学习的例题相仿，而且此时的学生已经具备知道求点的轨迹方程的步骤的知识储备。初始状态明晰、准确，目标清楚。从而将“建设限代化”——建系、设点、限制条件、代入、化简这一系列操作在具体情境中进行运用。

题目条件中点有坐标说明已经建好系，因此按步骤设动点P（x，y），将题目条件kAP·kAP=-直接表达出来即可。因为点B与A（-1，1）关于原点O对称，所以点B的坐标为（1，-1）。已知点P（x，y），点A（-1，1）利用已知两点求斜率得kAP=，kBP=代入式，化简可得点的轨迹方程。有的同学可能就此下结论，但也有部分同学在过去的运用中积累过相关经验，会回顾下解题过程，仔细观察斜率是个分式结构，根据分母不能为零得x≠±1，老师与学生再次一起总结，强化函数先求定义域避免错误。

第二问的目标状态是问是否存在满足所有初始状态的点P。这是一道求解题，主要部分是未知量、已知数据和条件。设点P的坐标为（u，v），求解横、纵坐标这两个未知数就是目标。根据过去的经验将题目的初始条件转化成两个关于横纵坐标的方程可以得以求解。在具体情境中，△PAB与△PMN的面积相等就是一个等式。当面临一个复杂问题时，应设法将其转化为简单问题，或从它相关的简单问题入手。而将三角形面积表达出来促使学生画出图形进行分析，而表达出底和高的长度，在学生掌握了已知两直线求交点、点到直线距离等公式的前提下成为可能。

思路背景：这些思路的发展宛如要进行一次此地到彼地的旅游需要做的攻略，由此地到彼地，需要若干途径，而每个途径又有若干步骤。也正如波利亚的《怎样解题》120页中示范的一个原始人如何渡过一条小溪进行的一连串的念头，这一连串的念头应该称之为分析。分析是创造，综合是执行。分析是设计一个方案，综合是执行这个方案。而如何执行这个方案，课标中明确指出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的、富有个性的过程。”

引导学生将文字语言转化成图形语言，尽量适当的画图，方便由图像观察。发现为求△PAB得面积，要求AB距离，求点P到直线AB的距离，从而要求AB直线方程，而求△PMN的面积，需知道M、N两点的纵坐标，则需要求直线AP的方程和x=3联立解方程，第二问经过分析变成若干需要解决的简单的问题。

列出等式·2·│u+v││3-u│，这个化简过程对大部分学生（属于C类学校）较困难，老师需要示范如何勇敢的尝试，细心的化简。

思路背景：正如波利亚在《怎样解题》79页所说：“可以说教学生解题也是一种意志的教育，学生要解决对他来说并不容易的题目，他要学会面对失败锲而不舍，重视小的进步，静候实质性的念头，当这一念头出现后全力以赴。”这也是数学教育最重要的一点。

笔者讲到这里就已经用完赛时十五分钟，说了下变式：如利用定义法、相关点法求点轨迹方程。获得2016年广州市“卡西欧杯”“讲题比赛”二等奖。

倘若继续思考，据波利亚著名的“怎样结题表”，解题过程分为弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾4个阶段。我们适时向学生提出这样的问题与建议：你能否用别的方法导出这个结果？你能不能把这个结果或方法用于其他的问题？

也许有的学生就会提供这种解法：│PA‖PB│sin∠APB=│PM‖PN│sin∠MPN（**）。而∠APB和∠MPN对顶角相等，化简成，若仔细观察图形，过点M作直线平行于x轴，再过点A，P分别作这条直线的垂线交所作直线于D，E，△MAD相似于△MPE，，等式右边同理。得即（3-u）2=│u2-1│，解得u=。这种方法思维量大，但是大大简化了运算的繁琐。

这道比赛题目取自于教材，但作了创新，重点考查了学生对知识的迁移能力，逻辑思维能力及代数运算能力和探究问题的能力，难度并不大，是一道难得的好题。通过这道经典数学问题的解决我们体会到数学问题解决就是主体创造性地应用数学去解决问题的学习活动，问题的解决是有价值的：可以使主体充分发挥自己的潜能，创造性地解决新情境下的问题；可以使主体在实际情境中获取和构造数学，而不是机械地去模仿；可以使主体体验数学的思想方法，构建属于自己的数学观念；可以激发主体的自主性心理特征，变得自尊、自信、自律和自我激励，培养主体对数学的兴趣。可见，数学问题的解决不仅仅局限于解答问题，而是一种全新的数学教育观念。这与现在流行的数学核心素养不谋而合。数学核心素养不是指具体的知识与技能，也不是一般意义上的数学能力，可以理解为学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力。核心素养基于数学知识技能，又高于具体的数学知识技能。核心素养反映数学本质与数学思想，是在数学学习过程中形成的，具有综合性、整体性和持久性。适逢广东高考今年初次使用全国卷，数学考题命题相对创新，难度相对增大，老师应该重视每一道数学题是如何被解出来的。讲题时不仅仅讲知识、方法，还要挖掘潜藏的能力、态度，培养学生在数学学习、数学解题的过程中逐步形成数学素养，这种素养是适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力，解决的也可能不是明显的和直接的数学问题，而是学会从数学的角度看待问题，用数学的思维方法思考问题，用数学的方法解决问题。