协同学，阴阳互变的Lorenz模型和太极数学

张一方

(云南大学物理系，云南昆明　650091)



协同学，阴阳互变的Lorenz模型和太极数学

张一方

(云南大学物理系，云南昆明650091)

[摘要]首先讨论协同学的中华传统文化基础.其次研究由协同学定量导出阴阳互变的Lorenz模型.由此说明生命、宇宙都在于混沌中的协同.第三提出太极数学和循环.第四探讨易和协同学的推广研究.最后总结并指出易和协同学的一致性.

[关键词]协同学；Lorenz模型；中华传统文化；和谐；易；太极图

0引言

哈肯提出的协同学是一个应用非常广泛的横向科学[1,2].笔者讨论了协同学及其基本方程和应用，由此说明生命在于混沌中的协同[3].中华传统文化自古就有协同及与之相关的思想传统.《尚书.汤誓》中的“有众率怠弗协”，《孟子》中的“天时不如地利，地利不如人和”，都是强调协力同心的重要性.扬雄的《太玄·玄数》中的“声律相协而八音生”，指出美妙的音乐来源于声音的协调.《后汉书·吕布传》中的“将军宜与协同策谋，共存大计”，更是直接指明用兵决策应当协同商议.

要协力同心就必须具备某些条件，于是由此衍变出一系列的思想：宽容、忍让、和谐、中庸等.周成王告诫君陈说：“必有忍，其乃有济；有容，德乃大.”意思是必须有忍让性，事情才能办成；有度量，道德才能高尚.《左传·昭公元年》中的“鲁以相忍为国也”，意思是鲁国以相互忍让来治理国家.孔子说：“百行之本，忍之为上.”孔子在《中庸》中又说：“和也者，天下之大道也.”并指出：“喜怒哀乐之未发，谓之中；发而皆中节，谓之和.中也者，天下之大本也；和也者，天下之达道也.致中和，天地位焉，万物育焉.”意思是做各种事情，最基本的态度是忍让.只有达到“中和”，天地万物才能自然发展.

作为六经之首的易经，其核心包含三重意义：变易，“易者，易也，变易也”(《周易乾凿度》)；不易，恒久不变的道(自然规律)；简易.在易经中，天地山泽等最基本的八卦，都是一些自然现象.“有天地，然后万物生焉.”它们相互作用，循环变化就形成五彩缤纷的大千世界.

老庄哲学以道为中心，深刻论述了人类应该顺应自然的超前思想.道是“万物之奥”，“万物之母”，“万物莫不遵道”.它是不变的自然规律.人作为自然的一部分，是天地人三才之一，顺之则泰、吉，逆之则否、凶.易经是世界上第一部论述人天观的书.它及其中的卦阐述的就是人与自然的关系.如果“贲”文过饰分，征服自然，而任意“剥”夺，则将自作自受，自取“复”亡.只有“无妄”、“谦”，才能“大畜”，兴旺发达.“同人”(上下协同)，则“大有”(长久存在).“易与天地准，故能弥纶天地之道.仰以观于天文，俯以察于地理，是故知幽明之故，……与天地相似，故不违(自然规律).知周乎万物而道济天下，故不过(过分索取)……乐天知命，故不忧.安土敦乎仁，故能爱.”(《易·系辞上》)不忧、能爱应是我们对待自然的态度.总之，不易的道是自然法则，是宇宙万物形成的原因，也是它们变化、变易的规律.人类必须遵循自然法则，这是最基本、最简易的道理.易学的根本是生生不息，持续发展.

在以老庄哲学为代表的中国传统理想中，最完美的未来模式是人与自然的完全和谐.老子说：“上善若水，水善利万物而不争.”庄子说：“道者，万物之所由也.庶物失之者死，得之者生；为事逆之者败，顺之者成.”(《渔父》) “天地有大美而不言，四时有明法而不议，万物有成理而不说.圣人者，原天地之美，而达万物之理.是故至人无为，大圣不作，观于天地之谓也.”(《知北游》)因此，“知天之所为，知人之所为者，至矣！”(《大宗师》)即知彼知己，顺乎自然，才是最高明、最具有深远意义的大德.“知人者智，自知者明.”(《老子三十三章》)，人与自然和平相处，才是最明智的人.老庄哲学的无为而治，道法自然，顺应天理，符合人心，实在是一种十分高明的协同哲学.这与近年热烈讨论的“社会与自然协调发展”模式是完全一致的.

西汉董仲舒指出“道必归于和”的思想.他认为：和是天地之道的根本.“夫德莫大于和，而道莫正于中.中者，天地之美达理也.”“举天地之道而美于和.”阴阳调和的中和状态是社会长治久安、谨守王道、慎行德政的理论基础，是人类修养的最大的德.协调、和谐是中华传统文化的精髓.老庄、佛教、儒墨等均主张人与自然、人与社会、人与人、人的心身都要和谐.

中华传统文化认为“和”是自然生化的规律.有无相和则生阴阳，阴阳相和则生天地，天地相和则生万物.“和”是养生之道的根本.《内经》指出：“气和而生有，神乃自生.”“和”可使心身相合，阴阳调和，经络通畅，气血顺和，使人性命双修.“和”是修身的首要，使天地人心相和，心平气和，万物亲和，才能生浩然之气.因此，“和”是天人合一的桥梁，是天地合德、日月和明、四时合序的纽带.

《易经》乾卦中有：“大哉乾元，万物资始，乃统天.云行雨施，品物流形……乾道变化，各正性命，保合太和，乃利贞.首出庶物，万国咸宁.”乾卦中的“元亨利贞”四德，叙述的是“元”为万物的开始；“亨”为万物的生长；“利”为万物的成熟；“贞”为万物的完成.它们指出天地万物各按照其本性，井然有序，生生不息，各得其所.这是一种宇宙社会的大和谐，宇宙协同的大交响乐.《易经·系辞下》说：“天地氤氲，万物化醇；男女构精，万物化生.”它指出“和能生物”的道理.和能结合众多资源创造出新的品质、新的事物.这是和谐的力量、和谐的伟大.

此外，众多的中国成语，“统筹兼顾”，“群策群力”，“同舟共济”，“集思广益”，“集腋成裘”，“聚沙成塔”，“众志成城”，“众擎易举”，“众人拾柴火焰高”等，都体现了协同思想已经深深融入华夏文化传统中.

1协同学及阴阳互变的Lorenz模型

用协同学中的单模激光方程[1]

b'=-kb-i∑gμαμ+F(t),

αμ'=γαμ+igμ*bσμ+Γμ(t),

αμ'=γ11(d0-σμ)+2i(gμb*-c.c.)+Γσ,μ

(1)

其中b是场的振幅，αμ是原子的偶极矩，αμ是原子的反转数.当k<0时，可以描述激光及其类似的有序系统的产生.

设b=x, ∑αμ=y, σμ=z, 则(1)可以化为

x'=-kx-ay+F(t),

y'=-by+cxz+Γ(t),

z'=A-dz+exy+Γ1(t).

(2)

当我们略去随机项F(t)和Γ(t),Γ1(t),并且令z=A-dz，(2)就可以化为Lorenz方程

x'=-k(x+y),

y'=-xz-y+rx,

z'=xy-dz.

(3)

Lorenz方程导致著名的Lorenz模型(图1).它像一只十分灵巧敏捷的蝴蝶的两片翅膀，每片各自围绕着原来的一个不动点旋转.运动轨道在一片中由外向内沿一个方向绕到中心附近后，“随机”地跳到另一片的外缘沿相反方向继续向内旋转.然后周而复始，再突然跳回原来那片的外缘.这是非线性动力学中的一种奇怪吸引子，它的分维为2.06.这个模型可以非常生动地描述三维空间中阴阳的互相转化.

图1　Lorenz模型

由协同学的基本方程可以定量导出Lorenz方程和Lorenz模型，因此具有其各种特征.哈肯已经指出描述单模激光的方程与Lorenz方程是等效的[2].由此可以描述大脑的形成和功能，其中的两翼相应于两仪，对应大脑的两个半球，两翼之间的跳来跳去形象地描述思维[4,5].并且大脑协同学具有三个层次：大脑的结构、活动和思维.进而我们定量分析了生物协同学及种群动力学，并由Lorenz模型可以描述两种种群的变化关系.当取绝热近似时，还可以导致种群动力学的不同模型，并指出保护濒危物种的两条出路.因此，生物协同学能够深刻揭示不同物种之间，既竞争又协同的复杂的非线性关系.进一步可以把气功作为一种心身协同学，人体协同，大脑是指挥.并且应用于肺的形成，舆论聚焦于两种等各种对称结构的形成等.这都是由协同、混沌产生对称.由此说明生命、甚至宇宙都在于混沌中的协同.

笔者提出协同学可以成为老庄哲学、易经、中医、气功及互助论等和谐、统一哲学的数理基础[3].并且研究过人-自然协同学[6]、社会演化方程和中国经济改革的协同理论[7]、战争协同学和《孙子兵法》中取胜的最小熵原理[8]、社会协同学[9]等.

由协同学得到Lotka-Volterra(LV)等非线性方程组，相应于阴阳互相消长.进一步建立各种周期的泛理论.

2太极数学和循环

太极图和易经、八卦、64卦都是一种循环，相应的数学就是循环代数、循环数学.最简单的例子是时钟算术，它把无穷的直线点化为有限的封闭环；例如11+5=4.其中数学可以是三角函数.循环几何对应于圆、环、球、超球等，而圆是最简单的循环.球面算数有多种循环.进一步是球面几何、球面代数、球面分析等.而且它可以推广、发展为循环代数、数学、物理、化学、科学等.在一定程度DNA也存在循环，具有4种基本元.这些是把无限化为有限的循环.

这还可以联系于符号动力学，n个字母对应n元循环，阴阳是2元，五行是5元等.笔者研究后指出易经就是一种完全符合现代科学的古老的符号动力学，由此可以方便地揭示易理中的各种规律，开拓对传统文化，如太玄、五行等的研究，并对现代科学的发展有所启示[10].

在一定程度，进位制也是一种循环，循环数学对应一般的进位制.1969年6月笔者得到规律：在任何进位制中，1)如果数a是10n-1的因数，则任意数是否是a的倍数，只要看这个任意数以n为一节是否能够被a除尽.2)如果数a是10n的因数，则任意数是否是a的倍数，只要看这个任意数的数尾n位是否能够被a除尽.3)任意数an...a2a1a0是否是a的倍数，只要看这个任意数以数位n+1，2×n为一节，各节相加所得数(an+..+a2+a1+a0)moda是否能够被a除尽，就是数n的倍数，即(an...a2a1a0)moda=0.

二进位制对应阴阳.三进位制对应太玄，其基元都是三.四进位制对应四象，五进位制对应五行，七进位制对应音阶，八进位制对应八卦，十二进位制对应时钟，其它还有60进位制等.

循环又联系于周期性.这是实数对应一维的直线化为平面的循环，推广到二维即无限复平面对应复球面，相应于复数z=r0eit就是圆，z=aebt是对数螺线.推广到高维就是n维平面化为n+1维超球.三维、高维时就是螺旋形循环、上升.高维循环数学对应超循环论[11].

循环数学常常联系于复数，特别是指数形式和三角函数形式，二者已经有周期性，及复变函数(complexvariables).复数太极图可能就是多叶的，对应于三维空间双叶太极图[12].相应的八卦、64卦及九宫八卦五行图[13]等发展为三维的，其中九宫八卦五行图第二叶的矩阵形式就是：

(4)

阴阳是二维流形，这是平面拓扑，S形的太极图不变.平面太极方程加第三维z=at就是空间方程.DNA二维投影也类似太极图.

复数和矩阵都对应平面，复数是域，矩阵也可以构成数域[14,15].而矩阵元可以是任意数、代数式等.复平面相应于Riemann球的表面，称为球极平面射影(stereographicprojection)[16].其中Cauchy-Goursat定理指出：对单连通域，函数f(z)沿任何一条封闭曲线C的积分为零

(5)

对多连通域，

(6)

其中C与Ck均取正方向.

拓扑学中循环可以是一种回路、环(loop)，因此循环数学联系于弦，循环粒子联系于闭弦.所以它可以结合任何循环理论和循环现象.循环宇宙即宇宙有限.易理的“否极泰来”，“物极必反”，其实整个东方文明，无论是印度或者中国都是基于循环观点.

太极对应混沌，分为两仪，形成太极图中阴阳互变的Lorenz方程等.从人的脑电到双星演化、棒旋星系SBC，太极图的形式广泛存在于大千世界中[13].太极图中为太阴、太阳，二点为少阴、少阳.阴中有阳，阳中有阴，二者互补、转化.阴阳是分形，发展则其中又有阴阳.相应于太极图中的鱼眼又是太极.太极图由协同学描述，对应宇宙、时空，整个世界和谐一致.

3易和协同学的推广研究

易学的原理(规律)主要包括[17,18]：1.对称；2.互补；3.转化；4.不变；5.简易.此外具有预测的几率性，数学的模糊性等.并且可以用符号动力学[10]解释这些原理，及刘牧等的卦变.

已知图论中的图G=(V,E)，其中V是点集，E是边集[19].在此提出易图论，其基元作为点集是阴阳二爻，边集是彼此间的关系.阴阳的完全图是G=(2,1)，四象的完全图是G=(4,6)，八卦的完全图是G=(8,28)，64卦的完全图是G=(64,2016)，可以描述的系统越来越复杂.太玄的基元是三画，其完全图是G=(3,3)和G=(9,36)等.在图论中五行具有最完备的对称性(图2)[20]，不考虑方向时是一种Kuratowski图，是符合所有结点的度数都是偶数的Euler图.它的点连通度k(G)和边连通度λ(G)都是4.五行如果都作为点，其完全图是G=(5,10)，而且相生相克图既是同构图，又是互补图.这是作为无向图.

图2　五行生克模型

如果作为有向图，太极图是最简单的阴阳二点彼此循环，G=(2,2).如果五行都作为一种循环，其图G=(5,15).用图论的矩阵表示，对五行无向图相应矩阵各元aij≡1；对有向图，相应矩阵为：

(7)

对五行G=(5,10)无向图相应矩阵除对角元aii=0外，各元恒为1；对有向图，相应矩阵为：

(8)

进而矩阵方法还可以非线性化.

由五行理论结合图2，笔者提出社会进步(民主、公平、稳定)、经济发展、科技、教育、环境相辅相成的社会可持续发展模式，并且讨论相应的东方经济学，非线性经济增长理论等[21,12].因为网络由结点和连线组成，由易图论可以发展易学的网络理论，描述世界的复杂性.这类似中医的网络理论.

易的数学是23=8卦，26=64卦，推广即an=M，其中a是基元数(如阴阳爻等)，n是每卦爻数.这是a分叉.太玄亦然，34=81；这是三分叉，推广即混沌.五行学说a=5，53=125，五分叉包罗万象.七音符a=7，加上升降调共21个；对固定3/4，4/4调各有73=343，213和74，214.还有半拍、1/4拍、3/4拍，则对4/4就可能有n=16，即2116.所以音乐是十分丰富的.

荣格(C.G.Jung)讨论的曼茶罗(mandala)图已经包括易与阴阳.炼金术(对应道教)二重性中：其象征是日(阳性法则)、月(阴性法则)；而日月为易.物质是硫磺和盐.再加上第三种因子汞，则阴阳兼具[22]，并且对应三元和道、太玄.由此阴阳、三元又联系于化学[18].而原子核中质子、中子也是一阳一阴，但奇个核子数的核不稳定.

易经及其方法对荣格的共时性(synchronicity，因果联系的原则；内在与外在事件同时发生的一种意义重大的巧合)概念的发展起了主要的推动性.荣格的八种人格对应八卦.这又相应于宏观的天人合一和微观的粒子结构[23].

4总结

协同学研究整体性、整体运动、整体状态.笔者提出的负物质及相应的正反粒子、负粒子及负反粒子四种物质对应于四象，组成整体最完美的对称世界[24-28].广义协同学还应该研究结构解体，熵极大，混沌，序参量向相反方向变化等相反或更深的领域.耗散结构、混沌和超循环可以认为是广义协同学的三种结构.易经作为具有整体性的系统论[3]，笔者提出易拓扑学，并探讨了系统论、控制论、信息论、突变论和混沌等五种被广泛应用的横向理论与易的关系[29].对分形笔者讨论了它的推广及某些应用，包括应用于社会科学和文学，并且探索了宇观-微观分形、泛量子理论和对分形的展望[30].

更一般，任意两个(多个)相关系统的强或弱协同学.基本原则是协同，但协同学已经包括竞争.具体原则是竞争中1)多数为主原则，仅有小涨落；2)力度原则.二者结合导致伺服原理.激光方程和各种可用于种、群的方法都可用于此及人-自然协同学[6]，可以讨论其双螺旋结构及相应的方程组，并且DNA可以由推广的量子方程的解形成[31,32].

基于协同学的基本方程可以导致Lorenz方程和模型，由此形象描述阴阳互变.除这一定量关系外，作为横跨各种领域的现代科学的协同学和作为中国传统文化精髓的易学在本质上都是基于合作协同而具有一致性.因此协同学可以广泛应用的领域，应该也可能应用易经.

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[责任编辑：闫昕]

Synergetics, Lorenz Model of Yin-Yang Enantiotropy and Mathematics of Taiji Figure

CHANG Yi-fang

(Department of Physics,Yunnan University, Kunming 650091, China)

Abstract：First, the base of Chinese traditional culture on synergetics is discussed. Next, it is investigated that the Lorenz model of Yin-Yang enantiotropy is quantitatively obtained from synergetics, which shows that life and Universe lie in cooperation in chaos. Third, the mathematics of the Taiji Figure and cycle is proposed. Fourth, the extension and investigation of Yi and synergetics are researched. Final, summary and the consistency between Yi and synergetics is proposed.

Key words：synergetics; corenz model; fhinese traditional culture; harmony; yi; taiji figure

[中图分类号]R338

[文献标识码]A

[文章编号]1004-7077(2016)02-0001-07

[作者简介]张一方(1947-)，男，云南大学物理系教授，主要从事理论物理研究.

[基金项目]国家自然科学基金项目(项目编号：11164033).

[收稿日期]2016-01-05